Τριγωνομετρική αντικατάσταση

lowbaper92 · #1

Το ολοκλήρωμα $\displaystyle{ I=\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}dx }$ πως βγαίνει με την αντικατάσταση $\displaystyle{ x=tanu }$ ?
Το φτάνω μέχρι $\displaystyle{ I=\frac{1}{2}ln\left|\frac{1+sinu}{1-sinu} \right| }$ αλλά δεν φτάνω στο $\displaystyle{ I=ln\left(x+\sqrt{x^{2}+1} \right) }$
Ξέρω ότι βγαίνει σε μια σειρά με αντικατάσταση $\displaystyle{ x=sinh(u) }$ αλλά μ'έχει φάει η περιέργεια γι'αυτόν τον τρόπο.
Ευχαριστώ για τη βοήθεια !

#2

lowbaper92 έγραψε:Το ολοκλήρωμα $\displaystyle{ I=\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}dx }$ πως βγαίνει με την αντικατάσταση $\displaystyle{ x=tanu }$ ?
Το φτάνω μέχρι $\displaystyle{ I=\frac{1}{2}ln\left|\frac{1+sinu}{1-sinu} \right| }$ αλλά δεν φτάνω στο $\displaystyle{ I=ln\left(x+\sqrt{x^{2}+1} \right) }$
Ξέρω ότι βγαίνει σε μια σειρά με αντικατάσταση $\displaystyle{ x=sinh(u) }$ αλλά μ'έχει φάει η περιέργεια γι'αυτόν τον τρόπο.
Ευχαριστώ για τη βοήθεια !

Πολλαπλασιάζοντας αριθμητή και παρονομαστή με το $1+\sin x$ έχουμε

$\displaystyle{ \frac{1}{2} \ln \left|\frac{1+sinu}{1-sinu} \right| = \frac{1}{2}\ln \left|\frac{1+sinu}{\cos u} \right|^2 = \ln \left|\frac{1+sinu}{\cos u} \right |=}$

$\displaystyle{ = \ln \left|\frac{1}{\cos u} + \tan u \right | =\ln \left|\sqrt {1+x^2} + x \right | }$ .

Tο απόλυτο δεξιά μπορεί να φύγει αφού $\sqrt {1+x^2}\ge x$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

km85 · #3

Το συγκεκριμένο ολοκλήρωμα το έχω δει χωρις τριγωνομετρία αλλά δε μπορώ να το θυμηθώ! Πολύ ενδιαφέρον ολοκλήρωμα όμως!

#4

km85 έγραψε:Το συγκεκριμένο ολοκλήρωμα το έχω δει χωρις τριγωνομετρία αλλά δε μπορώ να το θυμηθώ! Πολύ ενδιαφέρον ολοκλήρωμα όμως!

Το $\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx$ ισούται και με ${\rm{arcsinh}}(x)+c$

km85 · #5

Ναι εννοώ όμως οτι το είχα δει με διαφορετικό τρόπο. δεν έθετε με εφαπτομένη το έλυνε διαφορετικά! αν μπορεί να το λύσει καποιος θα δεις τι εννοώ!

#6

km85 έγραψε:Ναι εννοώ όμως οτι το είχα δει με διαφορετικό τρόπο. δεν έθετε με εφαπτομένη το έλυνε διαφορετικά! αν μπορεί να το λύσει κάποιος θα δεις τι εννοώ!

Πρώτα αυτός ο κάποιος πρέπει να καταλάβει τι εννοείς και κατόπιν να το γράψει ώστε να δω και εγώ τι εννοείς!!!
Πολύ περίπλοκο και αντιμαθηματικό!
Να προσθέσω, επίσης, ότι και στο mathematica ο καθένας γράφει μόνος του τα μαθηματικά του.

Εν προκειμένω:
Το συγκεκριμένο ολοκλήρωμα είναι στοιχειώδες. Εκτός από την αντικατάσταση $t=\tan{x}$ υπάρχει και η αντικατάσταση $x=\sinh{z}$ , με την οποία προκύπτουν $dx=\cosh{z}\,dz$ και $\sqrt{1+x^2}=\cosh{z}$ .

$\displaystyle\int{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,dx}=\int{\frac{1}{\cosh{z}}\,\cosh{z}\,dz}=\int{\,dz}=z+c\stackrel{x=\sinh{z}}{=}{\rm{arcsinh}}\,{x}+c=$

$\ln\bigl({x+\sqrt{1+x^2}\,}\bigr)+c\,.\quad\square$

φιλικά

#7

km85 έγραψε:Το συγκεκριμένο ολοκλήρωμα το έχω δει χωρις τριγωνομετρία αλλά δε μπορώ να το θυμηθώ! Πολύ ενδιαφέρον ολοκλήρωμα όμως!

Από την στιγμή που γνωρίζουμε την τελική απάντηση θα μπορούσαμε να γράψουμε $\displaystyle{ \int \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx = \int \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{x + \sqrt{1+x^2}} \, dx = \int \frac{(x + \sqrt{1+x^2}){'}}{x + \sqrt{1+x^2}} = \ln(x + \sqrt{1+x^2}) + c.}$

Δεν ξέρω βέβαια αν αυτό ήταν που είχες δει. Αυτή η λύση όμως αφήνει ένα αίσθημα μη ικανοποίησης αφού κάποιος θα πει δικαιολογημένα πως δεν βλέπει πως κάποιος θα μπορούσε να σκεφτεί αυτήν την απόδειξη. Αντίθετα η τριγωνομετρική (ή υπερβολική) αντικατάσταση είναι πιο «προφανής». Γενικά αν βλέπουμε στο ολοκλήρωμα το 1-x^2

τότε αξίζει να δοκιμάσουμε την αντικατάσταση $x = \sin{u}$ ή $x = \cos(u)$ αφού το 1-x^2

θα μετατραπεί στο απλό $\cos^2{u}$ (ή το $\sin^2{u}$ ) στην δεύτερη περίπτωση. Αυτό δεν σημαίνει βέβαια πως αυτή η αντικατάσταση πάντα θα δουλεύει. Απλά σε αυτήν την περίπτωση δεν είναι ουρανοκατέβατη. Ομοίως αν έχουμε 1+x^2

δοκιμάζουμε $x = \tan(u)$ ή $x = \sinh(u)$ κ.τ.λ.

#8

Ένας ακόμα τρόπος για το συγκεκριμένο ολοκλήρωμα είχε δημοσιευθεί στο (TY)CMJ.

The Two-Year College Mathematics Journal, Vol. 12, No. 5 (Nov., 1981)

A Standard Integral Formula R. S. Luthar.

Τριγωνομετρική αντικατάσταση

Τριγωνομετρική αντικατάσταση

Re: Τριγωνομετρική αντικατάσταση

Re: Τριγωνομετρική αντικατάσταση

Re: Τριγωνομετρική αντικατάσταση

Re: Τριγωνομετρική αντικατάσταση

Re: Τριγωνομετρική αντικατάσταση

Re: Τριγωνομετρική αντικατάσταση

Re: Τριγωνομετρική αντικατάσταση

Μέλη σε σύνδεση