ΘΑΛΗΣ 1995 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#1

Β Λυκείου

Θέμα 1ο

Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο A_0

. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία A_n

, $n\in\mathbb{N}$ ως εξής:
Το μήκος του τόξου A_0A_n

(όπου αυτό μπορεί να είναι και μεγαλύτερο του $2\pi$ ) να είναι $1+\dfrac{1}{2}+\cdots + \dfrac{1}{n}.$
Να δείξετε ότι:
α) Δεν υπάρχει σημείο A_n

, $n\geq 1$ που να συμπίπτει με το A_0

.
β) Δεν υπάρχουν $m,n\in\mathbb{N}$ , $m\neq n$ ώστε τα σημεία A_m,A_n

να συμπίπτουν.

Θέμα 2ο
Αν ABCD

είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας

, να δείξετε ότι
ισχύει: $AB + CD \geq 4r$ .

Θέμα 3ο
Να εξετάσετε αν υπάρχουν φυσικοί αριθμοί

με την ιδιότητα:
Από το σύνολο $A(n) = \{1,2,\ldots,n\}$ μπορούμε να διαλέξουμε

αριθμούς $a_1,a_2,\ldots, a_k$ όπου
$k\geq 3$ , $a_i\neq a_j$ , έτσι ώστε να ισχύει, $\left|a_1-a_2\right|=\left|a_2-a_3\right|=\ldots = \left|a_{k-1}-a_k\right| = \left|a_k-a_1\right|$ . Τι συμβαίνει αν απλά $k\geq 1$ ;

Θέμα 4ο
Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός $3^{21}-2^{24}-6^8-1$ διαιρείται με το 1930.

Δείτε το ευρετήριο όλων των διαγωνισμών της ΕΜΕ εδώ.

Αλέξανδρος

gauss1988 · #2

cretanman έγραψε:Β ΛυκείουΘέμα 4ο
Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός $3^{21}-2^{24}-6^8-1$ διαιρείται με το 1930.

Εύκολα μπόρεσα να αποδείξω ότι ο αριθμός αυτός διαιρείται με το $\displaystyle{10}$ αφού το τελευταίο ψηφίο του είναι το μηδέν.
Πως όμως μπορώ να αποδείξω ότι διαιρείται και με το $\displaystyle{193;;;}$

#3

gauss1988 έγραψε:
cretanman έγραψε:Β ΛυκείουΘέμα 4ο
Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός $3^{21}-2^{24}-6^8-1$ διαιρείται με το 1930.
Εύκολα μπόρεσα να αποδείξω ότι ο αριθμός αυτός διαιρείται με το $\displaystyle{10}$ αφού το τελευταίο ψηφίο του είναι το μηδέν.
Πως όμως μπορώ να αποδείξω ότι διαιρείται και με το $\displaystyle{193;;;}$

Έχουμε $3^{21} - 2^{24} = (3^7)^3 - (2^8)^3 = (3^7 - 2^8)(3^{14} + 3^7 \cdot 2^8 + 2^{16}) = 1931(3^{14} + 3^7 \cdot 2^8 + 2^{16})$

Άρα $3^{21}-2^{24}-6^8-1 \equiv 3^{14} + 3^7 \cdot 2^8 + 2^{16} - 6^8 - 1 \equiv 3^{14} - 3^7 \cdot 2^8 + 2^{16} - 1 \bmod 1930$

Αλλά $3^{14} - 3^7 \cdot 2^8 + 2^{16} - 1 = (3^7 - 2^8)^2 -1= (1930 + 1)^2 - 1 = 1930 \cdot 1932$ το οποίο είναι πολλαπλάσιο του 1930.

gauss1988 · #4

Ευχαριστώ τον Demetres για την λύση. Τώρα κατάλαβα την φιλοσοφία της άσκησης. Θα κάνω και εγώ μια πιο αναλυτική παρουσίαση της λύσης όπως την έχω κατανοήσει.

$\displaystyle{3^{21}-2^{24}-6^{8}-1=(3^{7})^{3}-(2^{8})^{3}-6^{8}-1=(3^{7}-2^{8})(3^{14}+3^{7}.2^{8}+2^{16})-6^{8}-1=}$

$\displaystyle{1931(3^{14}+3^{7}.2^{8}+2^{16})-6^{8}-1=(1930+1)(3^{14}+3^{7}.2^{8}+2^{16})-6^{8}-1=}$

$\displaystyle{1930.(3^{14}+3^{7}.2^{8}+2^{16})+1(3^{14}+3^{7}.2^{8}+2^{16})-6^{8}-1=}$

$\displaystyle{1930.k+(3^{7})^{2}+(2^{8})^{2}+3^{7}.2^{8}-6^{8}-1=1930k+(3^{7}-2^{8})^{2}+2.3^{7}.2^{8}+3^{7}.2^{8}-6^{8}-1=}$

$\displaystyle{1930k+1931^{2}+3.3^{7}.2^{8}-6^{8}-1=1930k+(1930+1)^{2}+3^{8}.2^{8}-6^{8}-1=}$

$\displaystyle{1930k+1930^{2}+2.1930+1+6^{8}-6^{8}-1=1930(k+1930+2)}$

#5

cretanman έγραψε: Θέμα 1ο

Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο . Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία , $n\in\mathbb{N}$ ως εξής:
Το μήκος του τόξου (όπου αυτό μπορεί να είναι και μεγαλύτερο του $2\pi$ ) να είναι $1+\dfrac{1}{2}+\cdots + \dfrac{1}{n}.$
Να δείξετε ότι:
α) Δεν υπάρχει σημείο , $n\geq 1$ που να συμπίπτει με το .
β) Δεν υπάρχουν $m,n\in\mathbb{N}$ , $m\neq n$ ώστε τα σημεία να συμπίπτουν.

Αρκεί να αποδείξουμε απευθείας το (β). Αν υπήρχαν τέτοια σημεία με m < n

τότε ο αριθμός $\displaystyle{ \frac{1}{m+1} + \cdots + \frac{1}{n}}$ θα ήταν ακέραιο πολλαπλάσιο του $2\pi$ . Αλλά τότε θα είχαμε $\displaystyle{\pi = \frac{1}{2k}\left(\frac{1}{m+1} + \cdots + \frac{1}{n}\right)}$ . Είναι γνωστό όμως πως ο αριθμός $\pi$ είναι άρρητος και άρα αυτό είναι αδύνατον.

Δεν ξέρω αν ο κατασκευαστής είχε κάτι άλλο υπόψη του που δεν χρησιμοποιεί την αρρητότητα του $\pi$ .

#6

cretanman έγραψε:
Θέμα 2ο
Αν είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας , να δείξετε ότι
ισχύει: $AB + CD \geq 4r$ .

Αλέξανδρος

Ας γράψουμε a,b,c,d

για τα μήκη των πλευρών AB,BC,CD,DA

αντίστοιχα. Είναι γνωστό ότι a+c = b+d

. (Για απόδειξη φέρτε ευθείες από το κέντρο

του κύκλου στις κορυφές του τετραπλεύρου και στα σημεία τομής του τετραπλεύρου με τον κύκλο και εφαρμόστε το πυθαγόρειο θεώρημα στα τρίγωνα που σχηματίζονται.)

Χωρίζοντας το τετράπλευρο στα τρίγωνα AOB,BOC,COD,DOA

έχουμε ότι το εμβαδόν

του τετραπλεύρου ισούται με E = r(a+b+c+d)/2 = r(a+c) = r(b+d)

. Χωρίζοντάς το στα τρίγωνα ABC

και

έχουμε ότι $E \leqslant (ab+cd)/2$ . Ομοίως βρίσκουμε ότι $E \leqslant (bc+da)/2$ . Άρα $4E \leqslant ab+bc+cd+da = (a+c)(b+d) = (a+c)E/r$ . Η ζητούμενη ανισότητα έπεται.

#7

cretanman έγραψε:Θέμα 4ο
Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός $3^{21}-2^{24}-6^8-1$ διαιρείται με το 1930.

