Απόδειξη ανισότητας

Ardid · #1

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=lnx + \frac{1}{x} - 1, x>0$
Να αποδείξετε ότι αν 1<x<y

, τότε $\frac{f(x)}{x-1}<\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$

diomides · #2

Ardid έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=lnx + \frac{1}{x} - 1, x>0$
Να αποδείξετε ότι αν , τότε $\frac{f(x)}{x-1}<\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$

Για

,

έχουμε
$\frac{\ln2-\frac{1}{2}}{2-1}<\frac{\ln3-\frac{2}{3}-\ln2+\frac{1}{2}}{3-2}\Leftrightarrow\ldots\Leftrightarrow\ln\frac{4}{3}<\ln\sqrt[3]{e}\Leftrightarrow\frac{4}{3}<\sqrt[3]{e}\Leftrightarrow\frac{64}{9}<e$

Άτοπο, μήπως εχει ξεφύγει κανένα πρόσημο. Μήπως είναι $f(x)=lnx-\frac{1}{x}-1;$

Ardid · #3

Ποοοοο. Έχασα πέντε ώρες από τη ζωή μου

Από βιβλίο την πήρα και λογικά θα έχει γίνει κάποιο τυπογραφικό λάθος. Ευχαριστώ για την ενασχόληση!

Παρεπιμπτόντως, αν κάποιος "υποψιάζεται" την άσκηση, ας την γράψει.

#4

Κάπως έτσι ώστε να βγαίνει κυρτή.
Η συνάρτηση που είχες δώσει, αλλάζει κυρτότητα εκατέρωθεν του 2.

diomides · #5

chris_gatos έγραψε:Κάπως έτσι ώστε να βγαίνει κυρτή.
Η συνάρτηση που είχες δώσει, αλλάζει κυρτότητα εκατέρωθεν του 2.

Σωστά, αυτή που είπα, $f(x)=lnx-\frac{1}{x}-1$ , δεν βγαίνει κυρτή.

Ardid · #6

Σε αυτή την περίπτωση, η ανισότητα δεν πρέπει να έχει αντίθετη φορά;

diomides · #7

Ardid έγραψε:Σε αυτή την περίπτωση, η ανισότητα δεν πρέπει να έχει αντίθετη φορά;

Ναι, αν η

είναι κοίλη.

michmak · #8

diomides έγραψε: $\Leftrightarrow\ln\frac{4}{3}<\ln\sqrt[3]{e}\Leftrightarrow\frac{4}{3}<\sqrt[3]{e}\Leftrightarrow\frac{64}{\color{red}{9}}<e$

Εδώ έχεις κάνει λάθος Διομήδη... ο παρονομαστής είναι 27 και όχι 9 άρα το κλάσμα 64/27 είναι όντως μικρότερο του e και το αντιπαράδειγμα δεν ισχύει.

Μπορεί επί της ουσίας να έχεις δίκιο, δεν έχω το χρόνο να το κοιτάξω, αλλά απλώς επισημαίνω το ανίσχυρο του αντιπαραδείγματος.

Μιχάλης

michmak · #9

Λοιπόν ...ψέμματα είπα, παρασύρθηκα και τον ...βρήκα το χρόνο. Η άσκηση από ό,τι φαίνεται δεν είναι σωστή και η απόδειξη πρέπει να έχει ως:

Αν ισχύει η δοθείσα ανισότητα τότε ισοδύναμα θα πρέπει να ισχύει:

Πολλαπλασιάζω και τα δύο μέλη με $\displaystyle{\left(x-1 \right)\left(y-x \right)}$ που είναι θετικά και τα δύο. Οπότε έχουμε:

$\displaystyle{\left(y-x \right)f\left(x \right)< \left(x-1 \right)\left(f\left(y \right)-f\left(x \right) \right)\Leftrightarrow \left(y-1 \right)f\left(x \right)<\left(x-1 \right)f\left(y\right)\Leftrightarrow \frac{f\left(x \right)}{x-1}< \frac{f\left(y \right)}{y-1} }$ με άλλα λόγια ότι η $\displaystyle{h\left(x \right)=\frac{f\left(x \right)}{x-1},x> 1}$ είναι γνησίως αύξουσα.

Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η $\displaystyle{f{'}\left(x \right)=\frac{x-1}{x^{2}}> 0,x> 1}$ Άρα η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα κι επειδή $\displaystyle{f\left(1 \right)=0}$ τότε είναι θετική. Είναι όμως

$\displaystyle{h{'}\left(x \right)=\frac{f{'}\left(x \right)\left(x-1 \right)-f\left(x \right)}{\left(x-1 \right)^{2}}=\frac{\left(1-\frac{1}{x} \right)^{2}-f\left(x \right)}{\left(x-1 \right)^{2}}}$

Ο παρονομαστής είναι θετικός. Ο αριθμητής όμως στον πρώτο προσθετέο είναι μικρότερος του $\displaystyle{1}$ . Επειδή όμως είναι η $\displaystyle{f}$ γνησίως αύξουσα και $\displaystyle{f\left(1 \right)=0}$ ενώ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x \right)=+\infty}$ καθώς είναι και συνεχής έπεται ότι παίρνει τιμές μεγαλύτερες του $\displaystyle{1}$ από κάποιο σημείο και μετά. Άρα η πρώτη παράγωγος της $\displaystyle{h\left(x \right)}$ είναι αρνητική και επομένως η $\displaystyle{h\left(x \right)}$ γνησίως φθίνουσα. Συνεπώς το θεώρημα δεν ισχύει...

Μιχάλης Μακρίδης

Τόσος κόπος για να αποδειχθεί ότι κάτι δεν ισχύει...

Η άσκηση πρακτικά λέει ότι αν συνδέσουμε τρια σημεία της συνάρτησης με τετμημένες τα $\displaystyle{1<x<y}$ η κλίση της ευθείας που ενώνει τα δύο πρώτα είναι μικρότερη της κλίσης της ευθείας που ενώνει τα δύο τελευταία. Όμως για να είμαστε σίγουροι ότι συμβαίνει αυτό καλό θα ήταν να είχαμε γνησίως αύξουσα παράγωγο για την $\displaystyle{f}$ δηλαδή διαρκώς αυξανόμενη κλίση της εφαπτομένης αφού όπως ξέρουμε από το θεώρημα μέσης τιμής η κλίση της ευθείας που ενώνει δύο σημεία μιας συνάρτησης συνδέεται με την παράγωγο κάποιου ενδιάμεσου σημείου. (Η προϋπόθεση βέβαια αυτή αρκεί αλλά αυτό δεν σημαίνει κι ότι πρέπει). Αυτό όμως συμβαίνει όταν η δεύτερη παράγωγος της $\displaystyle{f}$ είναι σταθερά θετική. Πράγμα που εδώ δεν συμβαίνει.

Μια καλή τριάδα αντιπαραδείγματος για παράδειγμα είναι η $\displaystyle{1<2<e^{20}}$ .

Επειδή η κυρτότητα της συνάρτησης αλλάζει στο 2, οπότε η πρώτη παράγωγος είναι γνησίως αύξουσα μέχρι το 2, ίσως ένα καλό συμπλήρωμα της άσκησης ωστε να είναι σωστή θα ήταν να αφήσουμε τη συνάρτηση όπως είναι αλλά να συμπληρώσουμε την ανισότητα ως $\displaystyle{1<x<y<2}$ οπότε το θεώρημα θα ισχύει. (αν αυτό λέει κάτι...)

Απόδειξη ανισότητας

Απόδειξη ανισότητας

Re: Απόδειξη ανισότητας

Re: Απόδειξη ανισότητας

Re: Απόδειξη ανισότητας

Re: Απόδειξη ανισότητας

Re: Απόδειξη ανισότητας

Re: Απόδειξη ανισότητας

Re: Απόδειξη ανισότητας

Re: Απόδειξη ανισότητας

Μέλη σε σύνδεση