Μαθηματικό σφάλμα;;;

#1

Έστω $\displaystyle{{\rm{f : (0}}{\rm{, + }}\infty {\rm{) }} \to \math{R}}$ μια συνάρτηση παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο...
Αν $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = 0 }$ να δείξετε οτι : $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f^ {\prime} (x) = 0 }$ .

Aπόδειξη

Απο το Θ.Μ.Τ στο [x,x+1],

προκύπτει πως υπάρχει $\xi$ στο (x,x+1)

, ώστε : $f' (\xi)=f(x+1)-f(x).$
Τότε $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } [f(x + 1) - f(x)] = 0 }$ .
Καθώς $x \rightarrow +\infty$ τότε και $\xi \rightarrow +\infty$ και λόγω της συνέχειας της

λαμβάνουμε : $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f^{\prime} (x) = 0 }$ .

To βλέπετε σωστό;

Στη συνέχεια θα πω και για την πηγή,αλλά κι άλλα...

Y.Γ: Αλλαγή κώδικα σε Latex. 01/02/2013

#2

Συνηθισμένο λεπτό λάθος ! Όταν λέμε ότι υπάρχει ξ στην πραγματικότητα αυτό είναι ένα ξ(χ) . Δηλαδή πρακτικά είναι σαν να έχουμε σύνθεση συναρτήσεων foξ(χ) . Όμως δεν γνωρίζουμε τίποτα για την συνάρτηση ξ(χ) (αν είναι συνεχής δηλαδή ώστε να βάλουμε το όριο μέσα) . ( Για να το καταλάβει κανείς πιο καλά αυτό ας προσπαθήσει να κάνει αλλαγή μεταβλητής στο όριο και ας σκεφτεί ποιες είναι οι προυποθέσεις για να κάνουμε αλλαγή μεταβλητής )
Τελικά το λεπτό αυτό σημείο μπορεί να διορθωθεί με δύο τρόπους ( τουλάχιστον αυτούς έχω υπόψην )
Ή με την αρχή της μεταφοράς για το όριο ( προσοχή ! για το όριο όχι για τη συνέχεια ) ή με τον εψιλοτικό ορισμό . Τελικά θα έχουμε το ίδιο αποτέλεσμα

#3

Πολύ ωραία ! Ευχαριστώ Σιλουανε.
Δίνω κι ένα αντιπαράδειγμα για την περίπτωση:
$\displaystyle{\displaystyle f(x) = \frac{{\sin x^2 }} {x},x \in \left( {0, + \infty } \right) }$ .

Το παραπάνω δημοσιεύθηκε, ως ερώτημα στο περιοδικό Θεαίτητος του Μ.Μαραγκάκη και επαναδημοσιεύτηκε για προβληματισμό,στο
περιοδικό Απολλώνιος, απο τον Γ.Απλάκιδη.

dimgiann · #4

Το θέμα αυτό ακριβώς το έχουμε αναφέρει πάλι στην επόμενη ανάρτηση
viewtopic.php?f=57&t=929
Σε κάθε περίπτωση οι απαντήσεις έχουν ενδιαφέρον και λύνουν λεπτά ζητήματα.
Δ. Γιαννόπουλος

#5

Καλημέρα. Να ζητήσω συγνώμη γιατί δεν είχα αντιληφθεί, πως ήδη υπήρχε το θέμα...Παρ'ολα αυτά , συμφωνώ κι εγω πως έχει ενδιαφέρον η συζήτηση του.
H δική μου γνώμη, κατόπιν διαβάσματος , είναι πως ναι μεν έχουμε δείξει πως $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f^{\prime} (\xi ) = 0 }$ , αλλά αυτό δε μας εξασφαλίζει πως θα είναι και : $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f^{\prime} (x) = 0 }$ , αφού το $\xi(x)$ είναι μια εξαιρετικά ''απρόβλεπτη'' συνάρτηση του

...

Υ.Γ: Αλλαγή σε Latex 01/04/2013

#6

chris_gatos έγραψε:Καλημέρα. Να ζητήσω συγνώμη γιατί δεν είχα αντιληφθεί, πως ήδη υπήρχε το θέμα...Παρ'ολα αυτά , συμφωνώ κι εγω πως έχει ενδιαφέρον η συζήτηση του.
H δική μου γνώμη, κατόπιν διαβάσματος , είναι πως ναι μεν έχουμε δείξει πως $\displaystyle{\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f^{\prime} (\xi ) = 0 }$ , αλλά αυτό δε μας εξασφαλίζει πως θα είναι και : $\displaystyle{\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f^{\prime} (x) = 0 }$ , αφού το ξ(χ) είναι μια εξαιρετικά ''απρόβλεπτη'' συνάρτηση του χ...

