Μιγαδικοί Αριθμοί 18

Γιώργος Κ77 · #1

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί $z_{1},z_{2},z_{3}$ , για τους οποίους ισχύουν $z_{3}+iz_{1}=(1+i)z_{2}$ και $|z_{1}-z_{2}|=2$ .

Να αποδείξετε ότι $(z_{1}-z_{3})(\frac{1}{z_{1}-z_{2}}+\frac{1}{z_{2}-z_{3}})\leq 4$ .

parmenides51 · #2

καλυτερα να συμπληρώσεις υπό ποιες προυποθέσεις συζητάμε για ανισότητα μιγαδικών, ρίξε και μια ματιά κι εδώ

Γιώργος Κ77 · #3

Parm, μετά από επεξεργασία του ζητούμενου, όποιος ασχοληθεί με την άσκηση θα διαπιστώσει ότι δεν εμπλέκεται διάταξη μιγαδικών. Αυτός είναι άλλωστε και ο στόχος της άσκησης.

parmenides51 · #4

Την είδα επιφανειακά τότε, πάω πάσο

#5

...μία αντιμετώπιση...

Αν ${{z}_{1}}-{{z}_{2}}=u,\,\,{{z}_{2}}-{{z}_{3}}=v$ τότε ${{z}_{1}}-{{z}_{3}}=u+v$ και αφού $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2\Leftrightarrow \left| u \right|=2$ άρα $u\ne 0$

Επίσης από ${{z}_{3}}+i{{z}_{1}}={{z}_{2}}+i{{z}_{2}}\Leftrightarrow {{z}_{3}}-{{z}_{2}}=i({{z}_{2}}-{{z}_{1}})$ άρα v=iu

Τώρα αρκεί να δείξουμε ότι $(u+v)(\frac{1}{u}+\frac{1}{v})\le 4\Leftrightarrow (u+iu)(\frac{1}{u}+\frac{1}{iu})\le 4\Leftrightarrow u(1+i)(\frac{1-i}{u})\le 4$ δηλαδή $2\le 4$ που ισχύει

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Γιώργος Κ77 · #6

$z_{3}+iz_{1}=(1+i)z_{2}\Leftrightarrow {{z}_{3}}-{{z}_{2}}=i({{z}_{2}}-{{z}_{1}})$ , άρα $|z_{1}-z_{2}|=|z_{2}-z_{3}|=2$ .Τότε :

$\bar{z_{1}}-\bar{z_{2}}=\frac{4}{z_{1}-z_{2}}$ και $\bar{z_{2}}-\bar{z_{3}}=\frac{4}{z_{2}-z_{3}}$ , άρα :

$(z_{1}-z_{3})(\frac{1}{z_{1}-z_{2}}+\frac{1}{z_{2}-z_{3}})=\frac{1}{4}((z_{1}-z_{2})+(z_{2}-z_{3}))(\frac{4}{z_{1}-z_{2}}+\frac{4}{z_{2}-z_{3}})=$

$=\frac{1}{4}|(z_{1}-z_{2})+(z_{2}-z_{3})|^{2}$ .

Από τριγωνική ανισότητα έχουμε : $|(z_{1}-z_{2})+(z_{2}-z_{3})|\leq |z_{1}-z_{2}|+|z_{2}-z_{3}|=4$ , οπότε:

$\frac{1}{4}|(z_{1}-z_{2})+(z_{2}-z_{3})|^{2}\leq \frac{16}{4}=4$ .

zorba_the_freak · #7

Δεν χρειάζεται η συνθήκη |z_1-z_2|=2,

αρκεί η συνθήκη $z_1\neq z_2$
Θέτουμε a=z_1-z_2

και

οπότε είναι:
$z_3+iz_1=(1+i)z_2\Leftrightarrow z_2-z_3=i(z_1-z_2)\Leftrightarrow b=ai$
Επομένως είναι:
$\displaystyle(z_1-z_3)\left(\frac{1}{z_1-z_2}+\frac{1}{z_2-z_3}\right)=(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=(a+ai)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{ai}\right)=a(1+i)\frac{1+i}{ai}=2$

Christos.N · #8

Γιώργος Κ77 έγραψε:Parm, μετά από επεξεργασία του ζητούμενου, όποιος ασχοληθεί με την άσκηση θα διαπιστώσει ότι δεν εμπλέκεται διάταξη μιγαδικών. Αυτός είναι άλλωστε και ο στόχος της άσκησης.

Γιώργο έχω μια ένσταση σε αυτό, πως γίνεται γινόμενο μιγαδικών παραστάσεων να είναι μικρότερο ή ίσο του τέσσερα; Μπορεί να κάνει κάποιος απαλοιφή παρανομαστών;

Φιλικά και μαθηματικά.

Μιγαδικοί Αριθμοί 18

Μιγαδικοί Αριθμοί 18

Re: Μιγαδικοί Αριθμοί 18

Re: Μιγαδικοί Αριθμοί 18

Re: Μιγαδικοί Αριθμοί 18

Re: Μιγαδικοί Αριθμοί 18

Re: Μιγαδικοί Αριθμοί 18

Re: Μιγαδικοί Αριθμοί 18

Re: Μιγαδικοί Αριθμοί 18

Μέλη σε σύνδεση