Ανισότητα στους πραγματικούς

Dreamkiller · #1

Για κάθε τριάδα πραγματικών a,b,c

με

να αποδείξετε ότι

$a^2(a^2-ab-b^2)+b^2(b^2-bc-c^2)+c^2(c^2-ca-a^2) \geq -3$

G.Bas · #2

Dreamkiller έγραψε:Για κάθε τριάδα πραγματικών με να αποδείξετε ότι

$a^2(a^2-ab-b^2)+b^2(b^2-bc-c^2)+c^2(c^2-ca-a^2) \geq -3$

Συγνώμη που ξεθάβω παλιό ποστ, αλλά βρήκα μια λύση.

Θέλουμε να δείξουμε ότι $\displaystyle{a^4+b^4+c^4+3\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+a^3b+b^3c+c^3a}$ . Πολλαπλασιάζουμε με

και έχουμε ότι

$\displaystyle{3(a^4+b^4+c^4)+9\geq 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+3(a^3b+b^3c+c^3a)}$ . Ισχύει όμως από την υπόθεση ότι $\displaystyle{ab+bc+ca=3}$ . Οπότε η δεδομένη γίνεται

$\displaystyle{3(a^4+b^4+c^4)+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+2abc(a+b+c)\geq 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+3(a^3b+b^3c+c^3a)}$

ή

$\displaystyle{3(a^4+b^4+c^4)+2abc(a+b+c)\geq 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+3(a^3b+b^3c+c^3a)}$ .

Αυτή όμως, γράφεται $\displaystyle{3(a^4+b^4+c^4-a^3b-b^3c-c^3a)\geq a^2(b-c)^2+b^2(c-a)^2+c^2(a-b)^2}$ η οποία είναι Ανισότητα του κ. Cirtoaje.

#3

Φυσικά και έκανες πολύ καλά που ξέθαψες την παλιά ανισότητα, Γιώργο! Την είχα προσπαθήσει και εγώ κατά καιρούς χωρίς επιτυχία, μάλλον δεν είχα καταφέρει να την ομογενοποιήσω (κατά τον κατάλληλο τρόπο)... Η ανισότητα Cirtoaje στην οποία την ανάγεις βγαίνει εύκολα (και) με διαδοχικές παραγωγίσεις.

Γιώργος Μπαλόγλου

#4

G.Bas έγραψε: Αυτή όμως, γράφεται $\displaystyle{3(a^4+b^4+c^4-a^3b-b^3c-c^3a)\geq a^2(b-c)^2+b^2(c-a)^2+c^2(a-b)^2}$ η οποία είναι Ανισότητα του κ. Cirtoaje.

Γιώργο αν γίνεται μπορείς να μας δώσεις μια απόδειξη ή μια παραπομπή;

sokratis lyras · #5

Αποσύρω τη λύση λόγω λάθους.Ευχαριστώ κ.Δημήτρη για την επισήμανση.

#6

sokratis lyras έγραψε: Από Vask έχουμε: $a^4+b^4+c^4\ge 3(a^3b+b^3c+c^3a)$

Σωκράτη, νομίζω υπάρχει λάθος εδώ. Για παράδειγμα δεν ισχύει για a=b=c

.

sokratis lyras · #7

Έχετε δίκιο.Η ανισότητα που προανέφερα είναι η εξής: $(a^2+b^2+c^2)^2\ge 3(a^3b+b^3c+c^3a)$ .

#8

gbaloglou έγραψε:Φυσικά και έκανες πολύ καλά που ξέθαψες την παλιά ανισότητα, Γιώργο! Την είχα προσπαθήσει και εγώ κατά καιρούς χωρίς επιτυχία, μάλλον δεν είχα καταφέρει να την ομογενοποιήσω (κατά τον κατάλληλο τρόπο)... Η ανισότητα Cirtoaje στην οποία την ανάγεις βγαίνει εύκολα (και) με διαδοχικές παραγωγίσεις.

Φαίνεται να υπάρχει πρόβλημα με την μέθοδο μου σε μία από τις δύο περιπτώσεις που απαιτεί η 'ημικυκλικότητα' της ανισότητας, συγκεκριμένα στην $b\leq a\leq c$ . Η άλλη περίπτωση, $a\leq b\leq c$ , είναι εντάξει, νομίζω. (Ίσως το ξαναδώ...)

Γιώργος Μπαλόγλου

#9

G.Bas έγραψε:
$\displaystyle{3(a^4+b^4+c^4)+2abc(a+b+c)\geq 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+3(a^3b+b^3c+c^3a)}$ .

Βάζω την προσέγγισή μου από εδώ αι κάτω.
Αν κάνουμε χρήση της γνωστής $(a^2+b^2+c^2)^2\geq 3(a^3b+b^3c+c^3a)$ τότε μένει να δείξουμε ότι

$a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)\geq 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

Όμως από την ανισότητα Schur (n=2) έχουμε ότι $a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)\geq ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)$

Επόμενως η ζητούμενη προκύπτει με χρήση της $a^2+b^2\geq 2ab$

Dreamkiller · #10

Αλλιώς, γραφεται ως $\sum(ab-bc+c^2-2a^2+b^2)^2 \geq 0$ .

Ανισότητα στους πραγματικούς

Ανισότητα στους πραγματικούς

Re: Ανισότητα στους πραγματικούς

Re: Ανισότητα στους πραγματικούς

Re: Ανισότητα στους πραγματικούς

Re: Ανισότητα στους πραγματικούς

Re: Ανισότητα στους πραγματικούς

Re: Ανισότητα στους πραγματικούς

Re: Ανισότητα στους πραγματικούς

Re: Ανισότητα στους πραγματικούς

Re: Ανισότητα στους πραγματικούς

Μέλη σε σύνδεση