Πρώτοι αριθμοί

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14831
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Πρώτοι αριθμοί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Φεβ 28, 2019 11:10 am

Ανοιχτό πρόβλημα: Στην άσκηση αυτή βρέθηκαν τέσσερις πρώτοι αριθμοί a = PA = 19,b = PB = 11,

c = PC = 7,d = PD = 17 ώστε a^2+c^2=b^2+d^2. Το ερώτημα είναι πόσες τέτοιες τετράδες πρώτων

αριθμών υπάρχουν, αν είναι διαφορετικοί ανά δύο μεταξύ τους. Είναι άραγε άπειρος ο αριθμός τους; Δίνω άλλες δύο

τετράδες: (13,17,31,29), (19,23,43,41).


Λέξεις Κλειδιά:
πρώτοι-αριθμοί
Κορυφή
Νίκος Ζαφειρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 307
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Νίκος Ζαφειρόπουλος

Re: Πρώτοι αριθμοί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ζαφειρόπουλος » Κυρ Μαρ 03, 2019 9:56 am

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 28, 2019 11:10 am
 Ανοιχτό πρόβλημα: Στην άσκηση αυτή βρέθηκαν τέσσερις πρώτοι αριθμοί a = PA = 19,b = PB = 11,

c = PC = 7,d = PD = 17 ώστε a^2+c^2=b^2+d^2. Το ερώτημα είναι πόσες τέτοιες τετράδες πρώτων

αριθμών υπάρχουν, αν είναι διαφορετικοί ανά δύο μεταξύ τους. Είναι άραγε άπειρος ο αριθμός τους; Δίνω άλλες δύο

τετράδες: (13,17,31,29), (19,23,43,41).
Επειδή a^2+c^2=b^2+d^2 \Leftrightarrow a^2-b^2=d^2-c^2
Υποθέτοντας ότι a>b ψάχνουμε για τους θετικούς άρτιους που μπορούν να γραφούν ως διαφορά τετραγώνων δύο τουλάχιστον ζευγών πρώτων αριθμών, διαφορετικών ανά δύο.
Είναι
72=11^2-7^2=19^2-17^2 .
...
168=17^2-11^2=23^2-19^2=43^2-41^2
...
552=29^2-17^2=71^2-67^2=139^2-137^2
...
9240=97^2-13^2=101^2-31^2=103^2-37^2=107^2-47^2=127^2-83^2=131^2-89^2=179^2-151^2=467^2-457^2=2311^2-2309^2

Μεταξύ των προηγούμενων αριθμών υπάρχουν και πολλοί άλλοι που γράφονται με τον ίδιο τρόπο.

Ακόμη, υπάρχουν 22 ζευγάρια πρώτων που η διαφορά τετραγώνων τους είναι ίση με 526680 ,
26 ζευγάρια πρώτων που η διαφορά τετραγώνων τους είναι ίση με 2042040 και
30 ζευγάρια πρώτων που η διαφορά τετραγώνων τους είναι ίση με 2984520

Φαίνεται ότι υπάρχουν άπειρες τέτοιες τετράδες, αλλά απομένει να αποδειχτεί.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 17506
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Πρώτοι αριθμοί

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Μαρ 03, 2019 8:05 pm

Δεν είναι βέβαιο ότι θα βοηθήσει , δείτε πάντως κι αυτό


Κορυφή
Νίκος Ζαφειρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 307
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Νίκος Ζαφειρόπουλος

Re: Πρώτοι αριθμοί

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ζαφειρόπουλος » Κυρ Μαρ 03, 2019 10:19 pm

Και κάτι ακόμη , που προφανώς δεν είναι απλή σύμπτωση. Όλοι οι αριθμοί που γράφονται ως διαφορά τετραγώνων δύο πρώτων με τουλάχιστον δύο διαφορετικούς τρόπους, είναι όλοι - τουλάχιστον μέχρι το 15000000 - πολλαπλάσια του 24.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14831
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πρώτοι αριθμοί

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μαρ 04, 2019 9:13 am

NIZ έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 03, 2019 10:19 pm
 Και κάτι ακόμη , που προφανώς δεν είναι απλή σύμπτωση. Όλοι οι αριθμοί που γράφονται ως διαφορά τετραγώνων δύο πρώτων με τουλάχιστον δύο διαφορετικούς τρόπους, είναι όλοι - τουλάχιστον μέχρι το 15000000 - πολλαπλάσια του 24.
Πολύ ενδιαφέρον!


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης