Λίγο απ' όλα

erxmer · #1

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=ln(\frac{x-1}{x+1})^2$ .

1) Nα βρεθεί το πεδίο ορισμού της και να δειχθεί οτι είναι περιττή.

2) Να μελετηθεί η μεταβολή της και να δειχθεί οτι $f(x)=f(\frac{1}{x}), x \neq 0$ .

3) Δίνεται η συνάρτηση g(x)=2[(x-1)ln|x-1|+(x+1)ln|x+1|]

.

A) Nα δείξετε οτι g'=f

.

B) Nα υπολογιστεί το $E(\lambda )=\int_{0}^{\lambda }{f(x)dx}, \lambda \in (-1,0]$ .

dennys · #2

1) Το πεδίο ορισμού της είναι το διάστημα $Df=(_\infty,-1)U(-1,+1)U(+,+\infty)=R-{\pm 1}$

και είναι $f(-x)+f(x)=ln[\frac{x+1}{x-1}]^2+ln[\frac{x-1}{x+1}]^2=ln1=0 \Rightarrow f(-x)=-f(x)$ , άρα για την f(x)

έχουμε :

έχει πεδίο ορισμού συμμετρικό ως πρός το Ο(0,0) και f(-x)=-f(x)

άρα είναι περιττή.

2)Θ α μελετήσουμε την μεταβολή της στο διάστημα $[0,+1)U(+1,+\infty)$ γιατί ως περιττή ,σε συμμετρικά διαστήματα

διατηρεί την μονοτονία αλλά οχι τα ακρότατα.Eτσι έχουμε

$f{'}(x)=.....=\frac{x+1}{x-1}{\frac{4}{(x+1)^2}\Rightarrow f(x)\searrow if x\in [0,1), f(x) \nearrow if x\in (+1,+\infty)$ και

αντίστοιχα είναι $f(x) \nearrow if x\in (-\infty,-1), f(x) \searrow if x\in (-1,0]$

$f(\frac{1}{x})=ln[\frac{1/x-1}{1/x+1}]^2=ln[\frac{1-x}{1+x}]^2=f(x)$

3)Εδω πρέπει να είναι με μείον ο τύπος και έτσι έχουμε : $g{'}(x)=2ln|x-1|+(x-1)\frac{2}{x-1}-2ln|x+1|-(x+1)\frac{2}{x+1}=$

ln|x-1|^2-ln|x+1|^2=f(x)

4)Το εμβαδόν για την συνάρτηση είναι $E=\int_0^{l}f(t)dt=-\int_{l}^{0}g{'}(t)dt=-[g(t)]_l^0=2(l-1)ln|l-1|+2(l+1)ln|l+1|$

και με όρια αν $l\rightarrow -1$ έχουμε E=4ln2

Φιλικά

chrislg · #3

dennys έγραψε: 4)Το εμβαδόν για την συνάρτηση είναι $E=\int_0^{l}f(t)dt=-\int_{l}^{0}g{'}(t)dt=-[g(t)]_l^0=2(l-1)ln|l-1|+2(l+1)ln|l+1|$
και με όρια αν $l\rightarrow -1$ έχουμε
Φιλικά

γιατί παίρνετε σε αυτό το σημείο όρια στο -1 ;

Λίγο απ' όλα

Λίγο απ' όλα

Re: Λίγο απ' όλα

Re: Λίγο απ' όλα

Μέλη σε σύνδεση