Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

sokratis lyras · #841

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
ΑΣΚΗΣΗ 394 (Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ): Να δειχθεί ότι η ακολουθία των αριθμών

$\displaystyle{6,10,14,18,...,(2k+2),...}$ δεν περιέχει τέλειο τετράγωνο φυσικού αριθμού.

Έχει ξανατεθεί εδώ.Όλοι οι όροι ειναι ισουπόλοιποι με 2mod4

το οποίο δεν είναι τετραγωνικό υπόλοιπο mod4

.

ΛΕΩΝΙΔΑΣ · #842

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
ΑΣΚΗΣΗ 395 (Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ): Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ αν

$\displaystyle{AB=3\sqrt{3}.2^{n-1}, BC=2^{n+2}-2^{n+1}+2^{n} , AC=2^{n+1}-2^{n}+2^{n-1}}$ , όπου $\displaystyle{n\epsilon N,n\neq 0}$

Να προσδιοριστεί το $\displaystyle{n}$ αν η περίμετρος του $\displaystyle{ABC}$ είναι $\displaystyle{3(3+\sqrt{3})}$

Κατ'αρχάς είναι $BC=2^n(2^2-2+1)=3\times 2^n$ και $AC=2^n(2-1+2^{-1})=\frac{3}{2} \times 2^n.$

Τώρα παρατηρούμε ότι $AB^2+AC^2=\frac{27}{4}\times 2^{2n} +\frac{9}{4}\times 2^{2n}=9\times 2^{2n}=(3 \times 2^n)^2=BC^2$ , οπότε το ABC είναι ορθογώνιο με $\angle A=90^{\circ}$ .

Ακόμα παρατηρούμε ότι η υποτείνουσα

είναι διπλάσια της πλευράς

άρα θα πρέπει να είναι $\angle B=30^{\circ}$ και συνεπώς $\angle C=60^{\circ}$ .

Για το n:
$3\sqrt{3}\times2^{n-1}+3\times 2^n+\frac{3}{2} \times 2^n=3(3+\sqrt{3}) \Leftrightarrow2^{n-1}\times 3 (\sqrt{3}+2+1)=3(3+\sqrt{3}) \Leftrightarrow 2^{n-1} \times 3(3+\sqrt{3})=3(3+\sqrt{3}) \Rightarrow n=1$

#843

Μερικά θέματα για τον διαγωνισμό "ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ"
(Για μικρούς)

ΑΣΚΗΣΗ 399: Θεωρούμε τα πολυώνυμα

$\displaystyle{ P(x)=x^{4}-3x^{3}+x-3 , g(x)=x^{2}-2x-3 , R(x)=-x^{2}-5x+a}$

(α) Να ορίσετε το $\displaystyle{a}$ έτσι ώστε το πολυώνυμο $\displaystyle{R(x)}$ να διαιρείται από το $\displaystyle{x-2}$

(β) Να αναλύσετε σε γινόμενα παραγόντων τα πολυώνυμα $\displaystyle{P(x) , g(x) , R(x)}$

(γ) Να δείξετε ότι η παράσταση $\displaystyle{-x^{2}+x+P(x):g(x)+15}$ είναι τέλειο τετράγωνο.

ΑΣΚΗΣΗ 400: Έστω ότι $\displaystyle{a>0 , b>0 , c>0}$ και

$\displaystyle{\sqrt{1987+a}+\sqrt{1987+b}=2\sqrt{1987+c}}$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\frac{1}{2}(a+b)\geq c}$

ΑΣΚΗΣΗ 401: Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ με $\displaystyle{AB=AC}$ θεωρούμε σημείο $\displaystyle{D}$ στη βάση $\displaystyle{BC}$ και σημείο $\displaystyle{E}$ στην πλευρά $\displaystyle{AC}$ τέτοια ώστε οι γωνίες $\displaystyle{BAD}$ και $\displaystyle{2CDE}$ να είναι ίσες.
Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{AD=AE}$

ΑΣΚΗΣΗ 402: Δύο κύκλοι $\displaystyle{(O_{1},R_{1}) , (O_{2},R_{2}) }$ βρίσκονται ο ένας εκτός του άλλου. Να βρεθεί :
(α) Το μικρότερο ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει σημεία των κύκλων
(β) Το μεγαλύτερο ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει σημεία των κύκλων
(Να γίνουν οι αποδείξεις)

ΑΣΚΗΣΗ 403 Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν φυσικοί αριθμοί $\displaystyle{m , n}$ τέτοιοι ώστε οι αριθμοί $\displaystyle{m^{2}+2n}$ και $\displaystyle{n^{2}+2m}$ να είναι τετράγωνα φυσικών αριθμών.

ΑΣΚΗΣΗ 404: Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{x , y}$ για τους οποίους ισχύει ότι:
$\displaystyle{x+y=2a-4}$ και $\displaystyle{ x.y=a^{2}-3a+5}$ , όπου και ο $\displaystyle{a}$ είναι πραγματικός αριθμός.
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{x^{2}+y^{2}}$

spiros filippas · #844

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: (Να γίνουν οι αποδείξεις)
ΑΣΚΗΣΗ 403 Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν φυσικοί αριθμοί $\displaystyle{m , n}$ τέτοιοι ώστε οι αριθμοί $\displaystyle{m^{2}+2n}$ και $\displaystyle{n^{2}+2m}$ να είναι τετράγωνα φυσικών αριθμών.

Θα κάνουμε μια απλή παρατήρηση:

Εχουμε ένα τέλειο τετράγωνο το m^2

και του προσθέτουμε έναν θετικό αριθμό θέλοντας να πάρουμε ένα τέλειο τετράγωνο, τότε επειδή το αμέσως επόμενο
τετράγωνο του m^2

είναι το

ο αριθμός που θα του προσθέσουμε θα είναι $\geq 2m+1$

Αρα για να ισχύει το ζητούμενο θα πρέπει:

$2n\geq 2m+1$

$2m \geq 2n+1$

οι οποίες δίνουν $2m+2n\geq 2n+2m+2$ , άτοπο.

#845

Σπύρο, είσαι ΑΠΙΘΑΝΟΣ!! Πολύ απλή η σκέψη σου!! Για να φανεί η απλότητά της, δίνω και μια άλλη λύση που έχω υπόψιν μου, (είναι η λύση που είχε δώσει ένας μαθητής όταν είχε τεθεί το θέμα)

Έστω $\displaystyle{m^{2}+2n=x^{2}\Rightarrow 2n=x^{2}-m^{2}\Rightarrow n=\frac{x^{2}-m^{2}}{2} }$
Αλλά
$\displaystyle{n^{2}+2m=y^{2}\Rightarrow \left(\frac{x^{2}-m^{2}}{2} \right)^{2}+2m=y^{2}\Rightarrow x^{4}-2x^{2}m^{2}+m^{4}+8m=4y^{2}}$ . Επειδή το δεύτερο μέλος της ισότητας αυτής είναι τέλειο τετράγωνο, θα πρέπει το ίδιο να συμβαίνει και με το πρώτο μέλος. Άρα πρέπει να είναι $\displaystyle{8m=0}$ από όπου συνεπάγεται ότι και $\displaystyle{m=0}$ , πράγμα άτοπο, αφού τα $\displaystyle{m , n}$ είναι διάφορα του μηδενός (Προφανώς θεωρούσε η άσκηση ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι το
$\displaystyle{N=\left\{1 , 2 , 3 , 4 , ... \right\}}$ , αλλιώς δεν ίσχυε αυτό που μας ζητάει , αν ήταν δυνατόν να είχαμε δεκτή την περίπτωση $\displaystyle{m=n=0}$ )

spiros filippas · #846

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 400: Έστω ότι $\displaystyle{a>0 , b>0 , c>0}$ και

$\displaystyle{\sqrt{1987+a}+\sqrt{1987+b}=2\sqrt{1987+c}}~~(1)$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\frac{1}{2}(a+b)\geq c}$

Θέτουμε για ευκολία 1987=k

Υψώνουμε την (1) στο τετράγωνο και παίρνουμε:

$\displaystyle 2k+a+b+2\sqrt{(a+k)(b+k)}=4k+4c\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{(a+k)(b+k)}=2k+4c$

Όμως από AM-GM:

$\displaystyle 2k+4c= a+b+2\sqrt{(a+k)(b+k)}\leq a+b+a+k+b+k=2k+2(a+b)\Rightarrow$

$\Rightarrow a+b\geq 2c$

όπως θέλαμε.

#847

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:

ΑΣΚΗΣΗ 400: Έστω ότι $\displaystyle{a>0 , b>0 , c>0}$ και

$\displaystyle{\sqrt{1987+a}+\sqrt{1987+b}=2\sqrt{1987+c}}$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\frac{1}{2}(a+b)\geq c}$

Και αλλιώς:

Από την προφανή ανισότητα (π.χ. Cauchy-Schwarz ή πράξεις) $\displaystyle{\boxed{\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq \sqrt{2(x+y)}}}$

έχουμε

$\displaystyle{2\sqrt{1987+c}=\sqrt{1987+a}+\sqrt{1987+b}\leq \sqrt{2(1987+a+1987+b)}}$ ,

και με ύψωση στο τετράγωνο προκύπτει αμέσως η ζητούμενη.

freyia · #848

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 404: Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{x , y}$ για τους οποίους ισχύει ότι:
$\displaystyle{x+y=2a-4}$ και $\displaystyle{ x.y=a^{2}-3a+5}$ , όπου και ο $\displaystyle{a}$ είναι πραγματικός αριθμός.
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{x^{2}+y^{2}}$

$\displaystyle{x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy=(2a-4)^{2}-2(a^{2}-3a+5)=2(a^{2}-5a+3)}$

Ta $\displaystyle{x , y}$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης; $\displaystyle{k^{2}-(2a-4)k+a^{2}-3a+5=0}$ και επομένως πρέπει
$\displaystyle{\Delta \geq 0\Rightarrow (2a-4)^{2}-4(a^{2}-3a+5)\geq 0\Rightarrow a\leq -1}$

Επομένως ψάχνουμε να βρούμε την ελάχιστη τιμή του τριωνύμου $\displaystyle{ f(a)=a^{2}-5a+3}$ με $\displaystyle{ a\leq -1}$ .

Είναι γνωστό, ότι όταν το $\displaystyle{a}$ είναι οποισδήποτε πραγματικός αριθμός, τότε η ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{f(a)}$ είναι η

$\displaystyle{ f_{min} =-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{-5}{2}=2,5}$ και επίσης είναι γνωστό ότι η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα από το μείον άπειρο μέχρι το $\displaystyle{-2,5}$ . Άρα αφού πρέπει να είναι

$\displaystyle{a\leq -1\Rightarrow f(a)\geq f(-1)\Rightarrow 2f(a)\geq 2f(-1)\Rightarrow x^{2}+y^{2}\geq 18}$

Άρα η ελάχιστη τιμή είναι το $\displaystyle{18}$

freyia · #849

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Μερικά θέματα για τον διαγωνισμό "ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ"
(Για μικρούς)

ΑΣΚΗΣΗ 399: Θεωρούμε τα πολυώνυμα

$\displaystyle{ P(x)=x^{4}-3x^{3}+x-3 , g(x)=x^{2}-2x-3 , R(x)=-x^{2}-5x+a}$

(α) Να ορίσετε το $\displaystyle{a}$ έτσι ώστε το πολυώνυμο $\displaystyle{R(x)}$ να διαιρείται από το $\displaystyle{x-2}$

(β) Να αναλύσετε σε γινόμενα παραγόντων τα πολυώνυμα $\displaystyle{P(x) , g(x) , R(x)}$

(γ) Να δείξετε ότι η παράσταση $\displaystyle{-x^{2}+x+P(x):g(x)+15}$ είναι τέλειο τετράγωνο.

(α) Αν κάνουμε την διαίρεση του πολυωνύμου $\displaystyle{R(x)}$ με το πολυώνυμο $\displaystyle{Q(x)=x-2}$ θα πάρουμε πηλίκο $\displaystyle{W(x)}$ και υπόλοιπο μηδέν όπως αναφέρεται στην άσκηση. Άρα θα ισχύει ότι $\displaystyle{R(x)=(x-2)W(x)}$ και για $\displaystyle{x=2}$ βρίσκουμε ότι
$\displaystyle{R(2)=0}$ από όπου προκύπτει ότι $\displaystyle{a=14}$

(β) $\displaystyle{P(x)=x^{3}(x-3)+(x-3)=(x-3)(x+1)(x^{2}-x+1)}$

$\displaystyle{g(x)=x^{2}-3x+x-3=x(x-3)+(x-3)=(x-3)(x+1)}$

$\displaystyle{R(x)=-x^{2}-5x+14=-x^{2}-5x+10+4=-(x^{2}-4)-5(x-2)=-(x-2)(x+2)-5(x-2)=-(x-2)(x+7)}$

(γ) $\displaystyle{-x^{2}+x+P(x):g(x)+15=-x^{2}+x+x^{2}-x+1+15=16=4^{2}}$

Karanus · #850

ΑΣΚΗΣΗ 405
Εαν οι $\chi ,\psi ,z$ πραγματικοί θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $\chi ^{2}+\psi ^{2}+z^{2}=3$ , να αποδείξετε ότι
$\frac{3}{2}\prec \frac{1+\psi ^{2}}{\chi +2}+\frac{1+z^{2}}{\psi +2}+\frac{1+\chi ^{2}}{z+2}\prec 3$
(Αρχιμήδης 2008)

Karanus · #851

ΑΣΚΗΣΗ 406
Να βρεθεί ο μέγιστος θετικός ακέραιος $\chi$ για τον οποίο ο αριθμός $A=2^{182}+4^{\chi }+8^{700}$ είναι τετράγωνο ακεραίου αριθμού.

gauss1988 · #852

Karanus έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 405
Εαν οι $\chi ,\psi ,z$ πραγματικοί θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $\chi ^{2}+\psi ^{2}+z^{2}=3$ , να αποδείξετε ότι
$\frac{3}{2}\prec \frac{1+\psi ^{2}}{\chi +2}+\frac{1+z^{2}}{\psi +2}+\frac{1+\chi ^{2}}{z+2}\prec 3$
(Αρχιμήδης 2008)

Επειδή $\displaystyle{x^{2}+y^{2}+z^{2}=3}$ θα είναι στα σίγουρα $\displaystyle{x<2,y<2,z<2}$ και συνεπώς θα είναι

$\displaystyle{0<x<2 , 0<y<2 , 0<z<2}$ και συνεπώς $\displaystyle{2<x+2<4 , 2<y+2<4 , 2<z+2<4}$
Επομένως έχουμε:

$\displaystyle{\frac{1}{4}<\frac{1}{x+2}<\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{1+y^{2}}{4}<\frac{1+y^{2}}{x+2}<\frac{1+y^{2}}{2}}$

Με ίδιο τρόπο έχουμε

$\displaystyle{ \frac{1+x^{2}}{4}<\frac{1+x^{2}}{z+2}<\frac{1+x^{2}}{2}}$

$\displaystyle{ \frac{1+z^{2}}{4}<\frac{1+z^{2}}{y+2}<\frac{1+z^{2}}{2}}$

Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω ανισότητες παίρνουμε:

$\displaystyle{\frac{3+x^{2}+y^{2}+z^{2}}{4}<S<\frac{3+x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2}\Rightarrow \frac{6}{4}<S<\frac{6}{2}\Rightarrow \frac{3}{2}<S<3}$

( $\displaystyle{S}$ έθεσα το $\displaystyle{\frac{1+x^{2}}{z+2}+\frac{1+y^{2}}{x+2}+\frac{1+z^{2}}{y+2}}$ )

gauss1988 · #853

Karanus έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 406
Να βρεθεί ο μέγιστος θετικός ακέραιος $\chi$ για τον οποίο ο αριθμός $A=2^{182}+4^{\chi }+8^{700}$ είναι τετράγωνο ακεραίου αριθμού.

Έχουμε

$\displaystyle{A=2^{182}+2^{2x}+2^{2100}=2^{182}(1+\frac{2^{2x}}{2^{182}}+\frac{2^{2100}}{2^{182}})=}$

$\displaystyle{=2^{182}(1+2^{2x-182}+2^{1918})=(2^{91})^{2}[1^{2}+(2^{x-91})^{2}+2.2^{1917}]}$

Η παράσταση αυτή είναι σίγουρα τέλαιο τετράγωνο όταν $\displaystyle{x-91=1917}$ δηλαδή όταν $\displaystyle{x=2008}$

Πρέπει όμως να εξετάσουμε αν υπάρχει αριθμός πιο μεγάλος από τον $\displaystyle{2008}$ που να ξαναγίνεται η παράσταση τέλειο τετράγωνο.

Υποθέτουμε ότι υπάρχει τέτοιος αριθμός $\displaystyle{y>2008}$ έτσι ώστε ο αριθμός $\displaystyle{K=1^{2}+2^{2y}+2^{1918}}$ να είναι τέλειο τετράγωνο. Όμως έχουμε :

$\displaystyle{2^{2(y-91)}<1^{2}+2^{2(y-91)}+2.2^{1917}<1^{2}+2^{2(y-91}+2.2^{y-91}=(1+2^{y-91})^{2}.}$

Αυτό όμως δεν είναι δυνατόν να συμβαίνει, γιατί κανένα τέλειο τετράγωνο δεν μπορεί να είναι ανάμεσα σε δύο διαδοχικά τέλεια τετράγωνα. Επομένως η μεγαλύτερη τιμή για το $\displaystyle{x}$ είναι η $\displaystyle{x=2008}$

Karanus · #854

ΑΣΚΗΣΗ 407
Αν $\chi ,\psi ,z$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $\chi ^{2}+\psi ^{2}+z^{2}=25$ να προσδιορίσετε την ελάχιστη δυνατή τιμή της παράστασης $A=\frac{\chi \psi }{z}+\frac{\psi z}{\chi }+\frac{zx}{\psi }$
Δίνω και μια λύση ,δεν ξέρω όμως εαν είναι σωστή.
$\frac{\chi \psi }{z}+\frac{\psi z}{\chi }\geq 2\sqrt{\frac{\chi \psi }{z}\frac{\psi z}{\chi }}=2\psi$
Με τον ίδιο τρόπο έχουμε $\frac{\psi z }{\chi }+\frac{z \chi}{\psi }\geq 2\sqrt{\frac{\psi z }{\chi }\frac{z\chi }{\psi }}=2z$ και
$\frac{ z \chi }{\psi }+\frac{\chi\psi }{z }\geq 2\sqrt{\frac{\ z\chi }{\psi }\frac{\chi\psi }{z }}=2\chi$
Με πρόσθεση κατά μέλη έχω $A\geq \chi +\psi +z$
Η ελάχιστη τιμή της παράστασης είναι η ισότητα.
Η ισότητα ισχύει για $\frac{\chi \psi }{z}=\frac{\psi z}{\chi }=\frac{z\chi }{\psi }$
δηλ. $\chi =\psi =z$ οπότε απο την δοσμένη σχέση έχω $\chi =\frac{5\sqrt{3}}{3}$
και η ελάχιστη τιμή είναι $A=3.5\frac{\sqrt{3}}{3}=5\sqrt{3}$

Η επιφύλαξή μου είναι εαν μπορώ να πω για ελάχιστη τιμή του

όταν αυτό είναι συνάρτηση τριών μεταβλητών.
Θα μπορούσα εαν ύψωνα την αρχική σχέση στο τετράγωνο και δούλευα με τον ίδιο τρόπο να κατέληγα σε σύγκριση του

με νούμερο , που είναι σίγουρα σωστό.
Θα παρακαλούσα εαν είναι εύκολο κάποιον μαθηματικό να απαντήσει.
Ευχαριστώ.

#855

Karanus, έχεις δίκιο να έχεις επιφυλάξεις. Μέχρι στιγμής έχεις δείξει ότι $A \geqslant x+y+z$ με ισότητα αν και μόνο αν x=y=z

. Έχεις επίσης δείξει ότι αν x=y=z

τότε $A = 5\sqrt{3}$ . Αυτά τα δύο όμως δεν μπορούν να συνδυαστούν.

Για παράδειγμα αν η απόδειξη ήταν σωστή, τότε θα ήταν σωστό και το πιο κάτω:

Έχουμε $\displaystyle{ \frac{xy}{z} + \frac{yz}{2x} \geqslant \sqrt{2}y}$ με ισότητα αν και μόνο αν $z = \sqrt{2}x$ και $\displaystyle{ \frac{yz}{2x} + \frac{zx}{y} \geqslant \sqrt{2}z}$ με ισότητα αν και μόνο αν $y = \sqrt{2}x$ . Άρα $A \geqslant \sqrt{2}(y+z)$ και όταν $y=z=\sqrt{2}x$ τότε $y=z=\sqrt{10}$ και άρα η τελική απάντηση είναι $2\sqrt{20}$ .

gauss1988 · #856

Για την άσκηση 407, νομίζω ότι πρέπει να πάρουμε την ανισότητα των μέσων για τους αριθμούς $\displaystyle{\frac{xy}{z}, \frac{yz}{x}, \frac{zx}{y}}$ και έχουμε

$\displaystyle{\frac{xy}{z}+ \frac{yz}{x}+ \frac{zx}{y}\geq 3\sqrt[3]{\frac{xy}{z}\frac{yz}{x}\frac{zx}{y}}=3\sqrt[3]{xyz}}$ με την ισότητα να ισχύει όταν

$\displaystyle{\frac{xy}{z}= \frac{yz}{x}= \frac{zx}{y}}$ δηλαδή όταν $\displaystyle{x=y=z}$ (εύκολα το διαπιστώνουμε αυτό)

Επειδή $\displaystyle{x^{2}+y^{2}+z^{2}=25\Rightarrow 3x^{2}=25\Rightarrow x=\frac{5\sqrt{3}}{3}}$

Επομένως η ελάχιστη τιμή είναι αυτήν που έχει βρει και ο κ. Karanus, δηλαδή η $\displaystyle{5\sqrt{3}}$

#857

gauss1988 έγραψε:Για την άσκηση 407, νομίζω ότι πρέπει να πάρουμε την ανισότητα των μέσων για τους αριθμούς $\displaystyle{\frac{xy}{z}, \frac{yz}{x}, \frac{zx}{y}}$ και έχουμε

$\displaystyle{\frac{xy}{z}+ \frac{yz}{x}+ \frac{zx}{y}\geq 3\sqrt[3]{\frac{xy}{z}\frac{yz}{x}\frac{zx}{y}}=3\sqrt[3]{xyz}}$ με την ισότητα να ισχύει όταν

$\displaystyle{\frac{xy}{z}= \frac{yz}{x}= \frac{zx}{y}}$ δηλαδή όταν $\displaystyle{x=y=z}$ (εύκολα το διαπιστώνουμε αυτό)

Επειδή $\displaystyle{x^{2}+y^{2}+z^{2}=25\Rightarrow 3x^{2}=25\Rightarrow x=\frac{5\sqrt{3}}{3}}$

Επομένως η ελάχιστη τιμή είναι αυτήν που έχει βρει και ο κ. Karanus, δηλαδή η $\displaystyle{5\sqrt{3}}$

Gauss, το παραπάνω δεν αποτελεί απόδειξη ότι η ελάχιστη τιμή της παράστασης ισούται με $\displaystyle{5\sqrt{3}.}$

Αυτό που αποδεικνύεις είναι ότι ισχύει

$\displaystyle{\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\geq 3\sqrt[3]{xyz}}$ και η ισότητα ισχύει όταν $\displaystyle{x=y=z=\frac{5}{\sqrt{3}}.}$

Μια απόδειξη για το ελάχιστο είναι η εξής:

Από την ανισότητα $\displaystyle{(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)}$ έχουμε

$\displaystyle{\Big(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\Big)^2\geq 3\Big(\frac{xy}{z}\frac{yz}{x}+\frac{yz}{x}\frac{zx}{y}+\frac{zx}{y}\frac{xy}{z}\Big)=3(x^2+y^2+z^2)=75}$ με την ισότητα να ισχύει όταν $\displaystyle{x=y=z.}$

Άρα, τελικά

$\displaystyle{\min \Big(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\Big)=5\sqrt{3}}$ για $\displaystyle{x=y=z=\frac{5}{\sqrt{3}}.}$

#858

ΑΣΚΗΣΗ 408
Να βρείτε όλους τους ακεραίους

, για τους οποίους ο αριθμός 2^n+12^n+2011^n

είναι τετράγωνο ακεραίου.

