Το θεώρημα του μετεωρολόγου

Kostas01 · #1

Το βρήκα ενδιαφέρον και είπα να το μοιραστώ.
Ψάχνοντας στο google για το θέωρημα του νότιου πόλου, με λέξεις κλειδιά όπως, "south pole math theorem", έπεσα πάνω σε αυτή τη σελίδα http://mathforum.org/library/drmath/view/54746.html που αναφέρεται στο θέωρημα του μερεωρολόγου που είναι το εξής: Ανά πάσα στιγμή υπάρχουν δύο αντιδιαμετρικά σημεία στην επιφάνεια της γης που έχουν ίδια ατμοσφαιρική πίεση και θερμοκρασία.

Το πρώτο μέρος που λέει ότι υπάρχουν κλειστές καμπύλες πάνω στις οποίες η διαφορά πίεσης στα αντιδιαμετρικά σημεία είναι μηδέν, το κατάλαβα. Το δεύτερο μέρος που λέει ότι οι καμπύλες με μηδέν διαφορά βαρομετρικού, τέμνονται με τις καμπύλες μηδενικής διαφοράς θερμοκρασίας, δεν το κατάλαβα. Γιατί πρέπει να τέμνονται;

#2

μπορείς να δεις εδώ http://at.yorku.ca/cgi-bin/bbqa?forum=a ... =0085.0001

Kostas01 · #3

Αντιπαράδειγμα:
Ας πούμε ότι η καμπύλη που σχηματίζουν όλα τα σημεία που έχουν την ίδια βαρομετρική πίεση, είναι ο ισημερινός, και ότι η κατανομή των πιέσεων είναι ομαλή +1 mbar για κάθε 9 μοίρες βόρεια του ισημερινού, και -1 mbar για κάθε 9 μοίρες νότια του ισημερινού. Αρα στο βόρειο πόλο θα έχουμε +10 mbar (παραπάνω από ό΄,τι έχουμε στον ισημερινό, και στον νότιο πόλο θα έχουμε -10 mbar παρακάτω από ό,τι έχουμε στον ισημερινό). Δηλαδή ομαλή γραμμική μεταβολή κατά μήκος οποιουδήποτε μεσημβρινού.
Για την θερμοκρασία τώρα, ας πούμε ότι έχουμε μία παρόμοια γραμμική μεταβολή, μόνο που αντί να έχουμε την καμπύλη ίσω τιμών (ας πούμε 45 βαθμών Κελσίου) στον ύψος του ισημερινού, η καμπύλη αυτή θεωρούμε ότι ταυτίζεται με τον γεωγραφικό παράλληλο 45 μοίρες βόρεια. Και καθώς πηγαίνουμε βόρεια θα έχουμε μείωση της θερμοκρασίας κατά 1 βαθμό ανά μοίρα γεωγραφικού πλάτους (άρα στο βόρειο πόλο θα έχουμε 0 βαθμού Κελσίου) , και καθώς πηγαίνουμε νότια θα έχουμε αύξηση της θερμοκρασίας κατά 1 βαθμό κάθε 13,5 μοίρες γωγραφικού πλάτους (άρα στον νότιο πόλο που απέχει 90+45=135μοίρες από τον γεωγραφικό παράλληλο των 45 μοιρών, θα έχει θερμοκρασία 45+(135/13,5)*1= 55βαθμοί Κελσίου). (Πάει... λιώσανε όλοι οι πάγοι

)

Αφού ο ισημερινός (που βρίσκονται όλα τα σημεία που έχουν την ίδια βαρομετρική πίεση) και ο γεωγραφικός παράλληλος των 45 μοιρών βόρεια (που βρίσκονται όλα τα σημεία που έχουν ίδια θερμοκρασία ίση με 45 βαθμούς Κελσίου) δεν έχουν κοινά σημεία, τότε πώς ισχύει το θεώρημα του μετεωρολόγου;

#4

Kostas01 έγραψε:Αντιπαράδειγμα:
Ας πούμε ότι η καμπύλη που σχηματίζουν όλα τα σημεία που έχουν την ίδια βαρομετρική πίεση, είναι ο ισημερινός <... >

Για ξαναδές το γιατί το αντιπαράδειγμα δεν είναι σωστό (*). Πάνω στον ισημερινό ΥΠΑΡΧΟΥΝ αντιδιαμετρικά σημεία με τη ίδια θερμοκρασία (απόδειξη: Αν f(u)

θερμοκρασία σημείου του ισημερινού με γεωγραφικό μήκος

, θεωρούμε την (συνεχή) f(u) - f(180+u)

. Εύκολα βλέπεις από Bolzano και την f(0)=f(360)

οτι μηδενίζεται κάπου. Εκεί που μεδενίζεται έχουμε αντιδιαμέτρικά σημεία με ίση θερμοκρασία και ίση πίεση (είμαστε στον ισημερινό)).

