Α, να και μια με πολυώνυμα...

#1

Έστω ότι τα $f(x),\phi(x)$ είναι μονικά πολυώνυμα του $\mathbb{C}[x]$ (ή και του K[x]

, όπου

τυχαίο σώμα περιέχον το $\mathbb{Q}$ ) και το $\phi(x)$ είναι ανάγωγο (στο $\mathbb{Q}[x]$ ). Αν κάθε ρίζα του f(x)

είναι και ρίζα του $\phi(x)$ , τότε ας δειχθεί ότι το f(x)

είναι δύναμη του $\phi(x)$ .

#2

Ωραίες οι ασκησούλες με τα πολυώνυμα Αναστάση

!
Ας προσπαθήσω και αυτή...

Θα δουλέψω στο $\mathbb{Q}[x]$ .(Δεν αλλάζει για το Κ)

Ισχύει ότι μκδ $(\phi(x),f(x))=1$ ή $\phi(x)$ , αφού $\phi(x)$ ανάγωγο.

Επειδή όμως τα f(x)

και $\phi(x)$ έχουν κοινές ρίζες, μκδ $(\phi(x),f(x))=\phi(x)$ .
Άρα,

$\phi(x)|f(x).$

Έστω λοιπόν $f(x)=\phi(x)\cdot\pi(x)$ , με μκδ $(\phi(x),\pi(x))=1$ ή $\phi(x)$ .
Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε

$f(x)=\phi^{m}(x)\cdot p(x)$ με μκδ $(\phi(x),p(x))=1$ .

Θα δείξω ότι το p(x)

είναι σταθερό πολυώνυμο του $\mathbb{Q}[x]$ .
Αν όχι, τότε θα έχει μια ρίζα $\alpha$ στο $\mathbb{C}.$

Τότε όμως αυτή θα είναι και ρίζα του

(λόγω της παραπάνω ανάλυσης) και λόγω της υπόθεσης θα είναι και ρίζα του $\phi.$

Αυτό όμως είναι άτοπο, αφού μκδ $(\phi(x),p(x))=1$ .

Άρα,

$f(x)=\phi^m(x)\cdot c$ , $c\in \mathbb{Q}$ .

Επειδή όμως $f(x), \phi(x)$ μονικά, έπεται ότι c=1

.

Άρα,

$f(x)=\phi^{m}(x)$ .

Πέρασε η ώρα...Ώρα για ύπνο!
Καληνύχτα,

Νικόλαος Κατσίπης

Α, να και μια με πολυώνυμα...

Α, να και μια με πολυώνυμα...

Re: Α, να και μια με πολυώνυμα...

Μέλη σε σύνδεση