Σύγκριση αριθμών

#1

Να συγκριθούν οι αριθμοί:

(α) $A=3^{183}, B=2^{307}-2^{306}-2^{305}$

(β) $\Gamma =\frac{3^{20}}{2^{30}}, \Delta =\frac{5^{18}}{2^{42}}$

Γιώργος Απόκης · #2

Eπειδή μου άρεσε, μπαίνω στον πειρασμό και απαντάω... το β) !

$\displaystyle{\Gamma =\frac{3^{20}}{2^{30}}=\frac{(3^2)^{10}}{(2^3)^{10}}=\frac{9^{10}}{8^{10}}=\left(\frac{9}{8}\right)^{10}>1}$ , αφού $\displaystyle{\frac{9}{8}>1}$ και

$\displaystyle{\Delta =\frac{5^{18}}{2^{42}}=\frac{(5^3)^{6}}{(2^7)^{6}}=\frac{125^{6}}{128^{6}}=\left(\frac{125}{128}\right)^{6}<1}$ , αφού $\displaystyle{0<\frac{125}{128}<1}$ . Άρα, $\Gamma > \Delta$ .

Γιώργος Απόκης · #3

Aς δώσω και για το α) μια απάντηση:

Είναι $A=3^{183}=(3^3)^{61}=27^{61}$ και

$B=2^{307}-2^{306}-2^{305}=2^{305}(2^2-2-1)=2^{305}=(2^5)^{61}=32^{61}>A$

#4

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Να συγκριθούν οι αριθμοί:
(β) $\Gamma =\frac{3^{20}}{2^{30}}, \Delta =\frac{5^{18}}{2^{42}}$

Ας την δυσκολέψω μετά την λύση του Γιώργου, που δείχνει $\displaystyle \,\,\, \frac{3^{20}}{2^{30}} > \frac{5^{18}}{2^{42}}$ .
Δείξτε $\displaystyle \,\, \, \frac{5^{19}}{2^{42}} > \frac{3^{20}}{2^{30}} > \frac{5^{18}}{2^{42}}$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

irakleios · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Να συγκριθούν οι αριθμοί:
(β) $\Gamma =\frac{3^{20}}{2^{30}}, \Delta =\frac{5^{18}}{2^{42}}$
Ας την δυσκολέψω μετά την λύση του Γιώργου, που δείχνει $\displaystyle \,\,\, \frac{3^{20}}{2^{30}} > \frac{5^{18}}{2^{42}}$ .
Δείξτε $\displaystyle \,\, \, \frac{5^{19}}{2^{42}} > \frac{3^{20}}{2^{30}} > \frac{5^{18}}{2^{42}}$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

Εμένα με δυσκόλεψε ! (Περιμένω μια λύση πολύ πιο απλή από τη δικιά μου )

Θα δείξω πρώτα ότι $\displaystyle{\frac{3^{20}}{2^{30}} < 4}$ .

Αρκεί να δείξω ότι $\displaystyle{3^{20} < 2^{32}}$ το οποίο ισχύει αφού $\displaystyle{3^{20} = (3^5)^4 = 243^4 < 256^4 = (2^8)^4 = 2^{32}}$ .

Θα ήταν λογικό λοιπόν να πάω να δείξω τώρα ότι $\displaystyle{\frac{5^{19}}{2^{42}} > 4}$ δηλ ότι $\displaystyle{5^{19} > 2^{44}}$ (*) , αλλά άντε θα δείξω κάτι πιο ισχυρό .

Θα δείξω ότι $\displaystyle{\frac{5^{19}}{2^{42}} > \frac{21}{5} = 4.2}$ αρκεί να δείξω ότι $\displaystyle{5^{20} > 21\cdot 2^{42}}$ ή $\displaystyle{5^{20} > 84\cdot 2^{40}}$ ή $\big(\frac{5^5}{2^{10}}\big)^4 > 84$ όμως $\displaystyle{\big(\frac{5^5}{2^{10}}\big)^4 = (\frac{3125}{1024})^4 > (\frac{3125}{1025})^4 = (\frac{125}{41})^4 > (\frac{76}{25})^4 = (3.04)^4 = 85.40717056 > 84}$

Edit : Δες το * στο τελευταίο μνμ μου .

#6

irakleios έγραψε: <...>
Εμένα με δυσκόλεψε ! (Περιμένω μια λύση πολύ πιο απλή από τη δικιά μου )

Δεν πιστεύω ότι υπάρχει τρόπος που αποφεύγει τις κακοτοπιές, δεδομένου ότι τα δύο μέλη (της αριστερής ανισότητας) είναι σχεδόν ίσα.
Κάθε "μικρή" μείωση στα νούμερα, συχνότατα αποδεικνύεται στο τέλος "κακή επιλογή". Πρέπει να κάνει κανείς "πολύ ντελικάτες" εκτιμήσεις σε κάθε βήμα.

Πάντως, όταν την κατασκεύαζα, αντιμετώπισα ακριβώς τις ίδιες δυσκολίες... Γι' αυτό και την έβαλα στο φόρουμ.

Ευχαριστώ που ασχολήθηκες.

Φιλικά,

Μιχάλης

irakleios · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε:
irakleios έγραψε: <...>
Εμένα με δυσκόλεψε ! (Περιμένω μια λύση πολύ πιο απλή από τη δικιά μου )
Δεν πιστεύω ότι υπάρχει τρόπος που αποφεύγει τις κακοτοπιές, δεδομένου ότι τα δύο μέλη (της αριστερής ανισότητας) είναι σχεδόν ίσα.
Κάθε "μικρή" μείωση στα νούμερα, συχνότατα αποδεικνύεται στο τέλος "κακή επιλογή". Πρέπει να κάνει κανείς "πολύ ντελικάτες" εκτιμήσεις σε κάθε βήμα.

Πάντως, όταν την κατασκεύαζα, αντιμετώπισα ακριβώς τις ίδιες δυσκολίες... Γι' αυτό και την έβαλα στο φόρουμ.

Ευχαριστώ που ασχολήθηκες.

Φιλικά,

Μιχάλης

Αυτές οι φράσεις σας(τις σημείωσα με κόκκινο) περιγράφουν ακριβώς αυτά που βίωσα καθώς την έλυνα ! Και να φανταστεί κανείς ότι την ξεκίνησα ...ελαφρά τη καρδία

.
(*)Επίσης με τον ίδιο τρόπο θα μπορούσαμε να δείξουμε ότι $5^{19} > 2^{44}$ αφού αρκεί να δείξουμε ότι $5^{20} > 80\cdot 2^{40}$ το οποίο το προχωράμε με τον τρόπο που έδειξα πιο πάνω.
Να είστε καλά !

Γιώργος Απόκης · #8

irakleios έγραψε: Και να φανταστεί κανείς ότι την ξεκίνησα ...ελαφρά τη καρδία .

Kι εγώ "ελαφρά τη καρδία" την ξεκίνησα και κατέληξα με "κόκκινο το μέτωπο"

Ακόμα ψάχνω για λύση χωρίς καμία προσέγγιση ή υπολογισμό με δεκαδικούς (που δεν απαγορεύονται φυσικά!)

Σύγκριση αριθμών

Σύγκριση αριθμών

Re: Σύγκριση αριθμών

Re: Σύγκριση αριθμών

Re: Σύγκριση αριθμών

Re: Σύγκριση αριθμών

Re: Σύγκριση αριθμών

Re: Σύγκριση αριθμών

Re: Σύγκριση αριθμών

Μέλη σε σύνδεση