Yπάρχει συνάρτηση;;

#1

Άραγε να υπάρχει συνάρτηση f : R -> (0,+00) παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο,για την οποία να ισχύει:
$\displaystyle{\displaystyle f^{\prime} = f \circ f }$ ;;

mathxl · #2

Σβήνω την απάντηση γιατί είναι κουφή...

#3

Οχι διότι
Δίνεται ότι f(x)>0

στο R
άρα $f(f(x))>0 \forall x\in R\Rightarrow f^{\prime}(x)>0\Rightarrow f \uparrow$ στο R [1]
Επειδή f(x)>0

λόγω της [1] παίρνουμε $f(f(x))>f(0)\Rightarrow f^{\prime}(x)>f(0) \Rightarrow f(x)-xf(0) \uparrow \forall x\in R$
αλλά αν πάρουμε $x<0\Rightarrow f(x)-xf(0)<f(0)-0\Rightarrow f(x)<(1+x)f(0)$ [2]
Επειδή όμως είχαμε $f(x)>0\Rightarrow f(0)>0$
για x<-1 λόγω της [2], άτοπο
(από putnam)

Yπάρχει συνάρτηση;;

Yπάρχει συνάρτηση;;

Re: Yπάρχει συνάρτηση;;

Re: Yπάρχει συνάρτηση;;

Μέλη σε σύνδεση