Επώνυμο τριώνυμο ( Γ Γυμνασίου )

KARKAR · #1

Φτιάξτε μια εξίσωση της μορφής : x^2+bx+c=0

, η οποία να έχει ρίζες τους διαδοχικούς

θετικούς ακεραίους m < n

. Ισχυρίζομαι ότι για την εξίσωσή σας ισχύουν τα παρακάτω :

α) Ο

είναι αρνητικός και ο

θετικός

β) Ο

είναι περιττός και ο

άρτιος

γ) Ισχύει : $\displaystyle\frac{1}{m}-\frac{1}{n}=\frac{1}{c}$

δ) Η διακρίνουσα της εξίσωσής σας , είναι

ε) Η εξίσωση : x^2+nx+m=0

, έχει ρίζα το

Εξετάστε αν οι ισχυρισμοί είναι βάσιμοι ! ( αλλά μέχρι 11/11

)

ΝΟΤΗΣ ΚΟΥΤΣΙΚΑΣ · #2

KARKAR έγραψε:Φτιάξτε μια εξίσωση της μορφής : , η οποία να έχει ρίζες τους διαδοχικούς

θετικούς ακεραίους . Ισχυρίζομαι ότι για την εξίσωσή σας ισχύουν τα παρακάτω :

α) Ο είναι αρνητικός και ο θετικός

β) Ο είναι περιττός και ο άρτιος

γ) Ισχύει : $\displaystyle\frac{1}{m}-\frac{1}{n}=\frac{1}{c}$

δ) Η διακρίνουσα της εξίσωσής σας , είναι

ε) Η εξίσωση : , έχει ρίζα το

Εξετάστε αν οι ισχυρισμοί είναι βάσιμοι ! ( αλλά μέχρι )

Κύριε Θανάση καλημέρα σας

Αφού οι θετικοί ακέραιοι είναι διαδοχικοί και ισχύει $\displaystyle{m < n \Rightarrow n = m + 1}$ .

Τότε από τους τύπους του Vieta έχουμε: $\displaystyle{\left\{ \begin{gathered} S = - b \\ P = c \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2m + 1 = - b \\ m\left( {m + 1} \right) = c \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \boxed{b = - \left( {2m + 1} \right)}:\left( 1 \right) \\ \boxed{c = m\left( {m + 1} \right)}:\left( 2 \right) \\ \end{gathered} \right.}$

1) Από την $\displaystyle{\left( 1 \right)}$ επειδή $\displaystyle{m}$ είναι θετικός ακέραιος προκύπτει ότι $\displaystyle{b < 0}$ και από την $\displaystyle{\left( 2 \right)}$ επειδή $\displaystyle{m}$ είναι θετικός ακέραιος προκύπτει ότι $\displaystyle{c> 0}$

2) Από την $\displaystyle{\left( 1 \right)}$ προκύπτει ότι $\displaystyle{b}$ είναι περιττός (μορφή περιττού) και το $\displaystyle{c}$ είναι άρτιος (γινόμενο διαδοχικών ακεραίων)

3) $\displaystyle{\frac{1}{m} - \frac{1}{n}\mathop = \limits^{n = m + 1} \frac{1}{m} - \frac{1}{{m + 1}} = \frac{{m + 1 - m}}{{m\left( {m + 1} \right)}} = \frac{1}{{m\left( {m + 1} \right)}}\mathop \Rightarrow \limits^{c = m\left( {m + 1} \right)} \boxed{\frac{1}{m} - \frac{1}{n} = \frac{1}{c}}}$

4) $\displaystyle{\Delta = {b^2} - 4c = {\left[ { - \left( {2m + 1} \right)} \right]^2} - 4m\left( {m + 1} \right) = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 4{m^2} - 4m = 4{m^2} + 4m + 1 - 4{m^2} - 4m \Rightarrow \boxed{\Delta = 1}}$

5) $\displaystyle{{x^2} + nx + m = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{n = m + 1} \boxed{{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + m = 0}:\left( 3 \right)}$ . Αν λοιπόν η αρχική εξίσωση είχε ρίζα το $\displaystyle{1}$ τότε θα ισχύει για την ισοδύναμή

της $\displaystyle{\left( 3 \right)}$ η σχέση: $\displaystyle{1 + m + 1 + m = 0 \Leftrightarrow 2m = - 2 \Leftrightarrow \boxed{m = - 1 < 0}}$ πράγμα άτοπο αφού από την εκφώνηση ο $\displaystyle{m \in Z_ + ^ * }$

Υ.Σ. Συγγνώμη που καθυστέρησα να απαντήσω

Φιλικά
Νότης

Επώνυμο τριώνυμο ( Γ Γυμνασίου )

Επώνυμο τριώνυμο ( Γ Γυμνασίου )

Re: Επώνυμο τριώνυμο ( Γ Γυμνασίου )

Μέλη σε σύνδεση