Χρήστο, ετοιμαζόμουνα να γράψω μια σκέψη, αλλά διαβάζοντας το τελευταίο σου μήνυμα είδα αυτό που είχα στο μυαλό μου. Ακριβώς εκεί είναι το πρόβλημα. Μπορεί το όριο της f(g(x))

να υπάρχει στο IR για μια συγκεκριμένη(ή για άπειρες) g , αλλά αυτό δεν μας οδηγεί σε συμπέρασμα για το όριο της f .Αν όμως η g είναι πχ συνεχής και 1-1(ίσως και με ασθενέστερες συνθήκες), τότε το συμπέρασμα υποψιάζομαι πως είναι σωστό, μια και τιμες της g δεν διαφέρουν στην ουσία από τις τιμές μιας ανεξάρτητης μεταβλητής.Δεν έχω κάνει την απόδειξη, αλλά αν το συμπέρασμα αυτό είναι σωστό, θα αποδεικνύεται με τον ορισμό του ορίου.Φρονώ πως αρκεί να πάρουμε $x > g^{-1}(x_0)$ , οπότε θα προκύψει ότι $|f(x)| < \epsilon$ , όπου x_0

είναι το αντίστοιχο σημείο που δουλεύει ο ορισμός για το ότι η fog έχει όριο 0, αν το χ τείνει στο + άπειρο.
Ρίξτο μια ματιά και τα ξαναλέμε!(πάω για αποτελέσματα των Α΄, Β΄Γ΄)

Μπάμπης

7apostolis · #7

Καλό μεσημέρι,
χωρίς να θυμάμαι ακριβώς που, αλλά συνάντησα παρόμοια άσκηση, με την προσθήκη: αν δίνεται ότι η f ' έχει όριο για χ->+οο, τότε αυτό είναι 0.

Α. Παπαδογιαννάκης

#8

Kαλησπέρα! Αποστόλη, μου πήρες τη μπουκιά απο το στόμα...
Η άσκηση που λές, λέει το εξής:
Αν τα όρια $\displaystyle{\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x),\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f^{\prime} (x) }$ , ΥΠΑΡΧΟΥΝ και τα δύο, τότε $\displaystyle{\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f^{\prime} (x) = 0 }$ .
Μπάμπη μου φαίνεται πως στο συγκεκριμένο σημείο τα πράγματα δεν είναι και τόσο απλά...

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Το ''υπάρχουν'' είναι με την έννοια που καθορίζεται σε...άπειρα βιβλία απειροστικού λογισμού και όχι όπως π.χ ίσως το εννοούσαν οι θεματοδότες και εξεταστές της διδακτικής του ΑΣΕΠ, για να μπερδέψουν τον κοσμάκη.

#9

Θα κάνω την εύκολη σχολική περίπτωση . Αν τα όρια είναι πραγματικοί αριθμοί και διάφοροι από το 0 , τότε me Hospital
$\lim_{x\rightarrow \infty} f(x)=\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{e^xf(x)}{e^x}=\lim_{x\rightarrow \infty} (f^{\prime}(x)+f(x))$

από όπου προκύτει το ζητούμενο . Αν τώρα το όριο της f είναι μηδέν τότε γίνεται με εψιλοτικό ορισμό .

#10

smar έγραψε:Θα κάνω την εύκολη σχολική περίπτωση . Αν τα όρια είναι πραγματικοί αριθμοί και διάφοροι από το 0 , τότε me Hospital
$\lim_{x\rightarrow \infty} f(x)=\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{e^xf(x)}{e^x}=\lim_{x\rightarrow \infty} (f^{\prime}(x)+f(x))$

από όπου προκύτει το ζητούμενο . Αν τώρα το όριο της f είναι μηδέν τότε γίνεται με εψιλοτικό ορισμό , όπως και για τις περιπτώσεις των απείρων .

Εξαιρετικά όμορφο! Στην περίπτωση που το όριο είναι 0, μπορούμε να δουλέψουμε με την g(x) = f(x)+1

.

(Εγώ είχα πει: H αρχική "απόδειξη" δείχνει ότι υπάρχει ακολουθία $\xi_n$ που τείνει στο άπειρο με $f^{\prime}(\xi_n) \to 0$ . Άρα αν το όριο υπάρχει πρέπει να είναι υποχρεωτικά ίσο με 0.)

#11

Demetres έγραψε:
Στην περίπτωση που το όριο είναι 0, μπορούμε να δουλέψουμε με την .

Δημήτρη πάρα πολύ ωραία ! Φαίνεται απλό αλλά δεν είναι αυτό που μόλις έκανες παραπάνω !

Μαθηματικό σφάλμα;;;

Μαθηματικό σφάλμα;;;

Re: Μαθηματικό σφάλμα;;;

Re: Μαθηματικό σφάλμα;;;

Re: Μαθηματικό σφάλμα;;;

Re: Μαθηματικό σφάλμα;;;

Re: Μαθηματικό σφάλμα;;;

Re: Μαθηματικό σφάλμα;;;

Re: Μαθηματικό σφάλμα;;;

Re: Μαθηματικό σφάλμα;;;

Re: Μαθηματικό σφάλμα;;;

Re: Μαθηματικό σφάλμα;;;

Μέλη σε σύνδεση