Προπόνηση για το διαγωνισμό Καγκουρό

[gauss1988]

Για την Γ΄Γυμνασίου και την Α΄Λυκείου

(7) Έστω ο μικρότερος φυσικός αριθμός με την ακόλουθη ιδιότητα: Ο είναι τέλειο τετράγωνο και ο είναι τέλειος κύβος. Αν τώρα γράψουμε τον ως γινόμενο παραγόντων στην μορφή , με πόσο ισούται το άθροισμα ;

Να πω και εγώ την άποψή μου για θέμα:

, . Πρέπει και άρα . Η πιο μικρή τιμή που μπορεί να δώσουμε στον φυσικό για να είναι φυσικός και ο είναι η και τότε . Άρα οπότε .
Παρόμοια άν συνεχίσουμε, πρέπει . Άρα πρέπει και άρα
Και όμοια βρίσκουμε ότι . Άρα

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Για την Γ΄και Δ΄ Δημοτικού

1. Ένας μπακάλης βάζει τα αυγά του που πουλάει σε κουτιά των αυγών και σε κουτιά των αυγών. Αν έχει αυγά, ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός κουτιών που χρειάζεται για τα αυγά του;

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)
(ΚΑΓΚΟΥΡΟ , 2011)


2. Ο Ντίνος έχει στην τσέπη του κέρματα. Το κάθε κέρμα είναι είτε των λεπτών είτε των λεπτών. Ποιο από τα παρακάτω ποσά αποκλείεται να είναι το ποσό των λεπτών στην τσέπη του Ντίνου;

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)
(ΚΑΓΚΟΥΡΟ , 2011)


3. Η Άννα , ο Βασίλης , Ο Γιάννης , η Δήμητρα , η Ελένη και ο Ζήσης έριξαν από ένα ζάρι. Ο καθένας έφερε διαφορετικό αριθμό. Ο αριθμός της Άννας ήταν διπλάσιος του αριθμού του Βασίλη και τριπλάσιος του αριθμού του Γιάννη. Ο αριθμός της Δήμητρας ήταν τετραπλάσιος του αριθμού της Ελένης. Ποιος ήταν ο αριθμός της ζαριάς του Ζήση;

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)
(ΚΑΓΚΟΥΡΟ, 2011)


4. Στα γενέθλια του Λευτέρη τον επισκέφτηκαν φίλοι του. Κάποιοι από αυτούς του χάρισαν από βιβλία ενώ οι υπόλοιποι του χάρισαν από βιβλίο. Στο τέλος ο Λευτέρης μέτρησε ότι οι φίλοι τού χάρισαν βιβλία συνολικά. Πόσοι από αυτούς του χάρισαν από ένα βιβλίο;

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)
(ΚΑΓΚΟΥΡΟ, 2011)


5. Σε ένα πάρτι υπήρχαν δύο τούρτες. Κάθε μία από τις δύο τούρτες κόπηκε σε κομμάτια και μετά το κάθε κομμάτι κόπηκε στα τρία. Το κάθε παιδί πήρε από το ένα κομμάτι τούρτας αλλά στο τέλος περίσσεψαν τρία κομμάτια. Πόσα ήταν τα παιδιά στο πάρτι;

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)
(ΚΑΓΚΟΥΡΟ, 2011)


6. Τέσσερις φίλες, η Καίτη , η Λίτσα, η Μαίρη και η Ντίνα έκατσαν σε ένα παγκάκι, ως εξής:

ΚΑΙΤΗ , ΛΙΤΣΑ , ΜΑΙΡΗ , ΝΤΙΝΑ

Αμέσως μετά η ΝΤΙΝΑ και η ΜΑΙΡΗ, αντάλλαξαν θέσεις. Κατόπιν η ΜΑΙΡΗ και η ΚΑΙΤΗ αντάλλαξαν θέσεις. Με ποια σειρά από αριστερά προς τα δεξιά καθόντουσαν στο τέλος;

Α) ΚΑΙΤΗ, ΛΙΤΣΑ , ΜΑΙΡΗ , ΝΤΙΝΑ
Β) ΚΑΙΤΗ , ΜΑΙΡΗ , ΝΤΙΝΑ , ΛΙΤΣΑ
Γ) ΜΑΙΡΗ , ΛΙΤΣΑ , ΝΤΙΝΑ , ΚΑΙΤΗ
Δ) ΛΙΤΣΑ , ΚΑΙΤΗ , ΜΑΙΡΗ , ΝΤΙΝΑ
Ε) ΝΤΙΝΑ , ΚΑΙΤΗ , ΛΙΤΣΑ , ΜΑΙΡΗ

(ΚΑΓΚΟΥΡΟ ,2011)


7. Σε μια τάξη τα παιδιά έχουν στα σπίτια τους όλα μαζί γάτες και σκύλους. Πέντε από τα παιδιά έχουν από έναν σκύλο και ένα χρυσόψαρο. Τρία άλλα παιδιά έχουν από μία γάτα και έναν σκύλο. Τα υπόλοιπα έχουν από ένα ζωάκι το καθένα. Πόσα είναι τα παιδιά της τάξης;

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)
(ΚΑΓΚΟΥΡΟ, 2011)

[gauss1988]

(4) Δύο σχολεία παίρνουν μέρος στο ενδοσχολικό πρωτάθλημα πινγκ - πονγκ. Κάθε σχολείο έχει από αθλητές. Σε κάθε ματς παίζουν δύο αθλητές του ενός σχολείου εναντίον δύο αθλητών του άλλου σχολείου, και αυτό γίνεται με όλους τους δυνατούς τρόπους. Κάθε ζευγάρι από το ένα σχολείο αντιμετωπίζει κάθε ζευγάρι του άλλου σχολείου ακριβώς μία φορά. Σε πόσα ματς θα παίξει ο κάθε μαθητής;

Α) σε , Β) σε , Γ) σε , Δ) σε , Ε) σε

(ΚΑΓΚΟΥΡΟ , 2007)

Όλα τα ζεύγη μαθητών του πρώτου σχολείου είναι AB , ΑΓ , ΑΔ , ΑΕ , ΒΓ , ΒΔ , ΒΕ , ΓΔ , ΓΕ , ΔΕ ενώ του δεύτερου σχολείου είναι:
αβ , αγ , αδ , αε , βγ, βδ, βε , γδ , γε , δε.
Έτσι για παράδειγμα ο μαθητής Α του πρώτου σχολείου θα συμμετέχει στους εξής αγώνες:
(ΑΒ,αβ) , (ΑΒ,αγ) , (ΑΒ,αδ) , (ΑΒ,αε) , (ΑΓ,αβ) , (ΑΓ,αγ) , (ΑΓ,αδ) , (ΑΓ,αε), και λοιπά, δηλαδή τα τέσσερα ζευγάρια ΑΒ,ΑΓ,ΑΔ,ΑΕ στα οποία συμμετέχει ο Α θα αντιμετωπίσουν τα δέκα ζευγάρια του δεύτερου σχολείου. Συνεπώς ο Α θα συμμετέχει σε αγώνες (αν κατάλαβα καλά την εκφώνηση του προβλήματος)

[Ch.Chortis]

Για την Γ΄Γυμνασίου και την Α΄Λυκείου
(ΚΑΓΚΟΥΡΟ, 2007)
(9) Ένας αριθμός έχει ψηφία. Τα τελευταία ψηφία του είναι τα . Πόσο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσής του διά ;
Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)

