Σύνολο πραγματικών αριθμών

#1

Έστω

ένα σύνολο πραγματικών που έχει τις ιδιότητες

a) $1 \in M$ και b) $\displaystyle{\left[\frac {x}{4}\right] \in M \Rightarrow x \in M}$

Να αποδείξετε ότι

1) $2000+\sqrt{2010} \in M$ και

2) $\displaystyle{2^{2000}+2^{\sqrt{2010}} \in M}$

[x]=

ακέραιο μέρος του

(Από τοπικό Ρουμάνικο διαγωνισμό του 2011)

#2

s.kap έγραψε:Έστω ένα σύνολο πραγματικών που έχει τις ιδιότητες

a) $1 \in M$ και b) $\displaystyle{\left[\frac {x}{4}\right] \in M \Rightarrow x \in M}$

Να αποδείξετε ότι

1) $2000+\sqrt{2010} \in M$ και

2) $\displaystyle{2^{2000}+2^{\sqrt{2010}} \in M}$

ακέραιο μέρος του

(Από τοπικό Ρουμάνικο διαγωνισμό του 2011)

Με επαγωγή στο

μπορούμε εύκολα να δείξουμε ότι $M \supseteq \bigcup_{n=0}^{\infty} A_n$ όπου $A_0 = \{1\}$ και $A_n = [4^n,2 \cdot 4^n)$ για $n \in \mathbb{N}$ .

Για το (1) έχουμε $0 < \sqrt{2010} < 48$ και άρα $2000 + \sqrt{2010} \in A_5 \subseteq M$ . Για το (2), επειδή $\sqrt{2010} < 2000$ έχουμε $2^{\sqrt{2010}} < 2^{2000}$ και άρα $2^{2000} + 2^{\sqrt{2010}} \in A_{1000} \subseteq M$ .

stavros11 · #3

Διαφορετικά, ελπίζω χωρίς λάθος.

Λόγω της ιδιότητας (b) ισχύει η συνεπαγωγή: $\displaystyle{x\notin M \Rightarrow \left[ \frac{x}{4}\right]\notin M}$ , αφού αν $\displaystyle{\left[ \frac{x}{4}\right]\in M}$ , από (b) $\displaystyle{x\in M}$ , που είναι άτοπο λόγω της υπόθεσης.

1) Έστω $\displaystyle{2000+\sqrt{2010} \notin M}$ . Τότε χρησιμοποιώντας το παραπάνω έχουμε: $\displaystyle{2000+\sqrt{2010} \notin M\Rightarrow \left[ \frac{2000+\sqrt{2010}}{4}\right]=511 \notin M\Rightarrow 127\notin M\Rightarrow 7\notin M\Rightarrow 1\notin M}$ , που είναι άτοπο, λόγω της ιδιότητας (a).

2) Θα χρησιμοποιήσουμε κάποιες ιδιότητες του ακέραιου μέρους: $\displaystyle{\forall \; a \in \mathbb{R}, \; k \in \mathbb{Z}}$ ισχύει $\displaystyle{\left[ a+k\right]=\left[ a\right]+k}$ και $\displaystyle{\left[a \right]\leq a}$ .
Θα θεωρήσουμε την συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\left[ \frac{x}{4}\right]}$ , για ευκολία στην Latex. Παρατηρούμε ότι αν $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ και $\displaystyle{k \in \mathbb{Z}}$ με $\displaystyle{4|k}$ , ισχύει $\displaystyle{f(x+k)=\left[ \frac{x}{4}+\frac{k}{4}\right]=\left[ \frac{x}{4}\right]+\frac{k}{4}=f(x)+\frac{k}{4}}$ . Ακόμα θα χρησιμοποιήσουμε τον συμβολισμό $\displaystyle{f_n(x)=(f\circ f\circ ...\circ f)(x)}$ (σύνθεση $\displaystyle{n}$ -φορές)
Οπότε θα ισχύει $\displaystyle{f(2^{2000}+2^{\sqrt{2010}})=f(2^{\sqrt{2010}})+2^{1998}\Rightarrow f_n(2^{2000}+2^{\sqrt{2010}})=f_n(2^{\sqrt{2010}})+2^{2000-2n} \; \; \forall \; n\leq 1000}$ .

Είναι: $\displaystyle{f(2^{\sqrt{2010}})=\left[ 2^{\sqrt{2010}-2}\right]\leq 2^{\sqrt{2010}-2}\Rightarrow f_2(2^{\sqrt{2010}})\leq f(2^{\sqrt{2010}-2})=\left[2^{\sqrt{2010}-4} \right]\leq 2^{\sqrt{2010}-4}\Rightarrow ...\Rightarrow f_{23}(2^{\sqrt{2010}})\leq 2^{\sqrt{2010}-46}< 1}$ και αφού $\displaystyle{f_n(2^{\sqrt{2010}}) \in \mathbb{N} \; \; \forall \; n \in \mathbb{N}}$ , είναι $\displaystyle{f_{23}(2^{\sqrt{2010}})=0}$ . Άρα για κάθε $\displaystyle{k\geq 23}$ είναι $\displaystyle{f_{k}(2^{\sqrt{2010}})=0}$ .

Τελικά $\displaystyle{f_{1000}(2^{2000}+2^{\sqrt{2010}})=f_{1000}(2^{\sqrt{2010}})+2^{2000-2\cdot 1000}=0+1=1}$ , οπότε όμοια με το ερώτημα (1) υποθέτοντας ότι $\displaystyle{2^{2000}+2^{\sqrt{2010}} \notin M}$ , έχουμε $\displaystyle{f(2^{2000}+2^{\sqrt{2010}}) \notin M\Rightarrow f_2(2^{2000}+2^{\sqrt{2010}}) \notin M\Rightarrow ...\Rightarrow f_{1000}(2^{2000}+2^{\sqrt{2010}}) \notin M\Rightarrow 1\notin M}$ , που είναι άτοπο από την ιδιότητα (a).

Σύνολο πραγματικών αριθμών

Σύνολο πραγματικών αριθμών

Re: Σύνολο πραγματικών αριθμών

Re: Σύνολο πραγματικών αριθμών

Μέλη σε σύνδεση