Σύμφωνα με την ταυτότητα του Euler

$\displaystyle{3^{21}-2^{24}-6^8-1=(3^7)^3+(-2^8)^3+(-1)^3-3\cdot 3^7\cdot(-2^8)(-1)=(3^7-2^8-1)k=1930k}$

όπου

ακέραιος.

gauss1988 · #8

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:
cretanman έγραψε:Θέμα 4ο
Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός $3^{21}-2^{24}-6^8-1$ διαιρείται με το 1930.
Σύμφωνα με την ταυτότητα του Euler

$\displaystyle{3^{21}-2^{24}-6^8-1=(3^7)^3+(-2^8)^3+(-1)^3-3\cdot 3^7\cdot(-2^8)(-1)=(3^7-2^8-1)k=1930k}$

όπου ακέραιος.

!!!

#9

cretanman έγραψε:
Θέμα 3ο
Να εξετάσετε αν υπάρχουν φυσικοί αριθμοί με την ιδιότητα:
Από το σύνολο $A(n) = \{1,2,\ldots,n\}$ μπορούμε να διαλέξουμε αριθμούς $a_1,a_2,\ldots, a_k$ όπου
$k\geq 3$ , $a_i\neq a_j$ , έτσι ώστε να ισχύει, $\left|a_1-a_2\right|=\left|a_2-a_3\right|=\ldots = \left|a_{k-1}-a_k\right| = \left|a_k-a_1\right|$ . Τι συμβαίνει αν απλά $k\geq 1$ ;

Τέτοιο

δεν μπορεί να υπάρχει. Αν πάρουμε a_2 > a_1

, τότε πρέπει a_3 > a_2

αφού αλλιώς θα είχαμε a_3=a_1

. Επαγωγικά έχουμε $a_{k+1} > a_k$ για κάθε

και επειδή όλες οι διαφορές είναι σταθερές παίρνουμε a_k = a_1 + (k-1)d

όπου

. Αλλά τότε d = |a_k-a_1| = (k-1)d

, άτοπο αφού $k \geqslant 3$ και d > 0

. Ομοίως δουλεύουμε και στην περίπτωση που a_2 < a_1

.

Για

οποιαδήποτε διαφορετικά a_1,a_2

και να πάρουμε ικανοποιούν την συνθήκη και αυτό είναι δυνατό αν και μόνο αν $n \geqslant 2$ . Για k=1

η μόνη συνθήκη που χρειάζεται να ικανοποιήσουμε είναι να μπορούμε να διαλέξουμε ένα στοιχείο a_1

από το σύνολο A(n)

. Αυτό ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο

.

parmenides51 · #10

cretanman έγραψε:Θέμα 2ο
Αν είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας , να δείξετε ότι
ισχύει: $AB + CD \geq 4r$ .

: 8alis 1995 2o bl 1.png (51.72 KiB) Προβλήθηκε 1498 φορές

Demetres έγραψε:Ας γράψουμε για τα μήκη των πλευρών αντίστοιχα. Είναι γνωστό ότι . (Για απόδειξη φέρτε ευθείες από το κέντρο του κύκλου στις κορυφές του τετραπλεύρου και στα σημεία τομής του τετραπλεύρου με τον κύκλο και εφαρμόστε το πυθαγόρειο θεώρημα στα τρίγωνα που σχηματίζονται.)

: 8alis 1995 2o bl 2.png (28.73 KiB) Προβλήθηκε 1498 φορές

Demetres έγραψε:Χωρίζοντας το τετράπλευρο στα τρίγωνα έχουμε ότι το εμβαδόν του τετραπλεύρου ισούται με .

: 8alis 1995 2o bl 3.png (23.08 KiB) Προβλήθηκε 1498 φορές

Demetres έγραψε:Χωρίζοντάς το στα τρίγωνα και έχουμε ότι $E \leqslant (ab+cd)/2$ .

: 8alis 1995 2o bl 4.png (23.61 KiB) Προβλήθηκε 1498 φορές

Demetres έγραψε:Ομοίως βρίσκουμε ότι $E \leqslant (bc+da)/2$ . Άρα $4E \leqslant ab+bc+cd+da = (a+c)(b+d) = (a+c)E/r$ . Η ζητούμενη ανισότητα έπεται.

ΘΑΛΗΣ 1995 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 1995 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1995 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1995 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1995 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1995 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1995 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1995 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1995 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1995 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1995 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση