Μια κλασική ανισότητα!

#1

Την παρακάτω, αν και κλασική, δε θυμάμαι να την έχω δει εδώ:

Ας είναι $\displaystyle{a_1,a_2,...,a_n>0}$ και $\displaystyle{s=a_1+a_2+\cdots+a_n.}$

Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{(1+a_1)(1+a_2)\cdots (1+a_n)\leq 1+s+\frac{s^2}{2!}+\frac{s^3}{3!}+\cdots +\frac{s^n}{n!}.}$

spiros filippas · #2

Από AM-GM έχουμε

$\displaystyle LHS\leq (\frac{s+n}{n})^n=(1+\frac{s}{n})^n$ Όμως

$\displaystyle (1+\frac{s}{n})^n=1+\frac{n!}{1!(n-1)!}\times \frac{s}{n}~+\frac{n!}{2!(n-2)!}\times \frac{s^2}{n^2}+...+\frac{n!}{n!(0!)}\times \frac {s^n}{n^n}=$

$\displaystyle =1+\frac{n!}{n(n-1)!}\times s~+\frac{n!}{n^2(n-2)!}\times \frac{s^2}{2!}~+\frac{n!}{n^3(n-3)!}\times \frac{s^3}{3!}+...+\frac{n!}{n^n}\times \frac{s^n}{n!}<$
<RHS

spiros filippas · #3

Απλώς να συμπληρώσω ότι η ανισότητα ισχύει ως γνήσια αφού στα γινόμενα του παραπάνω αθροίσματος κάθε πρώτος παράγοντας είναι γνήσια μικρότερος της μονάδας
(εκτός από τους πρώτους 2 όρους).

Μια κλασική ανισότητα!

Μια κλασική ανισότητα!

Re: Μια κλασική ανισότητα!

Re: Μια κλασική ανισότητα!

Μέλη σε σύνδεση