Ερώτηση στα ακρότατα

Αγησίλαος · #1

Έστω συνεχής συνάρτηση ορισμένη στο [a,b]

. Πότε τα

δεν αποτελούν θέσεις τοπικών ακροτάτων;
Στο σχολικό βιβλίο τα άκρα διαστήματος αναφέρονται ως πιθανές θέσεις ακροτάτων, και μετά τέλος. Δεν διευκρινίζεται τίποτα περισσότερο. Σε εξωσχολικό βοήθημα βρίσκω πως αν μια συνάρτηση είναι ορισμένη στο (a,b]

και συνεχής, τότε το b δεν είναι απαραίτητα θέση τοπικού ακροτάτου. Σε άλλο βοήθημα, διαβάζω πως αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο [a,b]

, τότε και πάλι τα a,b

δεν είναι υποχρεωτικά θέσεις τοπικών ακροτάτων. Σε τρίτο βοήθημα, βλέπω πως τα άκρα κλειστού διαστήματος είναι πάντοτε θέσεις τοπικών ακροτάτων.
Ενώ για τα σημεία όπου η παράγωγος μηδενίζεται ή δεν ορίζεται γνωρίζουμε ποιά είναι τα κριτήρια ώστε αυτά να αποτελούν θέσεις ακροτάτων, για τα άκρα διαστήματος δεν αναφέρεται τίποτα, κι ακόμη και τα εξωσχολικά βοηθήματα (τουλάχιστον αυτά που έχω υπόψην) περιορίζονται στην απλή αναφορά, δίχως να παραθέτουν κάποιο παράδειγμα ή να εξηγούν περαιτέρω...

Ιστοσελίδα · #2

Η συνάρτηση $f(x)= \begin{cases} x\sin \left(\frac{1}{x}\right) & , x\in \left (0 , \frac{1}{\pi}\right] \\ 0 & , x=0 \end{cases}$ είναι συνεχής στο διάστημα $\left [0 , \frac{1}{\pi}\right] .$

Στο

η

δεν έχει τοπικό ακρότατο.

Πράγματι, σε κάθε διάστημα $(0 , \delta)$ υπάρχουν $x_1=\dfrac{1}{2n\pi +\frac{\pi}{2}}$ και $x_2=\dfrac{1}{2n\pi -\frac{\pi}{2}} , \; n$ θετικός ακέραιος, με

$f(x_1)=\dfrac{1}{2n\pi +\frac{\pi}{2}}>0=f(0)$ και $f(x_2)=-\dfrac{1}{2n\pi -\frac{\pi}{2}}<0=f(0)$

Στο $\frac{1}{\pi}$ η

έχει τοπικό μέγιστο, το

.

Αγησίλαος · #3

Υπάρχει δηλαδή κάποιος γενικός κανόνας ο οποίος καθορίζει πότε τα άκρα διαστήματος είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων (όπως συμβαίνει με τα κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης), ή θα πρέπει κάθε συνάρτηση να εξετάζεται ξεχωριστά και να εξάγονται τα ανάλογα συμπεράσματα;

Γιώργος Απόκης · #4

Μια σχετική συζήτηση εδώ

parmenides51 · #5

κι άλλες σχετικές συζητήσεις εδώ, εδώ κι εδώ καθώς και στις παραπομπές αυτών

Ερώτηση στα ακρότατα

Ερώτηση στα ακρότατα

Re: Ερώτηση στα ακρότατα

Re: Ερώτηση στα ακρότατα

Re: Ερώτηση στα ακρότατα

Re: Ερώτηση στα ακρότατα

Μέλη σε σύνδεση