Παραμετρική

irakleios · #1

Για ποιες τιμές της παραμέτρου

μία ακριβώς ρίζα της εξίσωσης $x^{2}-2(m+1)x+m^{2}=0$ ανήκει στο διάστημα (0,2)

;

#2

Κατ' αρχήν η τιμή $\displaystyle{m=0}$ δίνει την εξίσωση: $\displaystyle{x^2-2x=0}$ που έχει ρίζες τις $\displaystyle{x_1=0, x_2=2}$ που δεν ικανοποιούν το ζητούμενο.
Έστω λοιπόν ότι $\displaystyle{m\neq 0}$
Η διακρίνουσα του τριωνύμου αυτού είναι: $\displaystyle{D=b^2-4ac=4(2m+1)}$
επομένως για να έχει το τριώνυμο κατ' αρχήν πραγματικές ρίζες θα πρέπει:
$\displaystyle D>0\Leftrightarrow m>-\frac{1}{2}$

Θα ελέγξουμε πρώτα την περίπτωση της διπλής ρίζας:
Έστω ότι: $\displaystyle D=0\Leftrightarrow m=-\frac{1}{2}$ τότε η διπλή του ρίζα είναι: $\displaystyle x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}\in \left(0,2 \right)$
άρα η τιμή αυτή $\displaystyle m=-\frac{1}{2}$ είναι δεκτή.

Έστω τώρα πως $\displaystyle{D>0}$ τότε θα έχουμε δύο ρίζες πραγματικές και άνισες τις $\displaystyle{x_1,x_2}$ με $\displaystyle{x_1<x_2}$ .

: Διάστημα ριζών.PNG (723 Ψηφιολέξεις) Προβλήθηκε 666 φορές

Ελέγχουμε τη θέση τώρα των αριθμών $\displaystyle{0}$ και $\displaystyle{2}$ σε σχέση με τις ρίζες αυτές.
Είναι: $\displaystyle{f(0)=m^2>0}$ άρα το $\displaystyle{0}$ είναι εκτός του διαστήματος των ριζών.
Επίσης: $\displaystyle{f(2)=m^2-4m=m(m-4)}$ .
Άρα για να είναι ο αριθμός $\displaystyle{2}$ εντός του διαστήματος των ριζών πρέπει:
$\displaystyle af(2)<0\Leftrightarrow m(m-4)<0\Leftrightarrow m\in \left(0,4 \right)$
Δηλαδή για $\displaystyle{m\in(0,4)}$ ο αριθμός $\displaystyle{2}$ βρίσκεται εντός του διαστήματος των ριζών και το $\displaystyle{0}$ εκτός.
Επομένως στο ανοιχτό διάστημα $\displaystyle{(0,2)}$ βρίσκεται μόνον μία ρίζα του τριωνύμου αυτού.

Επομένως για να ισχύει το ζητούμενο οι τιμές του $\displaystyle{m}$ πρέπει να ανήκουν στο σύνολο:
$\displaystyle A= \left\{-\frac{1}{2} \right\}\bigcup{(0,4)}$

Κώστας Δόρτσιος

kanenas · #3

Επειδή το πρόβλημα αναφέρει ακριβώς μία ρίζα, μήπως δεν χρειάζεται να εξετάσουμε την περίπτωση της μηδενικής διακρίνουσας;

#4

Έχω την άποψη ότι:
Η φράση "ακριβώς μία" και στην καθημερινή της χρήση δηλώνει "μια και μοναδική".
για να διαφοροποιηθεί από τη λέξη "μία" η οποία ως αόριστη αντωνυμία μπορεί και να δηλώνει "μια τουλάχιστον"

Αν λοιπόν πούμε σε κάποιον: "δώσε μου ακριβώς ένα ευρώ", τότε αυτός που θα θελήσει να μας το δώσει θα πρέπει να έχει στη τσέπη του
δύο τουλάχιστον ευρώ, ώστε να μας δώσει το ένα; Αν έχει ένα ευρώ στην τσέπη του τότε δεν πρέπει να μας το δώσει;

Στο προκείμενο:
Μας ζητά να ελέγξουμε ποιές είναι εκείνες οι συνθήκες ώστε το τριώνυμο αυτό να έχει "ακριβώς μια ρίζα" στο διάστημα $\displaystyle{(0,2)}$ . Εμείς, έχω την άποψη,
πως θα πρέπει να ελέγξουμε, ακόμα και την περίπτωση που το τριώνυμο έχει "ακριβώς μία ρίζα" (διπλή), κάτω από ποιες συνθήκες η μοναδική αυτή ρίζα
ανήκει ή όχι στο εν λόγω διάστημα. Γιατί όχι;

Εικάζω πως κάποιος μπορεί να αντιληφθεί το ερώτημα "ακριβώς μια ρίζα" όπως το ερώτημα: "μία από τις δύο ρίζες του". Όμως στην περίπτωση αυτή αλλάζει κατά την άποψή μου το πνεύμα της ερώτησης.
Τελικά το "μια" θα μπορούσε να εκληφθεί και ως απόλυτο αριθμητικό επίθετο, όμως το "ακριβώς μία" ξεκαθαρίζει την απολυτότητα του αριθμού αυτού.

Κώστας Δόρτσιος

Παραμετρική

Παραμετρική

Re: Παραμετρική

Re: Παραμετρική

Re: Παραμετρική

Μέλη σε σύνδεση