Ολοκλήρωμα και ανισότητα Δ-8

mathxl · #1

Ας είναι

μια συνεχής συνάρτηση στο [0,1]

ώστε να ισχύει $\displaystyle \int_{x}^{1}f(t)dt\geq\frac{1-x^{2}}{2}$ για κάθε $x\in [0,1]$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle \int_{0}^{1}(f(x))^{2}dx\geq\int_{0}^{1}xf(x)dx$

papel · #2

Να πω μερικες ιδεες :

Φερνω το RHS της ζητουμενης στο LHS και μενει να δειξουμε οτι :

$\displaystyle{\int\limits_0^1 {f(x)(f(x) - x)} \ge 0}$ η

$\displaystyle{f(x)(f(x) - x) \ge 0}$ .

Επισης θετω : $\displaystyle{g(x) = - \int\limits_1^x {f(x)dx} - \frac{1}{2} + \frac{{{x^2}}}{2}}$ και παρατηρω οτι :

$\displaystyle{g'(x) = - f(x) + x = - (f(x) - x)}$ .

Αφου η $\displaystyle{\int\limits_x^1 {f(x)dx} \ge \frac{{1 - {x^2}}}{2}}$ ισχυει για καθε χ για χ=0 εχω

$\displaystyle{\int\limits_0^1 {f(x)dx} \ge \frac{1}{2} \ge 0}$ .

Εδω αφηνω κατι και για εσας.

parmenides51 · #3

Θα μπορούσε κάποιος να συμπληρώσει τις ιδέες που λείπουν;

#4

Ο ύπνος μου σώθηκε, για να ασχοληθώ με την άσκησούλα μήπως και με ξαναθυμηθεί...
Λοιπόν, ολοκληρώνοντας τη δοθείσα έχω:
$\displaystyle{ \int\limits_0^1 {\int\limits_x^1 {f(t)dt} \ge \int\limits_0^1 {\frac{{1 - x^2 }}{2}dx} } }$
Μετά παραγοντικής ολοκληρώσεως στο πρώτο μέλος λαμβάνω:
$\displaystyle{ \int\limits_0^1 {(x)'\int\limits_x^1 {f(t)dt} \ge \frac{1}{3} \Rightarrow \Bigg[ {x\int\limits_x^1 {f(t)dt} } \Bigg]_{0}^{1} + \int\limits_0^1 {xf(x)dx} \ge \frac{1}{3} \Rightarrow \int\limits_0^1 {xf(x)dx} \ge \frac{1}{3}:(1) }$
Είναι γεγονός ότι:
$\displaystyle{ \left( {f(x) - x} \right)^2 \ge 0,\forall x \in \left[ {0,1} \right] \Rightarrow f^2 (x) - 2xf(x) + x^2 \ge 0,\forall x \in \left[ {0,1} \right] \Rightarrow f^2 (x) - xf(x) \ge xf(x) - x^2 ,\forall x \in \left[ {0,1} \right] }$
Ολοκληρώνοντας τώρα έχω:
$\displaystyle{ \int\limits_0^1 {(f^2 (x) - xf(x))dx} \ge \int\limits_0^1 {xf(x)dx} - \int\limits_0^1 {x^2 dx} \Rightarrow \int\limits_0^1 {(f^2 (x) - xf(x))dx} \ge \int\limits_0^1 {xf(x)dx} - \frac{1}{3}\mathop \ge \limits^{\left( 1 \right)} \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 0 }$
Λίγο ακόμη και...
$\displaystyle{ \int\limits_0^1 {(f^2 (x) - xf(x))dx} \ge 0 \Rightarrow \int\limits_0^1 {f^2 (x)dx} \ge \int\limits_0^1 {xf(x)dx} }$
Τελειώσαμε και...ύπνε, ύπνε είσαι εδώ;

Ολοκλήρωμα και ανισότητα Δ-8

Ολοκλήρωμα και ανισότητα Δ-8

Re: Ολοκλήρωμα και ανισότητα

Re: Ολοκλήρωμα και ανισότητα

Re: Ολοκλήρωμα και ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση