συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Γιώργος Απόκης · #81

Γιώργος Απόκης έγραψε:
Χάρης Γ.Λ. έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 27

Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν Γ(4,-1) και $\displaystyle{({\varepsilon _1}):2x - 3\psi + \color{red}12\color{black} = 0}$ ,
$\displaystyle{({\varepsilon _2}):2x + 3\psi = 0}$ είναι οι εξισώσεις του ύψους και της διαμέσου από τις κορυφές Α και Β αντίστοιχα .
Για ευκολία θα χρησιμοποιήσω αντί για $\Gamma$ . Είναι $\displaystyle{\lambda_{AD}=\frac{2}{3}}\Rightarrow \lambda_{BC}=-\frac{3}{2}}$ , άρα $\displaystyle{(BC):y+1=-\frac{3}{2}(x-4)\Rightarrow 3x+2y-10=0}$ .

Για το λύνουμε το σύστημα $\begin{cases}2x+3y=0 \\3x+2y-10=0 \end{cases}}$ από όπου έχουμε . Aν το μέσο της έχουμε: $\displaystyle{x_M=\frac{x_A+4}{2},y_M=\frac{y_A-1}{2}}$ .

To είναι σημείο της και το σημείο της άρα $\displaystyle{\begin{cases}2x_A-3y_A+12=0 \\2\frac{x_A+4}{2}+3\frac{y_A-1}{2}=0 \end{cases}}}$ από όπου προκύπτει $\displaystyle{A\left(-\frac{17}{4},\frac{7}{6}\right)}$ .

Είναι $\displaystyle{\lambda_{AB}=\frac{\frac{7}{6}+4}{-\frac{17}{4}-6}}=-\frac{62}{123}}$ , άρα $\displaystyle{(AB):y+4=-\frac{62}{123}(x+4)\Rightarrow y=-\frac{62}{123}x-\frac{40}{41}}$

και ομοίως (χρησιμοποιώντας τα ) έχουμε $\displaystyle{(AC):y=-\frac{26}{99}x+\frac{5}{99}}$ . (Έχω ελέγξει τις πράξεις... )

Συνειδητοποίησα ότι αν ήταν $(\epsilon_1):2x-3y+\color{red}11\color{black}=0$ όλα γίνονται απλά: A(-4,1)

και $\displaystyle{(AB):y=-\frac{1}{2}x-1,(AC):y=-\frac{1}{4}x}$

Γιώργος Απόκης · #82

Χάρης Γ.Λ. έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 27

Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν Γ(4,-1) και $\displaystyle{({\varepsilon _1}):2x - 3\psi + \color{blue}11\color{black} = 0}$ ,
$\displaystyle{({\varepsilon _2}):2x + 3\psi = 0}$ είναι οι εξισώσεις του ύψους και της διαμέσου από τις κορυφές Α και Β αντίστοιχα .

Δίνω ολοκληρωμένη τη λύση με τη διόρθωση...

Για ευκολία θα χρησιμοποιήσω

αντί για $\Gamma$ . Είναι $\displaystyle{\lambda_{AD}=\frac{2}{3}}\Rightarrow \lambda_{BC}=-\frac{3}{2}}$ , άρα $\displaystyle{(BC):y+1=-\frac{3}{2}(x-4)\Rightarrow 3x+2y-10=0}$ .

Για το

λύνουμε το σύστημα $\begin{cases}2x+3y=0 \\3x+2y-10=0 \end{cases}}$ από όπου έχουμε B(6,-4)

. Aν

το μέσο της

έχουμε: $\displaystyle{x_M=\frac{x_A+4}{2},y_M=\frac{y_A-1}{2}}$ .

To

είναι σημείο της

και το

σημείο της

άρα $\displaystyle{\begin{cases}2x_A-3y_A+11=0 \\2\frac{x_A+4}{2}+3\frac{y_A-1}{2}=0 \end{cases}}}$ από όπου προκύπτει $\displaystyle{A\left(-4,1\right)}$ .

Είναι $\displaystyle{\lambda_{AB}=\frac{1+4}{-4-6}}=-\frac{1}{2}}$ , άρα $\displaystyle{(AB):y+4=-\frac{1}{2}(x-6)\Rightarrow y=-\frac{1}{2}x-1}$

και $\displaystyle{\lambda_{AC}=\frac{1+1}{-4-4}}=-\frac{1}{4}}$ , άρα $\displaystyle{(AC):y+1=-\frac{1}{4}(x-4)\Rightarrow y=-\frac{1}{4}x}$ .

hlkampel · #83

ΑΣΚΗΣΗ 31

Δίνονται οι εξισώσεις $\left( {{\varepsilon _1}} \right):\;\left( {{k^2} - 1} \right)x - \left( {{k^2} + 2k + 1} \right)y + 2k + 2 = 0$ και $\left( {{\varepsilon _2}} \right):\;\left( {k - 1} \right)x - \left( {k + 1} \right)y + 2{k^2} + 4 = 0$ .

α. Να βρεθούν οι τιμές του $k \in R$ ώστε οι $\left( {{\varepsilon _1}} \right)$ και $\left( {{\varepsilon _2}} \right)$ να παριστάνουν ευθείες.

β. Για τις τιμές του $k \in R$ που βρήκατε:

i. Να δείξετε ότι οι $\left( {{\varepsilon _1}} \right)$ και $\left( {{\varepsilon _2}} \right)$ είναι παράλληλες.

ii. Να δείξετε ότι η $\left( {{\varepsilon _1}} \right)$ διέρχεται από σταθερό σημείο, το οποίο να βρεθεί.

iii. Να βρεθούν οι εξισώσεις των $\left( {{\varepsilon _1}} \right)$ και $\left( {{\varepsilon _2}} \right)$ με την ελάχιστη μεταξύ τους απόσταση.

apotin · #84

alexandropoulos έγραψε:Άσκηση 26

Έστω το σημείο και οι ημιευθείες που τέμνονται κάθετα.
Αν η γωνία στρέφεται γύρω από την κορυφή της και οι πλευρές της τέμνουν τους άξονες του ορθοκανονικού συστήματος στα , τότε να προσδιορισθεί:
α. Η γραμμή στην οποία ανήκει το μέσο του .
β. Η γραμμή στην οποία ανήκει η κορυφή του παραλληλόγραμμου , όπου η αρχή του
συστήματος αναφοράς.

α) Από τα ορθογώνια τρίγωνα OBC & ABC έχουμε ότι $\displaystyle{OK = AK = \frac{{BC}}{2}}$ .

Άρα ο γ.τ του Κ είναι η ευθεία ε: $\displaystyle{y=-x+1}$ που είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΟ.

2ος τρόπος

Έστω $\displaystyle{B(0, b)}$ και $\displaystyle{C(c, 0)}$ . Τότε $\displaystyle{\overrightarrow {AB} = \left( { - 1,b - 1} \right)}$ και $\displaystyle{\overrightarrow {BC} = \left( {c - 1, - 1} \right)}$ .

Άρα $\displaystyle{\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow b + c = 2}$ (*)

Το μέσον $\displaystyle{K}$ του $\displaystyle{BC}$ , έχει συντεταγμένες $\displaystyle{\left( {\frac{c}{2},\frac{b}{2}} \right)}$ οπότε επαληθεύουν την εξίσωση $\displaystyle{y=-x+1}$ και αντίστροφα

Άρα γ.τ. του $\displaystyle{K}$ είναι η ευθεία με εξίσωση $\displaystyle{y=-x+1}$

β) Έστω Κ(κ, 1-κ).

Τότε το σημείο D έχει συν/νες (2κ, 2-2κ), οπότε

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} x = 2k\\ y = 2 - 2k \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2k\\ y = 2 - x \end{array} \right.}$

δλδ ο γ.τ. του D είναι η ευθεία (ε΄) με εξίσωση $\displaystyle{y=-x+2}$ (που είναι και παράλληλη προς την ε και διέρχεται από το Α)

: B_KAT_26.png (27.3 KiB) Προβλήθηκε 1392 φορές

B_KAT_26.ggb: (8.19 KiB) Μεταφορτώθηκε 54 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Γιώργος Απόκης · #85

hlkampel έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 31
Δίνονται οι εξισώσεις $\left( {{\varepsilon _1}} \right):\;\left( {{k^2} - 1} \right)x - \left( {{k^2} + 2k + 1} \right)y + 2k + 2 = 0$ και $\left( {{\varepsilon _2}} \right):\;\left( {k - 1} \right)x - \left( {k + 1} \right)y + 2{k^2} + 4 = 0$ .
α. Να βρεθούν οι τιμές του $k \in R$ ώστε οι $\left( {{\varepsilon _1}} \right)$ και $\left( {{\varepsilon _2}} \right)$ να παριστάνουν ευθείες.
β. Για τις τιμές του $k \in R$ που βρήκατε:
i. Να δείξετε ότι οι $\left( {{\varepsilon _1}} \right)$ και $\left( {{\varepsilon _2}} \right)$ είναι παράλληλες.
ii. Να δείξετε ότι η $\left( {{\varepsilon _1}} \right)$ διέρχεται από σταθερό σημείο, το οποίο να βρεθεί.
iii. Να βρεθούν οι εξισώσεις των $\left( {{\varepsilon _1}} \right)$ και $\left( {{\varepsilon _2}} \right)$ με την ελάχιστη μεταξύ τους απόσταση.

α) Για να παριστάνει ευθεία η 1η εξίσωση πρέπει και αρκεί $(k^2-1\ne 0~~\acute{\eta}~~k^2+2k+1\ne 0)\Leftrightarrow (k\ne \pm 1 ~~\acute{\eta}~~k\ne -1)\Leftrightarrow k \ne -1$ .

Για να παριστάνει ευθεία η 2η εξίσωση πρέπει και αρκεί $(k-1\ne 0~~\acute{\eta}~~k+1\ne 0)\Leftrightarrow (k\ne 1 ~~\acute{\eta}~~k\ne -1)\Leftrightarrow k \in \mathbb R$ .

Eπομένως, παριστάνουν συγχρόνως ευθείες για $k\in \mathbb R-\{-1\}$ .

β) i) Για $k\ne -1$ , έχουμε: $\left( {{\varepsilon _1}} \right):\;(k+1)(k-1)x - (k+1)^2y + 2(k +1) = 0$ δηλαδή $\left( {{\varepsilon _1}} \right):\;(k-1)x - (k+1)y + 2 = 0$ και

$\left( {{\varepsilon _2}} \right):\;(k-1)x - (k+1)y + 2k^2+4 = 0$ . Αφού $k\ne -1$ , οι δύο ευθείες έχουν συντελεστή διεύθυνσης $\displaystyle{\lambda =\frac{k-1}{k+1}}$ , άρα είναι παράλληλες.

ii) Πρέπει η εξίσωση της $\varepsilon _1$ να επαληθεύεται από τις συντεταγμένες ενός σταθερού σημείου, για όλες τις τιμές του $k\in \mathbb R-\{-1\}$ .

Από την εξίσωση έχουμε : $\displaystyle{kx-x-ky-y+2=0\Leftrightarrow (x-y)k+(-x-y+2)=0\Leftrightarrow \begin{cases} x-y=0\\-x-y+2=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=1\\y=1 \end{cases}}$ ,

άρα όλες οι ευθείες διέρχονται από το σταθερό σημείο M(1,1)

.

iii) H απόσταση d(k)

των δύο ευθειών ισούται με την απόσταση ενός σημείου της $\varepsilon _1$ από την $\varepsilon _2$ . Έτσι, $\displaystyle{d(k)=d(M,\varepsilon _2)=\frac{|k-1-(k+1)+2k^2+4|}{\sqrt{(k-1)^2+(k+1)^2}}= }$

$\displaystyle{=\frac{|2k^2+2|}{\sqrt{2k^2+2}}=\frac{2k^2+2}{\sqrt{2k^2+2}}=\sqrt{2k^2+2} }$ η οποία γίνεται ελάχιστη για k=0

και τότε έχουμε : $\left( {{\varepsilon _1}} \right):\;x+ y-2 = 0$ και $\left( {{\varepsilon _2}} \right):\;x +y -4 = 0$ .

pana1333 · #86

Μια ακόμα έμπνευση μου, απλή αλλά βασική, γιατί τουλάχιστον οι μαθητές μου δυσκολεύονται σε βασικά "πραγματάκια"

Άσκηση 32

Ένα γήπεδο γκολφ είναι τοποθετημένο στο επίπεδο (ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων). Σε έναν αγώνα γκολφ χτυπάμε το μπαλάκι από το σημείο A(-3,0)

και έστω ότι αυτό ακολουθεί τη διαδρομή ευθείας με εξίσωση y-x=3

. Θεωρούμε ότι η τρύπα βρίσκεται στο σημείο

με συντεταγμένες B(2,3)

του ίδιου ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων. i) Να ελεγχθεί αν θα μπει το μπαλάκι στη τρύπα και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. ii) Έστω ότι η τρύπα βρισκόταν στο σημείο $\Gamma$ με συντεταγμένες $\Gamma (a,3a)$ . Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός

ώστε το μπαλάκι να μπει στη τρύπα. iii) Ποια είναι η μικρότερη απόσταση που θα έχει το μπαλάκι από την τρύπα (σημείο Β), και σε ποιο σημείο της διαδρομής του θα συμβεί αυτό; iv) Ποια πρέπει να είναι η κλίση της ευθείας ώστε αν χτυπούσαμε το μπαλάκι από το σημείο

να πετύχουμε απευθείας το στόχο μας (σημείο Β); ποια θα είναι τότε η εξίσωση της ευθείας αυτής και ποια η απόσταση

;

Υ.Σ
Ευχαριστώ τον Γιώργο Απόκη για την επισήμανση!

apotin · #87

xr.tsif έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 29
Αν οι εξισώσεις δύο διχοτόμων των γωνιών ενός τριγώνου $AB \Gamma$ είναι οι $(\varepsilon _{1}): x-y = 0$
και $(\varepsilon _{2}): y-1 = 0$ και η κορυφή $\Gamma(\frac{15}{13},\frac{3}{13})$ ,
να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Α και Β.

Χρήστος

Τα συμμετρικά του Γ ως προς τις δύο διχοτόμους είναι σημεία της ευθείας ΑΒ.

Έστω Γ' το συμμετρικό του Γ ως προς την $\displaystyle{y=x}$ και Γ'' το συμμετρικό του Γ ως προς την $\displaystyle{y=1}$ .

Τότε το Γ' έχει συντεταγμένες $\displaystyle{\left( {\frac{3}{{13}},\frac{{15}}{{13}}} \right)}$ .

Η ΓΓ'' τέμνει την $\displaystyle{y=1}$ στο σημείο $\displaystyle{\Delta \left( {\frac{{15}}{{13}},1} \right)}$ που είναι και το μέσον του τμήματος ΓΓ''.

Οπότε το Γ'' έχει συντεταγμένες $\displaystyle{\left( {\frac{{15}}{{13}},\frac{{23}}{{13}}} \right)}$

Εύκολα βρίσκουμε ότι η Γ'Γ'' έχει εξίσωση $\displaystyle{y = \frac{2}{3}x + 1}$ η οποία τέμνει τις $\displaystyle{y=x}$ και $\displaystyle{y=1}$ στα σημεία $\displaystyle{{\rm A}\left( {3,3} \right)}$ και $\displaystyle{{\rm B}\left( {0,1} \right)}$ που είναι οι ζητούμενες κορυφές.

: B_KAT_29.png (15.11 KiB) Προβλήθηκε 1281 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Γιώργος Απόκης · #88

Όμορφη λύση Απόστολε!

hlkampel · #89

pana1333 έγραψε:Μια ακόμα έμπνευση μου, απλή αλλά βασική, γιατί τουλάχιστον οι μαθητές μου δυσκολεύονται σε βασικά "πραγματάκια"

Άσκηση 32

Ένα γήπεδο γκολφ είναι τοποθετημένο στο επίπεδο (ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων). Σε έναν αγώνα γκολφ χτυπάμε το μπαλάκι από το σημείο και έστω ότι αυτό ακολουθεί τη διαδρομή ευθείας με εξίσωση . Θεωρούμε ότι η τρύπα βρίσκεται στο σημείο με συντεταγμένες του ίδιου ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων. i) Να ελεγχθεί αν θα μπει το μπαλάκι στη τρύπα και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. ii) Έστω ότι η τρύπα βρισκόταν στο σημείο $\Gamma$ με συντεταγμένες $\Gamma (a,3a)$ . Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός ώστε το μπαλάκι να μπει στη τρύπα. iii) Ποια είναι η μικρότερη απόσταση που θα έχει το μπαλάκι από την τρύπα (σημείο Β), και σε ποιο σημείο της διαδρομής του θα συμβεί αυτό; iv) Ποια πρέπει να είναι η κλίση της ευθείας ώστε αν χτυπούσαμε το μπαλάκι από το σημείο να πετύχουμε απευθείας το στόχο μας (σημείο Β); ποια θα είναι τότε η εξίσωση της ευθείας αυτής και ποια η απόσταση ;

i. Οι συντεταγμένες x = 2

και

του

δεν ικανοποιούν την ευθεία $\displaystyle{\left( \varepsilon \right):y - x = 3}$ .

Έτσι το μπαλάκι δεν θα μπει στην τρύπα γιατί αυτή δεν βρίσκεται στην πορεία του.

ii. Για να μπει το μπαλάκι στην τρύπα πρέπει οι συντεταγμένες του $\Gamma$ να ικανοποιούν την ευθεία $y - x = 3 \Leftrightarrow 3\alpha - \alpha = 3 \Leftrightarrow \alpha = \frac{3}{2}$ .

iii. Η μικρότερη απόσταση που θα έχει το μπαλάκι από το

είναι η απόσταση του

από την ευθεία $\displaystyle{\left( \varepsilon \right) x - y + 3 = 0}$ δηλαδή:

$d\left( {B,\varepsilon } \right) = \frac{{\left| {2 - 3 + 3} \right|}}{{\sqrt {1 + 1} }} = \frac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2$

Έστω σημείο $M\left( {k,k + 3} \right)$ της ευθείας $\left( \varepsilon \right)$ , τότε:

$\left( {MB} \right) = \sqrt 2 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {k - 2} \right)}^2} + {k^2}} = \sqrt 2 \Leftrightarrow {k^2} - 4k + 4 + {k^2} = 2 \Leftrightarrow$

${k^2} + 2k + 1 = 0 \Leftrightarrow k = 1$

Άρα η ελάχιστη απόσταση από τη τρύπα είναι $\sqrt 2$ και αυτό συμβαίνει όταν το μπαλάκι βρίσκεται στο σημείο $M\left( {1,4} \right)$

iv. Η κλίση της ευθείας

είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της. Έτσι είναι:

${\lambda _{AB}} = \frac{{3 - 0}}{{2 + 3}} = \frac{3}{5}$

Η εξίσωση της ευθείας

είναι:

$AB:\;y = \frac{3}{5}\left( {x + 3} \right) \Leftrightarrow 3x - 5y + 9 = 0$

Η απόσταση των σημείων

και

είναι:

$\left( {AB} \right) = \sqrt {{{\left( {2 + 3} \right)}^2} + {3^2}} \Rightarrow \left( {AB} \right) = \sqrt {34}$

ΖΩΗ · #90

ΑΣΚΗΣΗ 33

Να δειχθεί ότι το τετράγωνο που έχει κέντρο $\displaystyle{K(1,2)}$ και $\displaystyle{x+y-1=0}$ είναι η εξίσωση μιας πλευράς του, είναι ισεμβαδικό με το τετράγωνο που οι εξισώσεις δύο πλευρών του είναι $\displaystyle{x+y+6=0,\,x+y+10=0}$ .

Γιώργο σε ευχαριστώ!

Γιώργος Απόκης · #91

Απλά θυμίζω : άλυτες 30,33

Γιώργος Απόκης · #92

ΖΩΗ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 33

Να δειχθεί ότι το τετράγωνο που έχει κέντρο $\displaystyle{K(1,2)}$ και $\displaystyle{x+y-1=0}$ είναι η εξίσωση μιας πλευράς του, είναι ισεμβαδικό με το τετράγωνο που οι εξισώσεις δύο πλευρών του είναι $\displaystyle{x+y+6=0,\,x+y+10=0}$ .

Το 2ο τετράγωνο έχει πλευρά την απόσταση των παράλληλων ευθειών. To σημείο P(0,-6)

είναι σημείο της 1ης ευθείας, άρα

$\displaystyle{a_2=d=\frac{|0-6+10|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}}$ . Το 1ο τετράγωνο έχει πλευρά το διπλάσιο της απόστασης του κέντρου του από την x+y-1=0

.

Άρα, $\displaystyle{a_1=2d(K,\epsilon)=2\frac{|1+2-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}}$ . Άρα, είναι ίσα και επομένως ισεμβαδικά.

apotin · #93

Γιώργος Απόκης έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 30

Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον , διέρχεται από το σημείο και σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με ελάχιστο εμβαδόν, το οποίο και να βρεθεί.

Αφού η ευθεία διέρχεται από το Μ(2, 4) και σχηματίζει με τον χ΄χ αμβλεία γωνία θα τέμνει τους θετικούς ημιάξονες Οχ και Οψ,
έστω στα σημεία Α(α, 0) και Β(0, β) με α>2 και β>4. Έτσι η ΑΒ έχει εξίσωση βχ+αψ-αβ=0.

: B_KAT_30.png (23.42 KiB) Προβλήθηκε 1134 φορές

Αφού η ΑΒ διέρχεται από το Μ οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωσή της οπότε έχουμε: 4α+2β=αβ (1)

Το τρίγωνο ΟΑΒ έχει εμβαδό $\displaystyle{{\rm E} = \frac{1}{2}\alpha \beta \Rightarrow \beta = \frac{{2{\rm E}}}{\alpha }}$ (2)

Η (1) λόγω της (2) γίνεται: $\displaystyle{2{\alpha ^2} - {\rm E}\alpha + 2{\rm E} = 0}$ (3)

Η (3) είναι εξίσωση με πραγματικές ρίζες οπότε έχει διακρίνουσα $\displaystyle{\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {{\rm E}^2} - 16{\rm E} \ge 0 \Leftrightarrow {\rm E}\left( {{\rm E} - 16} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {\rm E} \ge 16}$

Άρα η ελάχιστη τιμή του Ε είναι 16. Τότε η (3) έχει διπλή ρίζα α=4 και από την (2) βρίσκουμε β=8.

Άρα η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση 2χ+ψ-8=0

KARKAR · #94

ΑΣΚΗΣΗ 34

Βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων

του επιπέδου , τα οποία έχουν από το σημείο A(-4,0)

απόσταση , που είναι διπλάσια από την απόστασή τους από τον άξονα xx'

parmenides51 · #95

Ας δούμε τι έχουμε ξαναδεί από διανύσματα:

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 2
Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα $\displaystyle{\vec{\alpha },\vec{\beta }}$ με $\displaystyle{\pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\beta }}}}\vec{\alpha }=-2\vec{\beta }}$ και $\displaystyle{\pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\alpha }}}}\vec{\beta }=-\frac{1}{4}\vec{\alpha }}$

α)Δείξτε ότι $\displaystyle{\left| {\vec{\alpha }} \right|=2\sqrt{2}\left| {\vec{\beta }} \right|}$

