Μικρά αλλά ίσα

[KARKAR]

Η διάμεσος του τριγώνου , τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο στα σημεία .

Οι παράλληλες από τα προς την , ξανατέμνουν τον κύκλο στα σημεία αντίστοιχα .

Τέλος οι , τέμνουν τη βάση στα . Δείξτε ότι :

[vittasko]

Έστω τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του δοσμένου τριγώνου , στις πλευρές του αντιστοίχως.

Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα 1, έχουμε το ότι τα σημεία είναι συνευθειακά, όπου

Στο ισοσκελές τραπέζιο , η διαγώνιά του περνάει επίσης από το καθώς η ευθεία είναι μεσοκάθετη των βάσεών του.

Μικρά αλλά ίσα.

f=62_t=19949.PNG (31.33 KiB) Προβλήθηκε 336 φορές

H είναι η πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο και άρα έχουμε το ότι η σημειοσειρά είναι αρμονική και έστω η προβολή του επί της ευθείας

Έτσι, από σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, προκύπτει ότι και η σημειοσειρά είναι αρμονική, όπου και

Από αυτό, συμπεραίνεται ότι το ταυτίζεται με το σημείο τομής των = των μη παραλλήλων πλευρών του τραπεζίου

Σύμφωνα τώρα, με το παρακάτω Λήμμα 2, έχουμε το ότι η δέσμη είναι αρμονική και από προκύπτει ότι όπου και

Από και και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

ΛΗΜΜΑ 1. - Ο εγγεγραμμένος κύκλος τριγώνου εφάπτεται στις πλευρές του στα σημεία αντιστοίχως και έστω το σημείο όπου είναι το μέσον της Αποδείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά, όπου είναι το έγκεντρο του

ΛΗΜΜΑ 2. - Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο με και έστω το σημείο Η παράλληλη ευθεία από το προς τις βάσεις του τραπεζίου, τέμνει την διαγώνιά του στο σημείο έστω Αποδείξτε ότι η δέσμη είναι αρμονική.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Το Λήμμα 1 αποδεικνύεται εύκολα και νομίζω το έχουμε ξαναδεί στο ( μου έρχεται στο νου ότι έχει δοθεί απόδειξη από την Φωτεινή και την παρακαλώ πολύ, αν είναι εύκολο, να μας δώσει τη σχετική παραπομπή ). Το Λήμμα 2 αποδεικνύεται επίσης εύκολα και θα δώσω την απόδειξή του αργότερα.