Σωστή απάντηση η Δ.Αφού το είναι ζυγός αριθμός διαιρεί τέλεια μόνο ζυγούς αριθμούς.Άρα κανένας περιττός αριθμός δεν είναι πολλαπλάσιο του .Αφού ο αριθμός των ψηφίων είναι μονός (τελειώνει σε ) τότε απορρίπτονται οι απαντήσεις Α,Γ,Ε γιατί θα έπρεπε ο αριθμός του οποίου το είναι διαιρέτης,να τελειώνει είτε σε είτε σε είτε σε πράγμα άτοπο.Παρατηρούμε τώρα οτι και πράγμα που σημαίνει οτι στην επόμενη στάδα αριθμών θα είναι: και ενώ στη μεθεπόμενη και .Αυτό σημαίνει οτι ανα άδα τα δύο τελευταία ψηφία των αριθμών που είναι πολλαπλάσια του επαναλαμβάνονται (στη συγκεκριμένη περίπτωση, τα ).Αφού η διαίρεση δια δίνει υπόλοιπο ή σύμφωνα με τις προϋποθέσεις της άσκησης,αναγκαστικά σωστή, απάντηση η Δ (για να είχε υπόλοιπο θα έπρεπε το δύο τελευταία ψηφία του ψήφιου αριθμού που είναι πολλαπλάσιο του να είναι το ,άτοπο).Ευχαριστώ το Δημήτρη για τις παρατηρήσεις του σχετικά με το module!

[Mihalis_Lambrou]

Σωστή απάντηση η Δ.Αφού το είναι ζυγός αριθμός διαιρεί τέλεια μόνο ζυγούς αριθμούς.Άρα κανένας περιττός αριθμός δεν είναι πολλαπλάσιο του .Αφού ο αριθμός των ψηφίων είναι μονός (τελειώνει σε ) τότε απορρίπτονται οι απαντήσεις Α,Γ,Ε γιατί θα έπρεπε ο αριθμός του οποίου το είναι διαιρέτης,να τελειώνει είτε σε είτε σε είτε σε πράγμα άτοπο.Παρατηρούμε τώρα οτι και πράγμα που σημαίνει οτι στην επόμενη στάδα αριθμών θα είναι: και ενώ στη μεθεπόμενη και .Αυτό σημαίνει οτι ανα άδα τα δύο τελευταία ψηφία των αριθμών που είναι πολλαπλάσια του επαναλαμβάνονται (στη συγκεκριμένη περίπτωση, τα ).Αφού η διαίρεση δια δίνει υπόλοιπο ή σύμφωνα με τις προϋποθέσεις της άσκησης,αναγκαστικά σωστή, απάντηση η Δ (για να είχε υπόλοιπο θα έπρεπε το δύο τελευταία ψηφία του ψήφιου αριθμού που είναι πολλαπλάσιο του να είναι το ,άτοπο).ΣΗΜΕΙΩΣΗ:Για όσους δεν το ξέρουν mod σημαίνει πολλαπλάσιο.

Σωστά. Ένας ευκολότερος τρόπος να σκεφτείς είναι να πείς ότι ένας αριθμός της μορφής είναι πολλαπλάσιο του . Ο δοθείς είναι , οπότε εξετάζουμε μόνο τον . Και λοιπά.

Μ.

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Για την Α και Β Γυμνασίου:

Ένα αυτοκίνητο ταξίδεψε χιλιόμετρα σε ώρες. Κατά την διάρκεια του ταξιδιού, ο οδηγός άλλαζε τα λάστιχα με την ρεζέρβα για να φθαρούν όλα ομοιόμορφα. Η διαδικασία αλλαγής των ελαστικών, του πήρε συνολικά μία ώρα. Πόσα χιλιόμετρα έκανε με κάθε λάστιχο;

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Σωστή απάντηση η Δ.Αφού το είναι ζυγός αριθμός διαιρεί τέλεια μόνο ζυγούς αριθμούς.Άρα κανένας περιττός αριθμός δεν είναι πολλαπλάσιο του .Αφού ο αριθμός των ψηφίων είναι μονός (τελειώνει σε ) τότε απορρίπτονται οι απαντήσεις Α,Γ,Ε γιατί θα έπρεπε ο αριθμός του οποίου το είναι διαιρέτης,να τελειώνει είτε σε είτε σε είτε σε πράγμα άτοπο.Παρατηρούμε τώρα οτι και πράγμα που σημαίνει οτι στην επόμενη στάδα αριθμών θα είναι: και ενώ στη μεθεπόμενη και .Αυτό σημαίνει οτι ανα άδα τα δύο τελευταία ψηφία των αριθμών που είναι πολλαπλάσια του επαναλαμβάνονται (στη συγκεκριμένη περίπτωση, τα ).Αφού η διαίρεση δια δίνει υπόλοιπο ή σύμφωνα με τις προϋποθέσεις της άσκησης,αναγκαστικά σωστή, απάντηση η Δ (για να είχε υπόλοιπο θα έπρεπε το δύο τελευταία ψηφία του ψήφιου αριθμού που είναι πολλαπλάσιο του να είναι το ,άτοπο).ΣΗΜΕΙΩΣΗ:Για όσους δεν το ξέρουν mod σημαίνει πολλαπλάσιο.

Σωστά. Ένας ευκολότερος τρόπος να σκεφτείς είναι να πείς ότι ένας αριθμός της μορφής είναι πολλαπλάσιο του . Ο δοθείς είναι , οπότε εξετάζουμε μόνο τον . Και λοιπά.

Μ.

Μιχάλη καλησπέρα. Καλή δύναμη για τον επερχόμενο διαγωνισμό "ΚΑΓΚΟΥΡΟ" . Επειδή η άσκηση αυτή θεωρώ ότι πρέπει να μελετηθεί από όλους τους μαθητές μας, δίνω και εγώ μια αναλυτική λύση κάνοντας χρήση την υπόδειξη που έδωσες.
΄
Οποισδήποτε και να είναι ο εκατονταψήφιος αριθμός, αφού λήγει σε θα γράφεται ως εξής:

, όπου ο ένας αριθμός με ψηφία. Έχουμε λοιπόν:

. Άρα

. Η ισότητα αυτή είναι Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον , διαιρέτη το , πηλίκο το και υπόλοιπο που είναι και αυτό που ζητάμε.

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Για την Ε και ΣΤ Δημοτικού

1). Πως μπορούμε να σχηματίσουμε τον αριθμό χρησιμοποιόντας πεντάρια και μόνο την πράξη της πρόσθεσης;

2). τυρόπιτες και πορτοκαλάδες αξίζουν ευρώ ενώ τυρόπιτες και πορτοκαλάδες αξίζουν ευρώ. Ο Αλέξανδρος αγόρασε πορτοκαλάδες. Πόσα χρήματα πλήρωσε;

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Για την Γ Γυμνασίου και Α Λυκείου

Αν για τους πραγματικούς αριθμούς ισχύει ότι , τότε υποχρεωτικά θα είναι

[freyia]

Για την Ε και ΣΤ Δημοτικού

1). Πως μπορούμε να σχηματίσουμε τον αριθμό χρησιμοποιόντας πεντάρια και μόνο την πράξη της πρόσθεσης;

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Για την Γ και Δ Δημοτικού

1. Σε ένα δέντρο υπάρχουν πράσινα πουλιά και κίτρινα. Κάθε μία ώρα έρχονται στο δέντρο ακόμη πράσινα πουλιά και ακόμη κίτρινα. Σε πόσες ώρες τα πράσινα πουλιά θα είναι όσα και τα κίτρινα πουλιά στο δέντρο;

Α) Σε ώρες , Β) Σε ώρες , Γ) Σε ώρες , Δ) Σε ώρες , Ε) Σε ώρες

(ΚΑΓΚΟΥΡΟ, 2009)


2. Ένα παιδί έγραψε στον πίνακα τους αριθμούς και . Η δασκάλα του ζήτησε να προσθέσει όλους αυτούς τους αριθμούς. Όμως το παιδί έκανε λάθος και ξέχασε να προσθέσει έναν από τους αριθμούς αυτούς. Αν η απάντηση που βρήκε ήταν , ποιον από τους αριθμούς ξέχασε;.

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)

(ΚΑΓΚΟΥΡΟ , 2009)


3. Τρία σκιουράκια, ο Ραμ , ο Σαμ και ο Ταμ , έχουν μαζί καρύδια και το καθένα έχει τουλαχιστον ένα καρύδι. Το κάθε σκιουράκι έχει διαφορετικό αριθμό καρύδια από ότι έχει οποιοδήποτε από τα άλλα σκιουράκια. Ο Ραμ έχει τα λιγότερα καρύδια και ο Ταμ τα περισσότερα. Πόσα έχει ο Σαμ;

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε) Δεν μπορούμε να ξέρουμε.

(ΚΑΓΚΟΥΡΟ , 2009)


4. Σε ένα πάρκο υπάρχουν δέκα γάτες και μερικά περιστέρια. Δεν υπάρχουν άλλα ζώα στο πάρκο. Αν τα πόδια όλων μαζί των περιστεριών είναι όσα τα πόδια όλων μαζί των γάτων, πόσα είναι όλα τα ζώα, γάτες και περιστέρια;

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)

(ΚΑΓΚΟΥΡΟ , 2009)

5. Η Μαρία κάθε χρόνο φυτεύει μερικά δέντρα. Κάθε χρόνο τα δέντρα που φυτεύει είναι όσα φύτεψε τα δύο προηγούμενα χρόνια. Το φύτεψε δέντρα και το φύτεψε . Πόσα δέντρα φύτεψε το ;

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)

(ΚΑΓΚΟΥΡΟ ,2009)


6. Η Νίκη έγραψε στον πίνακα τους αριθμούς , , και . Με δύο από αυτούς τους τέσσερις αριθμούς έγραψε ένα διψήφιο αριθμό και με τους άλλους δύο ένα δεύτερο διψήφιο αριθμό. Μετά πρόσθεσε τους δύο διψήφιους. Ποιο είναι το μεγαλύτερο δυνατό άθροισμα που μπορεί να βρεί;

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε) Κανένας από τους προηγούμενους.


7. Ένα καράβι ξεκίνησε για το ταξίδι του το Σάββατο το απόγευμα και έφτασε στον προορισμό του την επόμενη μέρα στις το απόγευμα. Στις το πρωί της Κυριακής ήταν στη μέση του ταξιδιού του. Τι ώρα ξεκίνησε το ταξίδι;

Α) Στις το απόγευμα , Β) Στις το απόγευμα , Γ) Στις το απόγευμα , Δ) Στις το απόγευμα
Ε) Δεν μπορούμε να ξέρουμε.

(ΚΑΓΚΟΥΡΟ , 2009)

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Για την Α και Β Γυμνασίου


1. Σε ένα πάρτυ υπήρχαν αγόρια και κορίτσια. Το κάθε αγόρι χόρεψε μόνο με μερικά κορίτσια και το κάθε κορίτσι χόρεψε μόνο με μερικά αγόρια. Όταν τα αγόρια ρωτήθηκαν με πόσα από τα κορίτσια χόρεψαν, έδωσαν τις απαντήσεις και . Μετά ρωτήθηκαν τα κορίτσια με πόσα αγόρια χόρεψαν. Τα τρία από τα κορίτσια απάντησαν και . Τι απάντησε το τέταρτο κορίτσι;

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)

(ΚΑΓΚΟΥΡΟ, 2009)


2. Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του δια ;

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)

(ΚΑΓΚΟΥΡΟ , 2009)


3. Σε ένα κήπο υπάρχουν γάτες και σκύλοι. Όλες μαζί οι γάτες έχουν διπλάσιο αριθμό από πόδια από όσες μύτες έχουν όλοι μαζί οι σκύλοι. Τότε το πλήθος των γάτων είναι:

Α) Διπλάσιο από το πλήθος των σκύλων , Β) Ίσο με το πλήθος των σκύλων , Γ} Το μισό του πλήθους των σκύλων
Δ) Το ένα τέταρτο του πλήθους των σκύλων, Ε) Τέσσερις φορές το πλήθος των σκύλων

(ΚΑΓΚΟΥΡΟ , 2009)


4. Δίνεται τρίγωνο και πάνω στην πλευρά θεωρούμε ένα σημείο ώστε η γωνία να είναι ίση με . Αν επί πλέον είναι , πόσες μοίρες είναι η γωνία ;

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)

(ΚΑΓΚΟΥΡΟ, 2009)


5. Λόγω περιορισμού στο βάρος, σε ένα ασανσέρ επιτρέπεται να μπούν είτε το μέγιστο ενήλικες είτε το μέγιστο παιδιά. Εννοείται ότι επιτρέπεται να μπουν και ανάμικτοι, ενήλικες και παιδιά. Αν μπήκαν στο ασανσέρ ενήλικες, ποιος είναι ο πιο μεγάλος αριθμός παιδιών που επιτρέπεται να μπεί; (Για λόγους πρακτικούς, θεωρούμε ότι όλοι οι ενήλικες ζυγίζουν το ίδιο μεταξύ τους, όλα τα παιδιά ζυγίζουν το ίδιο μεταξύ τους και ότι ενήλικες ζυγίζουν όσο παιδιά.

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)

(ΚΑΓΚΟΥΡΟ, 2009)


6. Ο Νίκος ζωγράφισε ένα οξυγώνιο και ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο. Οι από τις γωνίες των δύο τριγώνων ήσαν
και . Πόσων μοιρών είναι η μικρότερη γωνία του οξυγωνίου τριγώνου;

Α) ,Β) , Γ) , Δ) , Ε) Δεν μπορούμε να ξέρουμε.

(ΚΑΓΚΟΥΡΟ , 2009)

[freyia]

Για την Α και Β Γυμνασίου


1. Σε ένα πάρτυ υπήρχαν αγόρια και κορίτσια. Το κάθε αγόρι χόρεψε μόνο με μερικά κορίτσια και το κάθε κορίτσι χόρεψε μόνο με μερικά αγόρια. Όταν τα αγόρια ρωτήθηκαν με πόσα από τα κορίτσια χόρεψαν, έδωσαν τις απαντήσεις και . Μετά ρωτήθηκαν τα κορίτσια με πόσα αγόρια χόρεψαν. Τα τρία από τα κορίτσια απάντησαν και . Τι απάντησε το τέταρτο κορίτσι;

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)

(ΚΑΓΚΟΥΡΟ, 2009)

ΛΥΣΗ

Όλοι οι χοροί ήταν . Τα τρία κορίτσια χόρεψαν σε χορούς. Έπομένως το τέταρτο κορίτσι πρέπει να χόρεψε σε δύο χορούς, δηλαδή με αγόρια.

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Για την Γ΄Γυμνασίου και την Α΄Λυκείου

1. Στο πρώτο διαγώνισμα Μαθηματικών ο Νίκος απάντησε μόνο μια ερώτηση από τις . Στα υπόλοιπα διαγωνίσματα απάντησε και στις ερωτήσεις. Στο τέλος υπολόγισε ότι κατά μέσο όρο στα διαγωνίσματα είχε απαντήσει σε ερωτήσεις από τις . Πόσα ήταν όλα τα διαγωνίσματα;

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)


2. Έχουμε τους αριθμούς και . Ο Γιάννης πήρε απο αυτούς τους αριθμούς και τους μοίρασε σε ομάδες έτσι ώστε το άθροισμα των αριθμών στη μία ομάδα να ισούται με το άθροισμα των αριθμών στην άλλη ομάδα. Ποιος αριθμός είναι ο έβδομος, που δεν χρησιμοποίησε ο Γιάννης;

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)


3. Οι νάνοι γεννήθηκαν στις Μαρτίου , σε συνεχόμενες χρονιές. Οι τρεις πιο νέοι, έχουν άθροισμα ηλικίας . Πόσο είναι το άθροισμα των ηλικιών των τριών πιο μεγάλων;

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)


4. Έστω και . Τότε

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)


5. Έχουμε έναν αριθμό με ψηφία της μορφής (συνεχής επανάληψη του ).
Ποιος είναι ο πιο μεγάλος αριθμός από ψηφία που πρέπει να σβήσουμε ώστε το άθροισμα των υπολοίπων να είναι ;

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)

6. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με βάση και πάνω στην πλευρά παίρνουμε ένα σημείο έτσι ώστε η γωνία να είναι . Αν η γωνία είναι ίση με , πόση είναι η γωνία ;

A) , B) , Γ) , Δ) , Ε)


7. Αν το άθροισμα, το γινόμενο και το πηλίκο δύο μη μηδενικών αριθμών είναι όλα ίσα μεταξύ τους, πόσο είναι το άθροισμά τους;

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε) Δεν υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί.


