Κάθε τιμή ακριβώς δύο φορές!

#1

Να δείξετε ότι η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, \ f(x)=x+\{x\}$ παίρνει κάθε πραγματική τιμή ακριβώς δύο φορές.
Είναι συνεχής;

#2

socrates έγραψε:Να δείξετε ότι η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, \ f(x)=x+\{x\}$ παίρνει κάθε πραγματική τιμή ακριβώς δύο φορές.
Είναι συνεχής;

Είναι

. Εξετάζοντας τα

με $n\le x <n+1$ , εύκολα βλέπουμε ότι το γράφημα της

είναι όπως στο σχήμα (ευθύγραμμα τμήματα με κλίση

). Διαπιστώνουμε ότι, πράγματι, και κάθε τιμή λαμβάνεται δύο φορές και ότι έχουμε ασυνέχειες στα x=n

.

Φιλικά,

Μιχάλης

#3

Έστω

τυχαίος πραγματικός. Ας λύσουμε την εξίσωση f(x)=y

ως προς

Γράφεται $y=[x]+2\{x\}.$ Άρα $[y]=[x]+[2\{x\}].$

Αν $0\leq \left\{x \right\}<\frac{1}{2}$ τότε [y]=[x]

και $\left\{y \right\}=2 \left\{x \right\}.$ Άρα $\displaystyle{x=[y]+\frac{\{y\}}{2}}$

Αν $\frac{1}{2}\leq \left\{x \right\} <1$ τότε [y]=[x]+1

και $\left\{y \right\}+1=2 \left\{x \right\}.$ Άρα $\displaystyle{x=[y]-1+\frac{\{y\}+1}{2}}.$

H συνάρτηση

συμπεριφέρεται ως προς τη συνέχεια όπως και η $g(x)=\{x\}$ η οποία είναι συνεχής παντού εκτός από τους ακεραίους.

Κάθε τιμή ακριβώς δύο φορές!

Κάθε τιμή ακριβώς δύο φορές!

Re: Κάθε τιμή ακριβώς δύο φορές!

Re: Κάθε τιμή ακριβώς δύο φορές!

Μέλη σε σύνδεση