ΑΣΚΗΣΗ 409
Να βρείτε όλους τους ακέραιους

για τους οποίους ο αριθμός 11^n+12^n+13^n

είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

ΑΣΚΗΣΗ 410
Αν a,b,c

θετικοί πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους c>a+b,

να δείξετε ότι

$\displaystyle{a^3+b^3+c^3+3abc>2(a+b)^2c.}$

ΑΣΚΗΣΗ 411
Αν a,b

είναι πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $3a\geq b$ και $3b\geq a,$ να δείξετε ότι

$\displaystyle{\sqrt{a+b} \cdot(\sqrt{3a-b}+\sqrt{3b-a})\leq 4\sqrt{ab}.}$

ΑΣΚΗΣΗ 412
Να βρείτε τον μικρότερο τετραψήφιο αριθμό

για τον οποίο το σύστημα
$\displaystyle{\begin{cases} x^3+y^3+x^2y+y^2x=n \\ x^2+y^2+x+y=n+1 \end{cases}}$
έχει ακέραια ρίζα.

ΑΣΚΗΣΗ 413
Να βρείτε όλα τα ζεύγη φυσικών αριθμών (m,n)

τέτοια ώστε $\tau^2(m)+\tau^2(n+15)+1=3\tau^2(n^2+3n),$
όπου με $\tau(n)$ συμβολίζουμε το πλήθος των (θετικών) διαιρετών του φυσικού αριθμού

ΑΣΚΗΣΗ 414
Τρείς μαθητές, οι Α,Β,Γ, συμμετέχουν σε ένα μαθηματικό διαγωνισμό. Στο διαγωνισμό δόθηκαν για λύση 5 προβλήματα. Η μέγιστη βαθμολογία για κάθε πρόβλημα είναι θετικός ακέραιος αριθμός, διαφορετικός για κάθε πρόβλημα.
Ο μαθητής Α έλυσε πλήρως 4 από τα προβλήματα και συγκέντρωσε 21 βαθμούς, ενώ ο μαθητής Β έλυσε πλήρως 3 προβλήματα και η συνολική του βαθμολογία ήταν 22 βαθμοί.
Αν ο μαθητής Γ έλυσε πλήρως όλα τα προβλήματα, να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της βαθμολογίας του.

ΑΣΚΗΣΗ 415
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς

, όπου

ένας θετικός ακέραιος. Σε κάθε πλευρά θεωρούμε σημεία που τη διαιρούν σε

ίσα τμήματα. Χρησιμοποιώντας αυτά τα σημεία φέρουμε παράλληλες στις πλευρές του τριγώνου.
Έστω c_n

το πλήθος των ρόμβων πλευράς 1, που σχηματίζονται.
Να δείξετε ότι η μεγαλύτερη λύση της ανίσωσης c_n<2009

είναι πρώτος αριθμός.

#859

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 410
Αν θετικοί πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους να δείξετε ότι

$\displaystyle{a^3+b^3+c^3+3abc>2(a+b)^2c.}$

Υπάρχει $\displaystyle{m>0}$ ωστε $\displaystyle{c=a+b+m}$ . Άρα η δοσμένη σχέση ισοδύναμα γράφεται:

$\displaystyle{a^{3}+b^{3}+(a+b+m)^{3}+3ab(a+b+m)>2(a+b)^{2}(a+b+m)\Rightarrow m^{3}+3m^{2}(a+b)+3mab+m(a+b)^{2}>0}$ που ισχύει αφού $\displaystyle{m , a , b >0}$

spiros filippas · #860

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 408
Να βρείτε όλους τους ακεραίους , για τους οποίους ο αριθμός είναι τετράγωνο ακεραίου.

Προφανώς $n \geq0$ , n=0

απορρίπτεται και n=1

δίνει

, δεκτό

Επίσης έχουμε ότι $A \equiv (-1)^n+0+1 mod3$ άρα θα πρέπει n περιττος (τετραγωνικά κατάλοιπα mod3)

Επίσης για για $n \geq2$ έχουμε $A \equiv 0+0+ (-1)^n \equiv -1 mod4$ (αφού n περιττος ) ατοπο

(τετραγωνικά κατάλοιπα mod4)

άρα n=1

Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Μέλη σε σύνδεση