Όμορφο πρόβλημα με πράξη

#1

Έστω

ένα μη κενό σύνολο και η προσεταιριστική πράξη $\cdot : M \times M \to M,$ τέτοια ώστε για κάποιο φυσικό $n \geq 2$ να ισχύει (xy)^n=yx

για κάθε $x,y \in M$ .
α) Να δείξετε ότι είναι αντιμεταθετική, δηλαδή xy=yx,

για κάθε $x, y \in M .$
β) Αν επιπλέον η πράξη $\cdot$ έχει ουδέτερο στοιχείο και κάθε στοιχείο του

έχει αντίστροφο, τότε η συνάρτηση $f:M\to M$ με f(x)=x^p

, όπου

, είναι επί.

ΖΩΗ · #2

socrates έγραψε:Έστω ένα μη κενό σύνολο και η προσεταιριστική πράξη $\cdot : M \times M \to M,$ τέτοια ώστε για κάποιο φυσικό $n \geq 2$ να ισχύει για κάθε $x,y \in M$ .
α) Να δείξετε ότι είναι αντιμεταθετική, δηλαδή για κάθε $x, y \in M .$
β) Αν επιπλέον η πράξη $\cdot$ έχει ουδέτερο στοιχείο και κάθε στοιχείο του έχει αντίστροφο, τότε η συνάρτηση $f:M\to M$ με , όπου , είναι επί.

Για το β)

Αν συμβολίσουμε με $\displaystyle{e}$ το ουδέτερο και εφαρμόσουμε την υπόθεση για $\displaystyle{y=e}$ έχουμε $\displaystyle{x^n = x \iff x^{n-1} =e, \, \forall x \in M}$ .

Αφού (n-1,p)=1

θα υπάρχουν ακέραιοι $\displaystyle{\lambda, \mu}$ ώστε $\displaystyle{\lambda p+ \mu (n-1) = 1}$ .

Επομένως, $\displaystyle{M \ni x = x^1 = x^{\lambda p+ \mu (n-1) }=\left( x{^{\lambda}}\right)^{p} \left( x ^{(n-1) }\right)^\mu = \left( x^{ \lambda}\right)^{p}e = \left(x^{ \lambda}\right)^{p} = f\left(x^{ \lambda}\right) \in f\left(M \right)}$ , δηλαδή η $\displaystyle{f}$ είναι επί.

#3

Για το α)

$\displaystyle{xy=(yx)^n=(x y)^{n^2}= ((xy)(xy)^{n-1})^n=(xy)^{n-1}(xy)=(xy)^n=yx}$

Όμορφο πρόβλημα με πράξη

Όμορφο πρόβλημα με πράξη

Re: Όμορφο πρόβλημα με πράξη

Re: Όμορφο πρόβλημα με πράξη

Μέλη σε σύνδεση