β) Βρείτε την $\displaystyle{\left( \overset{\wedge }{\mathop{\vec{\alpha },\vec{\beta }}}\, \right)}$

ίδια λογική

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Άσκηση 4

(Α) Έστω δύο διανύσματα $\vec a,\vec b$ του επιπέδου, να αποδειχτεί ότι: $\vec a \cdot \vec b \le \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|$ (λύνεται απλά και με την εφαρμογή του βιβλίου αλλά καλύτερα να δοθεί πλήρης λύση)

(Β)Έστω η συνάρτηση $f\left( x \right) = \sqrt {x + 7} + \sqrt {11 - x}$ . Με την βοήθεια του εσωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων, να βρείτε τη μέγιστη τιμή της

Αντώνης (Κώστας) Κυριακόπουλος - Βιβλίο κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου

β) ίδια λογική 01, 02

Γιώργος Απόκης έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 9

Δίνονται τα διανύσματα $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ με $|\vec{u}|=|\vec{v}|=|\vec{w}|=k>0$ .

α) Αν $\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}$ , να δείξετε ότι ισχύει : $\displaystyle{\vec{w}\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\frac{3k^2}{2}+\vec{u}\cdot \vec{v}}$ .

β) Αν $\displaystyle{\vec{w}\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\frac{3k^2}{2}+\vec{u}\cdot \vec{v}$ , να δείξετε ότι ισχύει : $\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}}$ .

(Σαφώς και πρόκειται για ευθύ και αντίστροφο)

εδώ

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 10

Δίνονται τα διανύσματα $\displaystyle{\overrightarrow a }$ και $\displaystyle{\overrightarrow b }$ με $\displaystyle{ \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = 6 }$ και $\displaystyle{\overrightarrow a ^2 + \overrightarrow b ^2 = 9}$

Να δείξετε οτι:

α. $\displaystyle{ \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| \cdot \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = 9 }$

β. $\displaystyle{{\overrightarrow a \bot \overrightarrow b }}$

γ. Να υπολογίσετε το $\displaystyle{ \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| }$ και το $\displaystyle{\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|}$

Χ.& Ι.Στεργίου -Χ.Νάκης (εκδοσεις Σαββάλας )

β)εδώ

hlkampel έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 14

Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα $\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b$ και $\overrightarrow c$ με $\displaystyle{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + \overrightarrow b \cdot \overrightarrow c + \overrightarrow c \cdot \overrightarrow a = - \frac{3}{2}}$ .

Να αποδείξετε ότι:

α. $\displaystyle{\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c = \overrightarrow 0 }$

β. $\displaystyle{\overrightarrow b \cdot \overrightarrow c = - \frac{1}{2}}$ και $\left| {\overrightarrow b + 2\overrightarrow c } \right| = \sqrt 3$

γ. Αν $\overrightarrow u = x\overrightarrow a + \left( {x + 1} \right)\overrightarrow b + \left( {x + 2} \right)\overrightarrow c$ , τότε το $\left| {\overrightarrow u } \right|$ είναι ανεξάρτητο του .

Χαρ. Στεργίου, Χ. Νάκη, Ιωαν. Στεργίου Εκδόσεις Σαββάλα

εδώ

ghan έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 17

α) Αν $\displaystyle{{\vec{e}}_{1}},{{\vec{e}}_{2}},{{\vec{e}}_{3}}$ είναι μοναδιαία διανύσματα του ιδίου διανυσματικού επιπέδου και
$\displaystyle{{\vec{e}}_{1}}\cdot {{\vec{e}}_{2}}+{{\vec{e}}_{2}}\cdot {{\vec{e}}_{3}}+{{\vec{e}}_{3}}\cdot {{\vec{e}}_{1}}=-1$ , τότε δύο από αυτά είναι αντίθετα.

β) Δείξτε (κάνοντας χρήση των διανυσμάτων) ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει:
$\sigma \upsilon \nu A+\sigma \upsilon \nu B+\sigma \upsilon \nu C\le \frac{3}{2}$ .

α) εδώ
β) εδώ

Γιώργος Απόκης έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 20

Για τα διανύσματα $\vec a, \vec b, \vec c$ ισχύουν οι σχέσεις : $|\vec a|=2,~|\vec b|=1,~\vec a\cdot \vec b=-1$ και $\vec a\cdot \vec c+\vec a^2 \vec b^2=0$ .

α) Να αποδείξετε ότι το $\vec b$ είναι κάθετο στο $\vec w=(\vec a \cdot \vec c)\vec a-4\vec b$

β) Να βρεθούν οι τιμές των πραγματικών για τις οποίες τα μέτρα των διανυσμάτων $\vec u=\vec a+x \vec b,~\vec v=y\vec a+ \vec b$ γίνονται ελάχιστα.

