Μέγιστο αθροίσματος

KARKAR · #1

: Μέγιστο αθροίσματος.png (48.32 KiB) Προβλήθηκε 1487 φορές

Στην υποτείνουσα

του ορθογωνίου τριγώνου ABC

, με :

,

κινείται σημείο

. Η ημιευθεία

τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο

.

Μπορούμε να υπολογίσουμε το μέγιστο του αθροίσματος : (SAB)+(SCT)

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 04, 2025 10:37 am
Μέγιστο αθροίσματος.pngΣτην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου , με : ,

κινείται σημείο . Η ημιευθεία τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο .

Μπορούμε να υπολογίσουμε το μέγιστο του αθροίσματος : ;

Εν συντομία.

Θέτω SB=x

οπότε $SC=\sqrt{29}-x$ και $\displaystyle AE = \frac{{10}}{{\sqrt {29} }}.$

$\displaystyle (SAB) + (SCT) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{10x}}{{\sqrt {29} }} + (\sqrt {29} - x)TZ} \right)$

: Μέγιστο αθροίσματος.Κ.png (15.05 KiB) Προβλήθηκε 1476 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} AS \cdot ST = x\left( {\sqrt {29} - x} \right) \hfill \\ \frac{{AS}}{{ST}} = \frac{{AE}}{{TZ}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow TZ = \frac{{10x\left( {\sqrt {29} - x} \right)}}{{A{S^2}\sqrt {29} }}$

Αλλά με $\rm Stewart$ στο ABC

και τέμνουσα AS,

βρίσκω $\displaystyle A{S^2} = \frac{{{x^2}\sqrt {29} - 50x + 25\sqrt {29} }}{{\sqrt {29} }}$

Αντικαθιστώντας παίρνω τη συνάρτηση $\displaystyle f(x) = (SAB) + (SCT) = \frac{{10x}}{{\sqrt {29} }}\left( {\frac{{\sqrt {29} {x^2} - 54x + 27\sqrt {29} }}{{\sqrt {29} {x^2} - 50x + 25\sqrt {29} }}} \right)$

που έχει $\boxed{ \max \left\{ {(SAB) + SCT)} \right\} \simeq 5,6917}$ όταν $\boxed{x\simeq 3,6158}$

Δώρο η ελάχιστη τιμή $\boxed{ \min \left\{ {(SAB) + SCT)} \right\} \simeq 4,8339}$ όταν $\boxed{x\simeq 5,0285}$

Μέγιστο αθροίσματος

Μέγιστο αθροίσματος

Re: Μέγιστο αθροίσματος

Μέλη σε σύνδεση