'Αθροισμα αναδρομικής ακολουθίας

#1

Να υπολογισθεί το άθροισμα $\sum_{k=0}^\infty{}x_k$ , όπου x_0=1

και $2x_{n+1}^2=\left(\sqrt{2}-\left(\sum_{k=0}^n{}x_k\right)\right)^2.$

#2

Επαναφορά

abfx · #3

gbaloglou έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 31, 2026 3:52 pm
Να υπολογισθεί το άθροισμα $\sum_{k=0}^\infty{}x_k$ , όπου και $2x_{n+1}^2=\left(\sqrt{2}-\left(\sum_{k=0}^n{}x_k\right)\right)^2.$

Υποθέτω (προς το παρόν) ότι $x_k \geq 0$ για κάθε $k \geq 0$ .

Αλλιώς από την αναδρομική σχέση προκύπτουν διάφορες πιθανές ακολουθίες με την αντίστοιχη σειρά να

συγκλίνει ή να αποκλίνει αναλόγως (*)

.

Πράγματι, θα δείξουμε επαγωγικά ότι $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}x_k < \sqrt{2}$ .

Για n=0

έχουμε $x_0=1 <\sqrt 2$ . Έστω τώρα ότι

φυσικός ώστε να ισχύει $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}x_k < \sqrt{2}$ .

Τότε $x_{n+1}\geq 0 \implies x_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt 2}\left(\sqrt 2- \sum_{k=0}^{n}x_k\right )$ , άρα

$\displaystyle \sum_{k=0}^{n+1}x_k =\sum_{k=0}^{n}x_k +\frac{1}{\sqrt 2}\left(\sqrt 2- \sum_{k=0}^{n}x_k\right ) <\sum_{k=0}^{n}x_k+\left(\sqrt 2- \sum_{k=0}^{n}x_k\right )= \sqrt 2$ $\square$ .

Επομένως η $\sum_{k=0}^{n}x_k$ είναι αύξουσα και φραγμένη και άρα συγλίνει.

Παίρνοντας τώρα όρια στην αναδρομική σχέση και χρησιμοποιώντας ότι $x_n \rightarrow 0$ βρίσκουμε ότι $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}x_k=\sqrt 2$ .

(*)

Πάντως, αν η σειρά συγκλίνει, θα πρέπει να συγκλίνει στο $\sqrt 2$ .

Πράγματι, αν συγκλίνει θα πρέπει η x_n

να τείνει στο

, οπότε όπως και πάνω, παίρνοντας όριο

στην αναδρομική σχέση προκύπτει το παραπάνω όριο.

#4

...

: Πυθαγόρεια-σειρά.png (17.71 KiB) Προβλήθηκε 66 φορές

'Αθροισμα αναδρομικής ακολουθίας

'Αθροισμα αναδρομικής ακολουθίας

Re: 'Αθροισμα αναδρομικής ακολουθίας

Re: 'Αθροισμα αναδρομικής ακολουθίας

Re: 'Αθροισμα αναδρομικής ακολουθίας

Μέλη σε σύνδεση