γ) Για $\displaystyle{x=1,y=\frac{1}{4}}$ , να βρείτε τη γωνία $(\widehat{\vec u,\vec v})$

β) εδώ κι εδώ

parmenides51 έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 21

Θεωρούμε τα διανύσματα $\displaystyle{\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c}$ με μέτρα ανάλογα των αριθμών $\displaystyle{3,4,7}$ αντίστοιχα καθώς και το διάνυσμα $\displaystyle{\overrightarrow u = \overrightarrow a - 2\overrightarrow b +2\overrightarrow c }$ .

α. Αν ένα από τα διανύσματα $\displaystyle{\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c}$ δεν είναι το μηδενικό διάνυσμα, τότε το διάνυσμα $\displaystyle{\overrightarrow u }$ έχει θετικό μέτρο.

β. Αν ισχύει πως $\displaystyle{\overrightarrow u =-3\overrightarrow b+\overrightarrow c}$ να αποδείξετε ότι:

i. $\displaystyle{\overrightarrow a \uparrow \uparrow \overrightarrow b }$ και $\displaystyle{\overrightarrow b \uparrow \downarrow \overrightarrow c }$

ii. $\displaystyle{\overrightarrow b = - \frac{4}{7}\overrightarrow c}$ και $\displaystyle{\overrightarrow a = - \frac{3}{7}\overrightarrow c }$

α) ίδια λογική εδώ
β) ίδια λογική εδώ , εδώ κι εδώ

pana1333 · #96

Άλλη μια απλή ιδέα μου....

ΆΣΚΗΣΗ 35

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές πάνω στις ευθείες $\epsilon _{1}:y-x=1$ , $\epsilon _{2}:y+x-2=0$ και στον οριζόντιο άξονα, ενός ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων $x\hat{O}y$ . Θεωρούμε ότι τα σημεία $B\left(x_{B},y_{B} \right)$ και $\Gamma \left(x_{\Gamma },y_{\Gamma } \right)$ βρίσκονται πάνω στον οριζόντιο άξονα με $x_{B}<x_{\Gamma }$ .

1) Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών του Α, Β, Γ
2) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου.
3) Να βρεθεί η εξίσωση της διαμέσου ΑΜ, της διχοτόμου ΑΕ και του ύψους ΑΔ, που φέρουμε από την κορυφή Α.
4) Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοκαθέτου της πλευράς ΑΓ και η απόσταση της από την πλευρά ΑΒ.
5) Να βρεθούν τα σημεία τομής μιας ευθείας παράλληλης στον οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το σημείο (4,3) με τις ευθείες $\epsilon _{1},\epsilon _{2}$

ΖΩΗ · #97

KARKAR έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 34

Βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου , τα οποία έχουν από το σημείο

απόσταση , που είναι διπλάσια από την απόστασή τους από τον άξονα

Αν $\displaystyle{d_1 = (AS)}$ και $\displaystyle{d_2 = d(S, x'x)}$ , πρέπει $\displaystyle{d_1 = 2d_2 \iff d_1^2 = 4 d_2^2}$ .

Aν $\displaystyle{S(x,y)}$ τότε είναι $\displaystyle{d_1 = \sqrt{(x+4)^2+y^2},\,d_2= |y|}$ , οπότε:

$\displaystyle{(x+4)^2+y^2 = 4y^2 \iff (x+4)^2 = 3y^2 \iff x+4 = \pm \sqrt{3} y}$ .

Άρα, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι οι ευθείες με εξισώσεις: $\displaystyle{x+\sqrt{3} y +4 =0}$ , $\displaystyle{x-\sqrt{3}y+4=0}$ .

Μάκης Χατζόπουλος · #98

pana1333 έγραψε:Άλλη μια απλή ιδέα....

ΆΣΚΗΣΗ 35

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές πάνω στις ευθείες $\epsilon _{1}:y-x=1$ , $\epsilon _{2}:y+x-2=0$ και στον οριζόντιο άξονα, ενός ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων $x\hat{O}y$ . Θεωρούμε ότι τα σημεία $B\left(x_{B},y_{B} \right)$ και $\Gamma \left(x_{\Gamma },y_{\Gamma } \right)$ βρίσκονται πάνω στον οριζόντιο άξονα με $x_{B}<x_{\Gamma }$ .

1) Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών του Α, Β, Γ
2) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου.
3) Να βρεθεί η εξίσωση της διαμέσου ΑΜ, της διχοτόμου ΑΕ και του ύψους ΑΔ, που φέρουμε από την κορυφή Α.
4) Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοκαθέτου της πλευράς ΑΓ και η απόσταση της από την πλευρά ΑΒ.
5) Να βρεθούν τα σημεία τομής μιας ευθείας παράλληλης στον οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το σημείο (4,3) με τις ευθείες $\epsilon _{1},\epsilon _{2}$

Νομίζω μια απλή άσκηση, κατάλληλη για μαθητές

α) Βρίσκουμε τις συντεταγμένες του

λύνοντας το σύστημα

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y - x = 1} \\ {y + x = 2} \\ \end{array}} \right.$

και βρίσκουμε ${\rm A}\left( {\frac{1}{2},\frac{3}{2}} \right)$

Βρίσκουμε τις συντεταγμένες των άλλων δύο κορυφών του τριγώνου,

$\begin{array}{l} y - x = 1\mathop \Rightarrow \limits^{y = 0} x = - 1 \\ y + x = 2\mathop \Rightarrow \limits^{y = 0} x = 2 \\ \end{array}$

και επειδή ${x_B} < {x_\Gamma }$ έπεται $B\left( { - 1,0} \right),\,\,\Gamma \left( {2,0} \right)$

β) Θα βρούμε το είδος του τριγώνου. Παρατηρούμε ότι, ${\lambda _{{\rm A}{\rm B}}} \cdot {\lambda _{{\rm A}\Gamma }} = 1 \cdot \left( { - 1} \right) = - 1 \Leftrightarrow {\rm A}{\rm B} \bot {\rm A}\Gamma$ άρα $\hat {\rm A} = {90^0}$

και $\left( {{\rm A}{\rm B}} \right) = \left( {{\rm A}\Gamma } \right) = \frac{3}{2}\sqrt 2$ δηλαδή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα

$\hat {\rm B} = \hat \Gamma = {45^0}$

γ) Επειδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές με κορυφή

, αν φέρουμε την διάμεσο, ύψος, διχοτόμος από το

ταυτίζονται, οπότε αρκεί να βρούμε ένα από αυτά, πχ. του ύψους ${\rm A}\Delta$

Όμως ${\rm A}\Delta //y'y$ άρα $x = {x_0} \Rightarrow x = \frac{1}{2}$

δ) Έστω (ζ) η ευθεία της μεσοκαθέτου της ΑΓ, άρα είναι παράλληλη στην ΑΒ και διέρχεται από το μέσο του Β, Γ, οπότε η εξίσωσή της είναι,

$y = 1\left( {x - \frac{1}{2}} \right) \Rightarrow y = x - \frac{1}{2}:\,\,\,\left( \zeta \right)$

Και $d\left( {{\rm B},\zeta } \right) = \frac{{\left| { - 1 - 0 - \frac{1}{2}} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\frac{3}{2}}}{{\sqrt 2 }} = \frac{3}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{3\sqrt 2 }}{4}$

ε) Η ευθεία αυτή είναι η y = 4

άρα το σύστημα με την εξίσωση της ευθείας y - x = 1

μας δίνει το σημείο $\left( {3,4} \right)$ , ενώ με την ευθεία y + x = 2

μας δίνει το σημείο $\left( { - 2,4} \right)$

Σημείωση: Χρωστάω ένα καλό σχήμα (και κάποια Latex

). Υπάρχουν πολλές και διαφορετικές λύσεις της άσκησης, αξίζει ο μαθητής να την αντιμετωπίσει διαφορετικά.

apotin · #99

ΖΩΗ έγραψε:
KARKAR έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 34

Βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου , τα οποία έχουν από το σημείο

απόσταση , που είναι διπλάσια από την απόστασή τους από τον άξονα
Αν $\displaystyle{d_1 = (AS)}$ και $\displaystyle{d_2 = d(S, x'x)}$ , πρέπει $\displaystyle{d_1 = 2d_2 \iff d_1^2 = 4 d_2^2}$ .

Aν $\displaystyle{S(x,y)}$ τότε είναι $\displaystyle{d_1 = \sqrt{(x+4)^2+y^2},\,d_2= |y|}$ , οπότε:

$\displaystyle{(x+4)^2+y^2 = 4y^2 \iff (x+4)^2 = 3y^2 \iff x+4 = \pm \sqrt{3} y}$ .

Άρα, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι οι ευθείες με εξισώσεις: $\displaystyle{x+\sqrt{3} y +4 =0}$ , $\displaystyle{x-\sqrt{3}y+4=0}$ .

Θα μου επιτρέψει η ΖΩΗ να προσθέσω ένα σχήμα και ένα αρχείο geogebra

: B_KAT_34.png (21.64 KiB) Προβλήθηκε 1004 φορές

B_KAT_34.ggb: (8.33 KiB) Μεταφορτώθηκε 44 φορές

ΖΩΗ · #100

apotin έγραψε: Θα μου επιτρέψει η ΖΩΗ να προσθέσω ένα σχήμα και ένα αρχείο geogebra

Απόστολε, όχι απλά σου επιτρέπω αλλά κυρίως σε ευχαριστώ!!

συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μέλη σε σύνδεση