Συναρτήσεις 02(Γ-ΚΑΤ-ΣΥΝΑΡΤ,ΟΡΙΑ,ΣΥΝΕΧ)

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #1

Καλησπέρα.
Ασ δούμε μια άσκηση που θα μας θυμίσει τη περιττή συνάρτηση και θα μας μάθει πως δουλεύουμε σε συναρτησιακές (ανισωτικές) σχέσεις που ισχύουν για κάθε τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής.

Η Άσκηση

Έστω η περιττή πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R η οποία για κάθε

\displaystyle x \in R $\displaystyle{ ικανοποιεί τη σχέση$ % MathType!MTEF!2!1!+-
% feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbeqabeqaceGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaaiikaiaadI
% hadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGHRaWkcaaIXaGaaiykaiaadAga
% caGGOaGaamiEaiaacMcacqGHKjYOcaaIYaGaamiEaaaa!418D!
$\displaystyle ({x^2} + 1)f(x) \le 2x}$ .
i. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f.
ii. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f.

μέχρι το Σάββατο, 18 Ιουλίου - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ, ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Θωμάς Ραϊκόφτσαλης

giannisn1990 · #2

i) με

το

στην δοσμένη ανίσωση έχουμε $((-x)^{2}+1)f(-x) \leq -2x\Rightarrow -(1+x^{2})f(x) \leq -2x \Rightarrow (1+x^{2})f(x)\geq 2x$ έτσι $\displaystyle f(x)=\frac{2x}{1+x^{2}} ,\forall x \in \mathbb{R}$ , η οποία επληθεύει την δοσμένη ανίσωση

ii) Το σύνολο τιμών περιέχει όλους τους $y\in \mathbb{R}$ για τους οποίους $\exists x \in \mathbb{R}$ με $\displaystyle y=f(x)=\frac{2x}{1+x^{2}}\Leftrightarrow y x^{2}-2x+y=0$

•με y=0

υπάρχει λύση της παραπάνω εξίσωσης άρα $0 \in f(\mathbb{R})$

•με $y \neq 0$ πρέπει $4-4y^{2}\geq 0 \Leftrightarrow -1\leq y\leq 1$

αρα $f(\mathbb{R})=[-1,1]$

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #3

Γιάννη πολύ ωραία η λύση σου. Συγχαρητήρια.
Δυο παρατηρήσεις.
1. Με

\displaystyle y \ne 0 $\displaystyle{ η εξίσωση (οικογένεια εξισώσεων)$ % MathType!MTEF!2!1!+-
% feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbeqabeqaceGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaamyEaiaadI
% hadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGHsislcaaIYaGaamiEaiabgUca
% RiaadMhacqGH9aqpcaaIWaaaaa!3F2C!
$\displaystyle y{x^2} - 2x + y = 0}$ θεωρούμενη ως προς x έχει για κάθε τιμή του y ρίζες πραγματικές, άρα είναι

\displaystyle \Delta \ge 0 $\displaystyle{ (γράφεις πρέπει) .... 2. Η συνθήκη$ % MathType!MTEF!2!1!+-
% feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbeqabeqaceGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaeuiLdqKaey
% yzImRaaGimaaaa!39DE!
$\displaystyle \Delta \ge 0}$ είναι αναγκαία και ικανή για να βρούμε το σύνολο τιμών. Ξέρεις γιατί;
Φιλικά
Θωμάς

Συναρτήσεις 02(Γ-ΚΑΤ-ΣΥΝΑΡΤ,ΟΡΙΑ,ΣΥΝΕΧ)

Συναρτήσεις 02(Γ-ΚΑΤ-ΣΥΝΑΡΤ,ΟΡΙΑ,ΣΥΝΕΧ)

Re: Συναρτήσεις 02

Re: Συναρτήσεις 02

Μέλη σε σύνδεση