Εξαιρετική άσκηση σε σύνθεση και ύπαρξη ρίζας

pito · #1

Μια εξαιρετική , κατ'εμέ, άσκηση:

Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις $f,g:R\rightarrow R$ με την ιδιότητα : $f\circ \ g=g\circ \ f$ .

Αν η εξίσωση $(f\circ\ f)(x)=(g\circ\ g)(x)$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα, να δείξετε ότι και η εξίσωση f(x)=g(x)

έχει λύση.

styt_geia · #2

Αν δεν κάνω λάθος είναι η αντιθετοαντίστροφη της άσκησης 1) από εδώ

parmenides51 · #3

φίλη pito,

με την ευκαιρία της παρούσας δημοσίευσης σου,
θα ήταν καλό να αναφερθώ σε ένα γενικότερο θέμα
θα ήταν περισσότερο λειτουργικό ο τίτλος της άσκησης να ήταν περισσότερο σχετικός με το θέμα της άσκησης
καταλαβαίνω πως θέλεις να τονίσεις το σχολιο σου ''εξαιρετικη άσκηση'',
αλλά θα μπορούσες να το συμπεριλάβεις στην περίγραφή
κοιτωντας την εκφώνηση παρατηρώ πως οι λέξεις κλειδια ειναι ''τουλαχιστον μια ρίζα, συνεχεια, σύνθεση''
οπότε πιθανοί τίτλοι θα ήταν

χωρίς το σχόλιο σου
συνέχεια και σύνθεση
τουλάχιστον μια ρίζα η σύνθεση
ρίζα η σύνθεση ρίζα και η συνάρτηση
συνθέσεις και ρίζα
ρίζα σε ισότητα συνθέσεων
...

με το σχόλιο σου
εξαιρετική στην συνέχεια με σύνθεση
εξαιρετική στην ρίζα με σύνθεση
εξαιρετική στην σύνθεση συνεχών
...

τα σχόλια μου δεν αναφέρονται απαραίτητα σε σένα
κι άλλα μέλη γράφουν τίτλους που δεν βοηθούν στην αναγνώριση της άσκησης
αλλά δεν μπορώ να σχολίασω τους εμπνευσμένους κι ευρηματικούς τίτλους του KARKAR
δίνουν άλλη αίσθηση στις προτάσεις - δημιουργίες του.
μια πρόταση είναι όλα αυτά, τίποτα παραπέρα
φιλικά πάντα

pito · #4

Οκ, συμφωνώ, θα αλλάξω τον τίτλο για να είναι σχετικός με την άσκηση.

Η άσκηση είναι από το βιβλίο των Στεργίου , Νάκη και είναι μία από τις πολλές έξυπνες.

pito · #5

Μιας και αντιμετωπίζεται με διαφορετικό τρόπο από την παραπομπή:

Έστω ότι η εξίσωση f(x)=g(x)

είναι αδύνατη. Τότε, αν θεωρήσουμε την h(x)=f(x)-g(x)

, αυτή ως πράξη συνεχών είναι συνεχής και δεν μηδενίζεται , συνεπώς θα διατηρεί πρόσημο στο

.

Αν $\rho$ είναι η ρίζα της εξίσωσης $(f\circ f)(x)=(g\circ g)(x)$ τότε θα είναι $f(f(\rho ))=g(g(\rho ))$ .
Ακόμη $h(f(\rho ))+h(g(\rho ))=f(f(\rho ))-g(f(\rho ))+f(g(\rho ))-g(g(\rho ))=0$ (1) ( γιατί $f\circ g=g\circ f$ άρα και $f(g(\rho ))-g(f(\rho ))=0$ )

Από την (1) ή οι αριθμοί $h(f(\rho )), h(g(\rho ))$ είναι ετερόσημοι, άτοπο γιατί η

διατηρεί πρόσημο, ή ισχύει $h(f(\rho ))=h(g(\rho ))=0$ που είναι άτοπο γιατί η

δεν μηδενίζεται.

Έτσι τελικά θα υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f(x)=g(x)

Εξαιρετική άσκηση σε σύνθεση και ύπαρξη ρίζας

Εξαιρετική άσκηση σε σύνθεση και ύπαρξη ρίζας

Re: Εξαιρετική άσκηση

Re: Εξαιρετική άσκηση

Re: Εξαιρετική άσκηση

Re: Εξαιρετική άσκηση σε σύνθεση και ύπαρξη ρίζας

Μέλη σε σύνδεση