8. Έχουμε ένα πενταψήφιο φυσικό αριθμό που όλα τα ψηφία του είναι μη μηδενικά. Κάθε ψηφίο του αρχίζοντας από το τρίτο (η μέτρηση γίνεται από αριστερά προς τα δεξιά) είναι το άθροισμα των δύο προηγουμένων. Πόσοι τέτοιοι πενταψήφιοι φυσικοί αριθμοί υπάρχουν;

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)


9. Αν φυσικός αριθμός, συμβολίζουμε με ! το γινόμενο των αριθμών . Π.χ αν τότε !=. Αν για κάποιον είναι !=, ποιος είναι ο ;

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)


10. Πόσοι θετικοί ακέραιοι υπάρχουν για τους οποίους μπορούμε να βρούμε θετικό ακέραιο με ;

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)

[Ch.Chortis]

Για την Γ΄Γυμνασίου και την Α΄Λυκείου
1. Στο πρώτο διαγώνισμα Μαθηματικών ο Νίκος απάντησε μόνο μια ερώτηση από τις . Στα υπόλοιπα διαγωνίσματα απάντησε και στις ερωτήσεις. Στο τέλος υπολόγισε ότι κατά μέσο όρο στα διαγωνίσματα είχε απαντήσει σε ερωτήσεις από τις . Πόσα ήταν όλα τα διαγωνίσματα;
Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)

2. Έχουμε τους αριθμούς και . Ο Γιάννης πήρε απο αυτούς τους αριθμούς και τους μοίρασε σε ομάδες έτσι ώστε το άθροισμα των αριθμών στη μία ομάδα να ισούται με το άθροισμα των αριθμών στην άλλη ομάδα. Ποιος αριθμός είναι ο έβδομος, που δεν χρησιμοποίησε ο Γιάννης;

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)

4. Έστω και . Τότε

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)

Άσκηση 2 Παρατηρούμε ότι όλοι οι αρίθμοι πλην του είναι περιττοί.Δηλαδή αν διώξουμε έναν περιττό από τους αριθμούς ένα από τα δύο αθροίσματα αναγκαστικά θα περιέχει τον .Για να είναι τότε τα δύο αθροίσματα ίσα θα πρέπει και τα δύο άθροισμα να αποτελούνται από ζυγό ή μονό πλήθος περιττών αριθμών(δηλαδή αν το ένα άθροισμα έχει περιττούς το άλλο θα πρέπει να έχει ,αν έχει και το άλλο θα πρέπει να έχει ).Άτοπο.Σωστή απάντηση η Δ. Άσκηση 1.Έστω τα διαγωνίσματα τότε θα ισχύει: .Συνεπώς χρειάζεται άλλα τρία διαγωνίσματα να γράψει άρα συνολικά: .Άρα το Γ.Άσκηση 4 Πολλαπλασιάζοντας τις δύο σχέσεις έχουμε: .Άρα το Α. Έγινε διόρθωση σε τυπογραφικό λάθος που μου επισήμανε ο κ.Δημήτρης τον οποίο και ευχαριστώ.

[freyia]

Για την Α και Β Γυμνασίου

2. Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του δια ;

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)

(ΚΑΓΚΟΥΡΟ , 2009)

ΛΥΣΗ

, φυσικοί αριθμοί.
Επομένως το υπόλοιπο είναι

[gauss1988]

Για την Γ Γυμνασίου και Α Λυκείου

Αν για τους πραγματικούς αριθμούς ισχύει ότι , τότε υποχρεωτικά θα είναι

Άρα είναι . Αν ήταν θα ήταν και , και κατά συνέπεια δεν θα ήταν .
Από όλα τα παραπάνω, προκύπτει το συμπέρασμα ότι θα πρέπει

[freyia]

Για την Α και Β Γυμνασίου

3. Σε ένα κήπο υπάρχουν γάτες και σκύλοι. Όλες μαζί οι γάτες έχουν διπλάσιο αριθμό από πόδια από όσες μύτες έχουν όλοι μαζί οι σκύλοι. Τότε το πλήθος των γάτων είναι:

Α) Διπλάσιο από το πλήθος των σκύλων , Β) Ίσο με το πλήθος των σκύλων , Γ} Το μισό του πλήθους των σκύλων
Δ) Το ένα τέταρτο του πλήθους των σκύλων, Ε) Τέσσερις φορές το πλήθος των σκύλων

(ΚΑΓΚΟΥΡΟ , 2009)

ΛΥΣΗ

Αμα είναι τα γατάκια, τα πόδια τους είναι . Άμα είναι οι σκύλοι, οι μύτες τους είναι πάλι . Επειδή τα πόδια των γατιών είναι διπλάσια από τις μύτες των σκυλιών, ισχύει: και επομένως . Δηλαδή τα σκυλάκια είναι διπλάσια από τα γατάκια.

[Ch.Chortis]

Για την Γ΄Γυμνασίου και την Α΄Λυκείου
3. Οι νάνοι γεννήθηκαν στις Μαρτίου , σε συνεχόμενες χρονιές. Οι τρεις πιο νέοι, έχουν άθροισμα ηλικίας . Πόσο είναι το άθροισμα των ηλικιών των τριών πιο μεγάλων;
Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)
5. Έχουμε έναν αριθμό με ψηφία της μορφής (συνεχής επανάληψη του ).
Ποιος είναι ο πιο μεγάλος αριθμός από ψηφία που πρέπει να σβήσουμε ώστε το άθροισμα των υπολοίπων να είναι ;
Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)

Άσκηση 3Αφού γεννήθηκαν συνεχόμενες χρονιές και είναι οι νάνοι δεν μπορεί να γεννήθηκαν τον ίδιο χρόνο. Έστω η ηλικία του πιο μικρού τότε θα ισχύει: .Άρα η ηλικία των τριών πιο μεγάλων θα είναι: .Άρα το Β. Άσκηση 5Παρατηρούμε δύο πράγματα:οτι ο έχει ψηφία και οτι το άθροισμα των ψηφίων είναι ίσο με .Άρα το άθροισμα όλων των ψηφίων του αριθμού είναι: .Αφού σε κάθε ψηφία του του τεράστιου αυτού αριθμού υπάρχουν δύο τότε σε όλα του τα ψηφία υπάρχουν .Μπορούμε να αφαιρέσουμε όλα αυτά τα μηδενικά και το άθροισμα θα παραμείνει το ίδιο.Παραμένουν 250 και άλλα τόσα .Βρίσκουμε τώρα ότι .Κάνοντας διαίρεση με το δύο έχουμε: (έχουμε τόσα διάρια διαθέσιμα).Άρα ο μέγιστος αριθμός είναι και σωστή απάντηση η Γ.

[freyia]

Για την Γ΄Γυμνασίου και την Α΄Λυκείου

7. Αν το άθροισμα, το γινόμενο και το πηλίκο δύο μη μηδενικών αριθμών είναι όλα ίσα μεταξύ τους, πόσο είναι το άθροισμά τους;

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε) Δεν υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί.

ΛΥΣΗ

Θα ονομάσουμε και τους δύο αριθμούς και θα έχουμε . Από και επειδή το είναι διαφορετικό από το μηδέν, απλοποιόωτας το και με χιαστί ύστερα έχουμε επομένως το είναι ΄ 'η . Άμα όμως το είναι τότε από έχουμε δηλαδή ΑΤΟΠΟ. Επομένως είναι υποχρεωτικά και από βρίσκουμε δηλαδή .
Επομένως