Παράγωγος Υποομάδα

ΖΩΗ · #1

Αν με $\displaystyle{D(G)}$ συμβολίσουμε την παράγωγο υποομάδα της ομάδας $\displaystyle{G}$ να αποδειχθεί ότι:

1. Κάθε στοιχείο της $\displaystyle{D(G)}$ είναι γινόμενο πεπερασμένου πλήθους μεταθετών.

2. Η $\displaystyle{D(G)}$ είναι χαρακτηριστική υποομάδα της $\displaystyle{G}$ .

3. Η ομάδα $\displaystyle{G/D(G)}$ είναι αντιμεταθετική ομάδα.

4. Αν $\displaystyle{H\unlhd G}$ τότε $\displaystyle{G/H}$ αντιμεταθετική ομάδα $\displaystyle{ \iff D(G) \leq H}$ .

Δηλαδή, η $\displaystyle{D(G)}$ είναι η μικρότερη κανονική υποομάδα της $\displaystyle{G}$ η οποία έχει αντίστοιχη ομάδα πηλίκο αντιμεταθετική.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΖΩΗ · #2

Για το 1.

Ισχύει $\displaystyle{D(G) = < \Delta > = \left\{ d_1 d_2 \cdots d_k / \,\,d_i \in \Delta \cup \Delta ^{-1} \right\} }$ .

Όμως $\displaystyle{\Delta ^{-1} = \left\{\delta ^{-1}/ \delta \in \Delta \right\}=\left\{ [x,y]^{-1}/ x,y \in G \right\} = \left\{ (xyx^{-1}y^{-1})^{-1} / x,y \in G \right\}=}$

$\displaystyle{=\left\{ yxy^{-1}x^{-1} / x,y \in G\right\}=\left\{ [y,x] / x,y \in G \right\}=\Delta}}$ ,

άρα τελικά είναι $\displaystyle{D(G) = \left\{ d_1 d_2 \cdots d_k / \,\,d_i \in \Delta \right\}}$ .

Για το 2.

Αν $\displaystyle{f \in \text{Aut} (G)}$ αρκεί να δείξουμε ότι $\displaystyle{ f\left( D(G)\right) \subseteq D(G)}$ .

Αφού κάθε στοιχείο της $\displaystyle{D(G)}$ είναι γινόμενο μεταθετών και η $\displaystyle{f}$ είναι ομομορφισμός αρκεί να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{ f\left([x,y] \right) \in D(G), \, \forall x,y \in G}$ .

Είναι: $\displaystyle{f\left([x,y] \right) = f\left(xyx^{-1}y^{-1} \right) = f(x)f(y)f(x^{-1})f(y^{-1}) = f(x)f(y)f(x)^{-1}f(y)^{-1} = \left[f(x), f(y) \right] \in D(G)}$ .

ΖΩΗ · #3

Για το 3.

Θα δείξουμε ότι η ομάδα $\displaystyle{G/D(G)}$ είναι αντιμεταθετική ομάδα.

Κατ' αρχήν παρατηρούμε ότι $\displaystyle{D(G) \unlhd G}$ - αφού κάθε χαρακτηριστική υποομάδα είναι και κανονική - επομένως το πηλίκο $\displaystyle{G/D(G)}$ είναι ομάδα.

Για την αντιμεταθετικότητα:

$\displaystyle{G/D(G) =}$ αντιμεταθετική $\displaystyle{\iff xD(G) yD(G)=yD(G)xD(G), ~\forall xD(G), \, yD(G) \in G/D(G) \iff}$

$\displaystyle{\iff x yD(G)=yxD(G), ~\forall xD(G), \, yD(G) \in G/D(G) \iff}$

$\displaystyle{\iff x^{-1}y^{-1}x yD(G)=D(G), ~\forall xD(G), \, yD(G) \in G/D(G) \iff}$

$\displaystyle{\iff x^{-1}y^{-1}x y \in D(G), ~\forall x, \, y \in G \iff}$

$\displaystyle{\iff [x^{-1}, y^{-1}] \in D(G), ~\forall x, \, y \in G}$ το οποίο ισχύει.

ΖΩΗ · #4

Για το 4.

Έστω $\displaystyle{H\unlhd G}$ . H ομάδα $\displaystyle{G/H}$ είναι αντιμεταθετική $\displaystyle{ \iff HxHy = HyHx, \, \forall Hx,Hy \in G/H}$

$\displaystyle{ \iff Hxy = Hyx, \, \forall x,y \in G \iff H=Hyxy^{-1}x^{-1} , \, \forall x,y \in G \iff }$

$\displaystyle{yxy^{-1}x^{-1} \in H , \, \forall x,y \in G \iff [y,x] \in H , \, \forall x,y \in G \iff D(G) \leq H}$ .

Παράγωγος Υποομάδα

Παράγωγος Υποομάδα

Re: Παράγωγος Υποομάδα

Re: Παράγωγος Υποομάδα

Re: Παράγωγος Υποομάδα

Μέλη σε σύνδεση