ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ

#1

...Καλησπέρα

στον απόηχο των εξετάσεων.....

Πάντα είχα ένα προβληματισμό από ποια σημεία του επιπέδου μπορούμε να φέρουμε εφαπτόμενες στην υπερβολή $\frac{{{x}^{2}}}{{{\alpha }^{2}}}-\frac{{{y}^{2}}}{{{\beta }^{2}}}=1,\,\,\alpha ,\beta >0$ .

Η αντιμετώπιση μάλλον ξεφεύγει από τις γνώσεις της Β Λυκείου και γίνεται ένα ενδιαφέρον θέμα στην Γ Λυκείου πιστεύω.

Έτσι λύνοντας ως προς

έχουμε ότι $y=\pm \frac{\beta }{\alpha }\sqrt{{{x}^{2}}-{{\alpha }^{2}}},\,\,x\in (-\infty ,\,\,-\alpha ]\cup [\alpha ,\,\,+\infty )$

Θεωρώντας την συνάρτηση $f(x)=\frac{\beta }{\alpha }\sqrt{{{x}^{2}}-{{\alpha }^{2}}},\,\,x\in (-\infty ,\,\,-\alpha ]\cup [\alpha ,\,\,+\infty )$

δηλαδή τους δύο κλάδους πάνω από τον {x}'x

, είναι παραγωγίσιμη στο $x\in (-\infty ,\,\,-\alpha )\cup (\alpha ,\,\,+\infty )$ με

$\displaystyle{{f}'(x)=\frac{\beta }{\alpha }\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}-{{\alpha }^{2}}}},\,\,x\in (-\infty ,\,\,-\alpha )\cup (\alpha ,\,\,+\infty )}$ ή

$\displaystyle{{f}'(x)=\frac{{{\gamma }^{2}}x}{f(x)},\,\,x\in (-\infty ,\,\,-\alpha )\cup (\alpha ,\,\,+\infty ),\,\,\gamma =\frac{\beta }{\alpha }}$ (1).

Αν $\displaystyle{M(\kappa ,\,\,\lambda )}$ τυχαίο σημείο του επιπέδου, θέλουμε την εφαπτόμενη της $\displaystyle{{{C}_{f}}}$ στο $\displaystyle{N({{x}_{0}},\,\,f({{x}_{0}}))}$ με εξίσωση

$\displaystyle{y-f({{x}_{0}})={f}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})}$ να περνά από το σημείο $\displaystyle{M(\kappa ,\,\,\lambda )}$ άρα να ισχύει ότι

$\displaystyle{\lambda -f({{x}_{0}})={f}'({{x}_{0}})(\kappa -{{x}_{0}})}$ . Επομένως αναζητούμε πόσες ρίζες έχει η εξίσωση

$\displaystyle{\lambda -f(x)={f}'(x)(\kappa -x)\Leftrightarrow f(x)+{f}'(x)(\kappa -x)-\lambda =0}$

στο σύνολο $\displaystyle{(-\infty ,\,\,-\alpha )\cup (\alpha ,\,\,+\infty )}$

Γι αυτό θεωρώντας την συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=f(x)+{f}'(x)(\kappa -x)-\lambda ,\,\,\,x\in (-\infty ,\,\,\alpha )\cup (\alpha ,\,\,+\infty )}$

είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{(-\infty ,\,\,\alpha )\cup (\alpha ,\,\,+\infty )}$ με $\displaystyle{{g}'(x)={f}'(x)+{f}'(x)(\kappa -x)-{f}'(x)={f}'(x)(\kappa -x),\,\,x\in (-\infty ,\,\,\alpha )\cup (\alpha ,\,\,+\infty )}$

και επειδή η $\displaystyle{{f}''(x)<0,\,\,x\in (-\infty ,\,\,\alpha )\cup (\alpha ,\,\,+\infty )}$ (…εύκολα αποδεικνύετε άλλωστε η υπερβολή είναι κοίλη…)

έχουμε ότι για $\displaystyle{x>\kappa \Rightarrow {g}'(x)>0}$ και για $\displaystyle{x<\kappa \Rightarrow {g}'(x)<0}$

1)Αν $\displaystyle{-\alpha <\kappa <\alpha }$ δηλαδή το σημείο $\displaystyle{M(\kappa ,\,\,\lambda )}$ βρίσκεται μέσα στην ταινία των κατακόρυφων εφαπτόμενων

