Στη σκιά μιας άλλης

G.Tsikaloudakis · #1

Έστω $z,w \in C$ με :

$|z| = |w| \ne 0$ , $z + w \ne 0$ και ${\mathop{\rm Re}\nolimits} (z\bar w) \ge 0$

Να αποδείξετε ότι: $\sqrt 3 |z + w| \ge |z - w|$

#2

Νομίζω ότι κάτι δεν πάει καλά.

Αν w=1

, $\displaystyle{z=\left ( -\frac{9}{10},\frac{\sqrt{19}}{10} \right)}$ , ισχύει |z|=|w|=1

και $z+w \neq 0$ ,

αλλά $\displaystyle{|z+w|=\frac{\sqrt{5}}{5}}$ και $\displaystyle{|z-w|=\frac{\sqrt{95}}{5}}$

άρα δεν ισχύει η σχέση $\displaystyle{\sqrt{3}|z+w| \geq |z-w|}$ , αφού δεν ισχύει: $\displaystyle{3 \cdot \frac{5}{25} \geq \frac{95}{25}}$ .

Προκύπτει και γεωμετρικά αφού αν A(z),B(w), C(-w)

,
ισχύει ότι τα σημεία B,C

είναι αντιδιαμετρικά κύκλου ακτίνας $\displaystyle{|z|=|w|}$ και
το Α είναι σημείο του ίδιου κύκλου,
οπότε το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ είναι ορθογώνιο και σύμφωνα με το ζητούμενο θα πρέπει $tanC \leq \sqrt{3}$ δηλαδή $\hat{C} \leq 60^o$ , το οποίο δεν ισχύει απαραίτητα ...

G.Tsikaloudakis · #3

Έγινε συμπλήρωση συνθήκης:
${\mathop{\rm Re}\nolimits} (z\bar w) \ge 0$

#4

Έχουμε ότι:

$\displaystyle{\sqrt 3^2 |z + w|^2 -|z - w|^2 =3(z+w)(\bar{z}+\bar{w})-(z-w)(\bar{z}-\bar{w})=}$

$\displaystyle{=3z\bar{z}+3z\bar{w}+3\bar{z}w +3w\bar{w}-(z\bar{z}-z\bar{w}-\bar{z}w +w\bar{w})=}$

$\displaystyle{=3z\bar{z}+3z\bar{w}+3\bar{z}w +3w\bar{w}-z\bar{z}+z\bar{w}+\bar{z}w -w\bar{w}=}$

$\displaystyle{=2z\bar{z}+4z\bar{w}+4\bar{z}w +2w\bar{w}=2(z\bar{z}+2z\bar{w}+2\bar{z}w +w\bar{w})=}$

$\displaystyle{=2[|z|^2+2(z\bar{w}+\bar{z}w) +|w|^2]=2[|z|^2+4Re(z\bar{w})+|w|^2] \geq 0}$ ,

οπότε

$\displaystyle{\sqrt 3^2 |z + w|^2 \geq |z - w|^2 }$

και

$\displaystyle{\sqrt 3 |z + w| \geq |z - w| }$ .

#5

Ένα σχόλιο πριν από τη γεωμετρική λύση:

Ισχύει κάτι καλύτερο από το $\displaystyle{\sqrt{3}|z+w| \geq |z-w|}$ .

Μπορεί να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{|z+w| \geq |z-w|}$ .

#6

Μια γεωμετρική λύση.

Αν A(z),B(w), C(-w)

,
ισχύει ότι τα σημεία B,C

είναι αντιδιαμετρικά κύκλου ακτίνας $\displaystyle{|z|=|w|}$ και
το Α είναι σημείο του ίδιου κύκλου,
οπότε το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ είναι ορθογώνιο.

Η πληροφορία $\displaystyle{Re(z\bar{w}) \geq 0}$ σημαίνει ότι $\displaystyle{\vec{OA} \cdot \vec{OB} \geq 0}$ ,

οπότε $\displaystyle{0^o \leq \hat{AOB} \leq 90^o}$ , οπότε $\displaystyle{90^o \leq \hat{AOC} \leq 180^o}$ .

Στο ισοσκελές τρίγωνο AOC (AO=OC)

ισχύει: $\displaystyle{0^o \leq \hat{C} \leq 45^o}$ ,

οπότε $\displaystyle{tan0^o \leq tanC \leq tan45^o}$ ή $\displaystyle{0 \leq \frac{AB}{AC} \leq 1}$ .

Συνεπώς $\displaystyle{\frac{|z-w|}{|z+w|} \leq 1 \Leftrightarrow |z-w| \leq |z+w|}}$ ,

άρα και $\displaystyle{|z-w| \leq |z+w| \leq \sqrt{3}|z+w|}}$ .

#7

Θα αποδείξουμε το ζητούμενο, χωρίς τη συνθήκη $\displaystyle{|z|=|w|.}$

Με βάση το παρακάτω σχήμα έχουμε:

Το μέσον $\displaystyle{\Delta}$ είναι η εικόνα του μιγαδικού $\displaystyle{\frac{z+w}{2}.}$ Άρα το $\displaystyle{|z+w|}$ ισούται με το διπλάσιο του μήκους της διαμέσου, η οποία αντιστοιχεί στην πλευρά $\displaystyle{a=B \Gamma}$

Θέλουμε, λοιπόν, να αποδείξουμε, ότι

$\displaystyle{2m_a\geq a,}$ δηλαδή ότι $\displaystyle{4m^2 _a\geq a^2,}$ η οποία γράφεται ως $\displaystyle{b^2+c^2\geq a^2.}$

Αυτό όμως ισχύει, αφού η γωνία $\displaystyle{\widehat{BA\Gamma}}$ είναι μη αμβλεία, δεδομένου ότι ισχύει $\displaystyle{Re (z\bar{w})\geq 0}$ (το αναφέρει και ο Λευτέρης παραπάνω).

zorba_the_freak · #8

Άσκηση:
Αν $z,w\in\mathbb{C}$ ώστε $Re(z\overline{w})\geq0,$ τότε είναι $|z+w|\geq|z-w|$
Λύση:
$\bullet$ Αν z=0

ή

η αποδεικτέα είναι προφανής
$\bullet$ Αν οι z,w,0

είναι διαφορετικοί μεταξύ τους ανά δύο, τότε αν z=a+bi

και

με $a,b,c,d\in\mathbb{R}$
και Α, Β είναι αντίστοιχα οι εικόνες των z,w

παίρνουμε:
$Re(z\overline{w})\geq0\Leftrightarrow ac+bd\geq0\Leftrightarrow\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\geq0\Leftrightarrow A\widehat{O}B\leq0\Leftrightarrow$
$\displaystyle\Leftrightarrow AB^2\leq OA^2+OB^2\Leftrightarrow|z-w|^2\leq|z|^2+|w|^2\Leftrightarrow|z-w|^2\leq\frac{|z+w|^2+|z-w|^2}{2}\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow|z-w|\leq|z+w|$

Παρατήρηση: Η δεύτερη περίπτωση, μας καλύπτει ακόμα και αν είναι $A\widehat{O}B=0^0$

Στη σκιά μιας άλλης

Στη σκιά μιας άλλης

Re: Στη σκιά μιας άλλης

Re: Στη σκιά μιας άλλης

Re: Στη σκιά μιας άλλης

Re: Στη σκιά μιας άλλης

Re: Στη σκιά μιας άλλης

Re: Στη σκιά μιας άλλης

Re: Στη σκιά μιας άλλης

Μέλη σε σύνδεση