Το θεώρημα είναι σωστό. Αν θυμάμαι καλά αποδίδεται στον Ulam, και είναι στάνταρ αποτέλεσμα σε όλα τα μαθήματα Αλγεβρικής Τοπολογίας. Και εγώ τότε το έμαθα, στα φοιτητικά μου χρόνια.

Μ.

(*) συν τοις άλλοις το αντιπαράδειγμα θεωρεί ότι μόνο στον ισημερινό υπάρχουν σημεία με ίση πίεση. Όχι. Υπάρχουν και άλλες ισοσταθμικές καμπύλες.

Kostas01 · #5

Ευχαριστώ για την υπόδειξη. Καλά, δεν εννοούσα ότι το θεώρημα είναι λάθος... απλώς δεν μπορούσα να το καταλάβω.

Αλλά τώρα βλέπω ότι ΟΛΑ τα σημεία του ισημερινού, στο αντιπαράδειγμά μου, ΕΙΝΑΙ σημεία που έχουν την ίδια πίεση (αφού έτσι όρισα εγώ εξ αρχής ότι θα είναι η πίεση στον ισημερινό), αλλά επίσης έχουν και την ίδια θερμοκρασία που είναι 45+(45/13.5)*1= 48 1/3.

Οκ. ευχαριστώ!

Στο αντιπαράδειγμά μου, κάθε γεωγραφικός παράλληλος είναι και καμπύλη ίσων θερμοκρασιών και πιέσεων. Αλλά εκτός από την καμπύλη του ισημερινού, υπάρχουν άλλα αντιδιαμετρικά σημεία που να έχουν ίση θερμοκρασία και πίεση; Νομίζω όχι.

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε: Το θεώρημα είναι σωστό. Αν θυμάμαι καλά αποδίδεται στον Ulam, και είναι στάνταρ αποτέλεσμα σε όλα τα μαθήματα Αλγεβρικής Τοπολογίας.

Όπως φαίνεται και στον σύνδεσμο του Σπύρου, είναι άμεση συνέπεια του θεωρήματος Borsuk-Ulam που λέει ότι για κάθε συνεχή συνάρτηση $f:S^n \to \mathbb{R}^n$ υπάρχει $x \in S^n$ με f(x) = f(-x)

. Εδώ με

συμβολίζουμε την σφαίρα $S^n = \{(x_1,\ldots,x_{n+1}: x_1^2 + \cdots + x_{n+1}^2 = 1\}$ .

Για n=1

λέει ότι για κάθε συνεχή συνάρτηση από τον κύκλο στο $\mathbb{R}$ υπάρχει σημείο (x,y)

του κύκλου ώστε f((x,y)) = f((-x,-y))

. Αυτό αποδεικνύεται εύκολα από θεώρημα ενδιάμεσης τιμής.

Για n=2

λέει ότι για κάθε συνεχή συνάρτηση από την σφαίρα στο $\mathbb{R}^2$ υπάρχει σημείο (x,y,z)

της σφαίρας ώστε f((x,y,z)) = f((-x,-y,-z))

. Παίρνοντας την συνάρτηση που στέλνει ένα σημείο $\mathbf{x} = (x,y,z)$ της σφαίρας στο ζεύγος $(P(\mathbf{x}),T(\mathbf{x}))$ που κωδικοποιεί την πίεση και την θερμοκρασία σε αυτό το σημείο παίρνουμε το θεώρημα του μετεωρολόγου. (Υποθέτοντας βέβαια πως η πίεση/θερμοκρασία αλλάζουν ομαλά κ.τ.λ.)

Το θεώρημα αποδείχθηκε από τον Borsuk το 1933 ο οποίος απαντούσε σε μια εικασία του Ulam. Επίσης το 1930 οι Lyusternik και Shnirel’man είχαν αποδείξει ένα ισοδύναμο θεώρημα. (Δηλαδή ενώ και τα δυο θεωρήματα είναι δύσκολο να αποδειχθούν μπορείς «εύκολα» να αποδείξεις το ένα αν γνωρίζεις το άλλο.)

Το θεώρημα του μετεωρολόγου

Το θεώρημα του μετεωρολόγου

Re: Το θεώρημα του μετεωρολόγου

Re: Το θεώρημα του μετεωρολόγου

Re: Το θεώρημα του μετεωρολόγου

Re: Το θεώρημα του μετεωρολόγου

Re: Το θεώρημα του μετεωρολόγου

Μέλη σε σύνδεση