$\displaystyle{x=-\alpha ,\,\,x=\alpha }$ η $\displaystyle{g}$ είναι γνήσια φθίνουσα στο $\displaystyle{{{\Delta }_{1}}=(-\infty ,\,\,-\alpha )}$ και γνήσια αύξουσα στο

$\displaystyle{{{\Delta }_{2}}=(\alpha ,\,\,+\infty )}$ και τότε $\displaystyle{g({{\Delta }_{1}})=(\underset{x\to -\alpha }{\mathop{\lim }}\,g(x),\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x))}$

και επειδή $\displaystyle{\underset{x\to -\alpha }{\mathop{\lim }}\,f(x)={{0}^{+}}}$ και $\displaystyle{\underset{x\to -\alpha }{\mathop{\lim }}\,{f}'(x)=\underset{x\to -\alpha }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\gamma }^{2}}x}{f(x)}=-\infty }$

(λόγω της (1) είναι $\displaystyle{{f}'(x)=\frac{1}{f(x)}({{\gamma }^{2}}x)}$ ) και $\displaystyle{\underset{x\to -\alpha }{\mathop{\lim }}\,(\kappa -x)=\kappa +\alpha >0}$ είναι

$\displaystyle{\underset{x\to -\alpha }{\mathop{\lim }}\,g(x)=-\infty }$ και επειδή είναι

$\displaystyle{\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,(f(x)+{f}'(x)(\kappa -x)-\lambda )=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \gamma \sqrt{{{x}^{2}}-{{\alpha }^{2}}}+\frac{\gamma x(\kappa -x)}{\sqrt{{{x}^{2}}-{{\alpha }^{2}}}}-\lambda \right)=}$

$\displaystyle{=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \gamma \frac{{{x}^{2}}-{{\alpha }^{2}}+x(\kappa -x)}{\sqrt{{{x}^{2}}-{{\alpha }^{2}}}}-\lambda \right)= \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \gamma \frac{\kappa x-{{\alpha }^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-{{\alpha }^{2}}}}-\lambda \right)=-\gamma \kappa -\lambda }$

είναι $\displaystyle{g({{\Delta }_{1}})=(-\infty ,\,\,-\gamma \kappa -\lambda )}$ και τότε:

αν $\displaystyle{-\gamma \kappa -\lambda <0\Leftrightarrow \lambda >-\frac{\beta }{\alpha }\kappa }$ δηλαδή το σημείο $\displaystyle{M(\kappa ,\,\,\lambda )}$ είναι πάνω από την

ασύμπτωτη $\displaystyle{y=-\frac{\beta }{\alpha }x}$ το $\displaystyle{0\notin g({{\Delta }_{1}})=(-\infty ,\,\,-\gamma \kappa -\lambda )}$ και τότε η $\displaystyle{g}$ δεν έχει ρίζα

και αν $\displaystyle{-\gamma \kappa -\lambda >0\Leftrightarrow \lambda <-\frac{\beta }{\alpha }\kappa }$ (κάτω από την ασύμπτωτη ) το $\displaystyle{0\in g({{\Delta }_{1}})=(-\infty ,\,\,-\gamma \kappa -\lambda )}$

και τότε η $\displaystyle{g}$ έχει μοναδική ρίζα λόγω μονοτονίας.

Για το $\displaystyle{{{\Delta }_{2}}=(\alpha ,\,\,+\infty )}$ αφού

γνήσια αύξουσα θα είναι

$\displaystyle{g({{\Delta }_{2}})=(\underset{x\to {{\alpha }^{+}}}{\mathop{\lim }}\,g(x),\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x))=(-\infty ,\,\,\gamma \kappa -\lambda )}$ (…υπολογίζοντας τα όρια όπως πριν..) και τότε :

αν $\displaystyle{\gamma \kappa -\lambda <0\Leftrightarrow \lambda >\frac{\beta }{\alpha }\kappa }$ δηλαδή το σημείο $\displaystyle{M(\kappa ,\,\,\lambda )}$ είναι πάνω από την

ασύμπτωτη $\displaystyle{y=\frac{\beta }{\alpha }x}$ το $\displaystyle{0\notin g({{\Delta }_{2}})=(-\infty ,\,\,\gamma \kappa -\lambda )}$ και τότε η $\displaystyle{g}$ δεν έχει ρίζα

και αν $\displaystyle{\gamma \kappa -\lambda >0\Leftrightarrow \lambda <\frac{\beta }{\alpha }\kappa }$ (κάτω από την ασύμπτωτη..) το

$\displaystyle{0\in g({{\Delta }_{1}})=(-\infty ,\,\,\gamma \kappa -\lambda )}$ και τότε η $\displaystyle{g}$ έχει μοναδική ρίζα λόγω μονοτονίας.

Βγάζοντας συμπέρασμα όταν το σημείο $\displaystyle{M(\kappa ,\,\,\lambda )}$ βρίσκεται μέσα στην ταινία των κατακόρυφων εφαπτόμενων

$\displaystyle{x=-\alpha ,\,\,x=\alpha }$ και πάνω από τις ασύμπτωτες της καμπύλης δεν υπάρχει έχουμε καμμία εφαπτομένη,

όταν βρίσκεται ανάμεσα στις ασύμπτωτες μία εφαπτομένη και όταν είναι κάτω από τις ασύμπτωτες δύο.

2) Αν $\displaystyle{\kappa =\alpha }$ ή $\displaystyle{\kappa =-\alpha }$ δηλαδή το σημείο $\displaystyle{M(\kappa ,\,\,\lambda )}$ βρίσκεται σε μία από τις κατακόρυφες εφαπτόμενες $\displaystyle{x=\alpha }$ η $\displaystyle{x=-\alpha }$ όπως προηγούμενα

3) Αν $\displaystyle{\kappa >\alpha }$ (δηλαδή το σημείο βρίσκεται έξω από την ταινία στο δεξιά κλάδο) έχοντας ότι για

$\displaystyle{x>\kappa \Rightarrow {g}'(x)>0}$ και για $\displaystyle{x<\kappa \Rightarrow {g}'(x)<0}$ η $\displaystyle{g}$ είναι γνήσια φθίνουσα στο $\displaystyle{{{\Delta }_{1}}=(-\infty ,\,\,-\alpha )}$

και στο διάστημα $\displaystyle{{{\Alpha }_{1}}=(\alpha ,\,\,\kappa ]}$ και γνήσια αύξουσα στο διάστημα $\displaystyle{{{A}_{2}}=[\kappa ,\,\,+\infty )}$

Τώρα για το $\displaystyle{{{\Delta }_{1}}=(-\infty ,\,\,-\alpha )}$ είναι $\displaystyle{g({{\Delta }_{1}})=(-\infty ,\,\,-\gamma \kappa -\lambda )}$ και όπως στο (1) οι περιπτώσεις.

Τώρα για $\displaystyle{{{\Delta }_{2}}={{A}_{1}}\cup {{A}_{2}}}$ η $\displaystyle{g}$ παρουσιάζει ελάχιστο στο $\displaystyle{x=\kappa }$ το $\displaystyle{g(\kappa )=f(\kappa )-\lambda }$ και επειδή

$\displaystyle{\underset{x\to {{\alpha }^{+}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=+\infty ,\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=\gamma \kappa -\lambda \,\,}$ έχουμε ότι

$\displaystyle{g({{A}_{1}})=[f(\kappa )-\lambda ,\,\,+\infty )}$ και $\displaystyle{g({{A}_{2}})=[f(\kappa )-\lambda ,\,\,\gamma \kappa -\lambda )}$ οπότε:

Αν $\displaystyle{f(\kappa )=\lambda }$ προφανώς έχουμε μοναδική ρίζα και άρα μοναδική εφαπτομένη.

Αν $\displaystyle{f(\kappa )-\lambda >0\Leftrightarrow f(\kappa )>\lambda }$ δηλαδή το σημείο βρίσκεται στα κοίλα της καμπύλης του δεξιού κλάδου), καμία εφαπτομένη.

Αν $\displaystyle{f(\kappa )-\lambda <0\Leftrightarrow f(\kappa )<\lambda }$ τότε έχει μία ρίζα στο $\displaystyle{{{A}_{1}}=(\alpha ,\,\,\kappa )}$ και επιπλέον

Αν $\displaystyle{\gamma \kappa -\lambda <0\Leftrightarrow \gamma \kappa <\lambda }$ δηλαδή το σημείο βρίσκεται πάνω από την ασύμπτωτη

$\displaystyle{y=\frac{\beta }{\alpha }x}$ δεν έχει άλλη ρίζα και αν $\displaystyle{\gamma \kappa -\lambda >0\Leftrightarrow \gamma \kappa >\lambda }$

τότε έχει και άλλη ρίζα στο διάστημα $\displaystyle{{{A}_{1}}=(\kappa ,\,\,+\infty )}$

δηλαδή όταν είναι το σημείο μεταξύ της ασύμπτωτης και της καμπύλης έξω από το ορθογώνιο βάσης έχουμε δύο εφαπτόμενες!!!)

4) Αν $\displaystyle{\kappa <-\alpha }$ (δηλαδή το σημείο βρίσκεται έξω από την ταινία στο αριστερά κλάδο) έχοντας ότι για

$\displaystyle{x>\kappa \Rightarrow {g}'(x)>0}$ και για $\displaystyle{x<\kappa \Rightarrow {g}'(x)<0}$ η $\displaystyle{g}$ είναι γνήσια φθίνουσα στο $\displaystyle{(-\infty ,\,\,\kappa ]}$

και γνήσια αύξουσα στο διάστημα $\displaystyle{[\kappa ,\,\,-\alpha )}$ και γνήσια αύξουσα στο διάστημα $\displaystyle{{{\Delta }_{2}}=[\alpha ,\,\,+\infty )}$ .

Ανάλογα συμβαίνουν τώρα για τις ρίζες όπως στην προηγούμενη διερεύνηση.

Θα προσπαθήασω να το εμφανίσω και με σχήμα...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Σταμ. Γλάρος · #2

Καλησπέρα .
Μια προσπάθεια για σχήμα, στον πολύ ωραίο προβληματισμό του Βασίλη.
Αν δεν κάνω λάθος, Βασίλη, η διερεύνησή σου αφορά τους κλάδους της υπερβολής που βρίσκονται πάνω από τον άξονα xx'

.
Επίσης αν με το ποντίκι μετακινήσουμε στο παρακάτω συνημμένο το σημείο Μ, θα έχουμε τις εφαπτομένες που σχηματίζονται για τις διάφορες θέσεις του.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

#3

Καλησπέρα στην παρέα...
Ευχαριστώ το φίλο και καλό συνάδελφο Σταμάτη για το κόπο που έκανε
και ζωντάνεψε τις σκέψεις μου...ναι η διερεύνηση αφορά μόνο τους πάνω κλάδους της υπερβολής

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Άρης Αεράκης · #4

Μια προσέγγιση με αναλυτική γεωμετρία δηλαδή με ύλη Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου στον παρακάτω σύνδεσμο : http://eclass.sch.gr/modules/document/?course=EL239106

#5

Βασίλη καλησπερίζω κι εγώ την παρέα σας που ασχολήθηκε με τον
προβληματισμό αυτό.
Παραθέτω μια απεικόνιση που συμπεριλαμβάνονται
όλες οι περιπτώσεις.

: Εφαπτόμενες Υπερβολής 1.png (38.75 KiB) Προβλήθηκε 1392 φορές

Όπως αναφέρω και στο δυναμικό σχήμα που παραθέτω ισχύει:
1. Από τα σημεία που ανήκουν στο χωρίο με κόκκινο χρώμμα δεν άγεται
καμμιά εφαπτόμενη στο γράφημα της $\displaystyle{f}$ .

2. Από τα σημεία που ανήκουν στα χωρία με θαλασσί χρώμα άγεται μόνο
μια εφαπτόμενη προς το εν λόγω γράφημα.

3. Από τα σημεία που ανήκουν στα χωρία με κίτρινο χρώμα άγονται δύο
εφαπτόμενες στο γράφημα αυτό.

Βέβαια από όλα τα υπόλοιπα σημεία του επιπέδου δεν άγεται καμμία εφαπτομένη.

Ακόμα όλα αυτά τα χωρία εννοούνται ως ανοικτοί χώροι. Οι περιπτώσεις όπου
το σημείο ανήκει στο περίγραμμά τους μελετάται ιδιαίτερα.

Εφαπτόμενες υπερβολής 1.ggb: (15.53 KiB) Μεταφορτώθηκε 50 φορές

Κώστας Δόρτσιος

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ

Re: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ

Re: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ

Re: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ

Re: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ

Μέλη σε σύνδεση