συνάρτηση

marmix · #1

να βρεθεί ο τύπος της f.

#2

marmix έγραψε:

να βρεθεί ο τύπος της f.

H ωραία αλλά αρκετά γνωστή αυτή άσκηση εμφανίζεται συχνά σε διαγωνισμούς:

Βάζοντας 1-x

στη θέση του

η $f(x)+2f(1-x)=13 - 2x, \, (1)$ δίνει $f(1-x)+2f(x)=13 - 2(1-x), \, (2)$ .
Λύνουμε τώρα τις (1), (2)

ως σύστημα ως προς f(x), f(1-x)

. Θα βρούμε f(x)=3+2x

, που επαληθεύει.

Μ.

Edit: Διόρθωσα τυπογραφικό λάθος στην (2).

marmix · #3

Μπορείτε να γράψετε λίγο πιο αναλυτικά τη λύση του συστήματος??γιατί κάπου κολλάω.
εστω f(x)=w

και

τότε

με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε: 2(w+2y)=2

=>

πως καταλήγουμε στο f(x)=2x+3

???

parmenides51 · #4

Εκ παραδρομής γράφτηκαν λάθος οι συντελεστές στην δεύτερη εξίσωση, το σύστημα είναι το εξής $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} f(x)+2f(1-x)=13 - 2x \\ 2f(x)+f(1-x)=13 - 2(1-x) \end{matrix}\right}}$

marmix · #5

ευχαριστώ πολύ.

#6

Στον τύπο αυτό θέτουμε όπου $\displaystyle{x}$ το $\displaystyle{1-x}$ άρα προκύπτει:
$\displaystyle{2f(x)+f(1-x)=11+2x}$
Άρα μαζί με τη δοθείσα γίνεται:
$\displaystyle \left.\begin{matrix} f(x)+2f(1-x)=13-2x\\2f(x)+f(1-x)=11+2x \end{matrix}\right|(1)$
Λύνοντας το σύστημα (1) ως προς
$\displaystyle{f(x), \ \ f(1-x)}$
βρίσκουμε:
$\displaystyle{f(x)=2x+3}$ , $\displaystyle{f(1-x)=-2x+5}$ .

Μια γεωμετριή ερμηνεία - Σχόλιο:

Το ερώτημα που προκύπτει από την άσκηση αυτή όπως κι από πολλές παρόμοιες είναι
τί γεωμετρικό κρύβεται πίσω από την έκφραση αυτή.
Ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή.
Η δοθείσα σχέση αφορά μια συνάρτηση ορισμένη στο $\displaystyle{R}$
(ή τουλάχιστον σε ένα σύνολο πραγματικών αριθμών με κέντρο συμμετρίας τον αριθμό $\frac{1}{2}$ )
η οποία μπορεί να γραφεί: $\displaystyle{f(x)+2f(1-x)=h(x)} \ \ (1)$ όπου $\displaystyle{f(x)=2x+3}$
Με δεδομένο αυτό συμπεραίνουμε ότι:
$\displaystyle{f(1-x)=-2x+5}$ και $\displaystyle{h(x)=-2x+13}$ .

Στο σχήμα εμφανίζονται τα "γεγονότα" της συμπεριφοράς αυτής. Δηλαδή:
Εμφανίζονται κατ' αρχάς τα γραφήματα των $\displaystyle{f,g, h}$ όπου $\displaystyle{g(x)=-2x+5}$ .

: Σύνθεση συναρτήσεων.PNG (42.55 KiB) Προβλήθηκε 932 φορές

Ας θεωρήσουμε τελικά ένα $\displaystyle{x}$ στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ . Τότε: $\displaystyle{MA=f(x)=2x+3,} \ \ (2)$
Επίσης: $\displaystyle{ME=h(x)=-2x+13, \ \ (3)}$
Τέλος για το $\displaystyle{f(1-x)}$ μπορούμε να πούμε ότι κατά τη σύνθεση αυτή το $\displaystyle{x}$ γίνεται $\displaystyle{1-x}$ και στη συνέχεια ως τέτοιο δίνει την νέα του εικόνα μέσω της $\displaystyle{f}$ την $\displaystyle{f(1-x)}$ .
Το "ταξίδι" αυτό του $\displaystyle{x}$ έχει ενδιαφέρον.
Κατ' αρχήν το $\displaystyle{x}$ με την πρώτη εικόνα του την $\displaystyle{1-x}$ κινούνται σε θέσεις που είναι συμμετρικές ως προς το $\displaystyle{\frac{x+(1-x)}{2}=\frac{1}{2}}$ . Τα σημεία δηλαδή $\displaystyle{M, M' }$ είναι συμμετρικά ως προς το $\displaystyle{K}$ .
Στη συνέχεια το $\displaystyle{1-x}$ "οδεύει" στην νέα του εικόνα μέσω της $\displaystyle{f}$ και θα βρεθεί πάνω στο γράφημα της $\displaystyle{f}$ . Δηλαδή: $\displaystyle{M'B=f(1-x)=-2x+5}$
Το τελευταίο αυτό δηλώνει ότι: $\displaystyle{M'B=MZ=-2x+5 \ \ (4)}$

Άρα η δοθείσα σχέση (1) σύμφωνα με τις (2),(3) και (4) δηλώνει: $\displaystyle MA+2\cdot MZ=ME$
όμως: $\displaystyle MA+AE=ME$
ώστε τελικά να είναι: $\displaystyle (AE)=2(MZ)$

Συμπέρασμα:
Καθόλη τη διαδρομή του σημείου Μ στο πεδίο ορισμού του η κατακόρυφη ευθεία ορίζει στα γραφήματα
των συναρτήσεων αυτών τα τμήματα $\displaystyle{AE, MZ}$ που το ένα είναι διπλάσιο του άλλου.

Κώστας Δόρτσιος

συνάρτηση

συνάρτηση

Re: συνάρτηση

Re: συνάρτηση

Re: συνάρτηση

Re: συνάρτηση

Re: συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση