Αριθμητική - Γεωμετρική Πρόοδος 13

Γιώργος Κ77 · #1

Αν $\alpha ^{2}\beta ^{2}\gamma ^{2}(\frac{1}{\alpha ^{3}}+\frac{1}{\beta ^{3}}+\frac{1}{\gamma ^{3}})=\alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}$ , όπου $\alpha, \beta ,\gamma \in R^{*}$ ,

να αποδείξετε ότι οι $\alpha ,\beta ,\gamma$ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με κάποια τάξη.

#2

Γιώργος Κ77 έγραψε:Αν $\alpha ^{2}\beta ^{2}\gamma ^{2}(\frac{1}{\alpha ^{3}}+\frac{1}{\beta ^{3}}+\frac{1}{\gamma ^{3}})=\alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}$ , όπου $\alpha, \beta ,\gamma \in R^{*}$ ,

να αποδείξετε ότι οι $\alpha ,\beta ,\gamma$ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με κάποια τάξη.

Η δοθείσα γράφεται, μετά την απαλοιφή των παρονομαστών, ως

$\displaystyle{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=a^4bc+b^4ca+c^4ab.}$

Είναι τότε

$\displaystyle{(a^2-bc)(b^2-ca)(c^2-ab)=...=a^4bc+b^4ca+c^4ab-a^3b^3-b^3c^3-c^3a^3=0,}$

οπότε προκύπτει το ζητούμενο.

Αριθμητική - Γεωμετρική Πρόοδος 13

Αριθμητική - Γεωμετρική Πρόοδος 13

Re: Αριθμητική - Γεωμετρική Πρόοδος 13

Μέλη σε σύνδεση