συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Γιώργος Απόκης · #221

parmenides51 έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 68 Με άρωμα μιγαδικών
Δίνονται οι κύκλοι $\left( {{C_1}} \right):\,{x^2} + {y^2} - 2lx + {l^2} - 9 = 0$ , $\left( {{C_2}} \right):\,{x^2} + {y^2} - 2ly + {l^2} - 25 = 0$ .
i. Να μελετήσετε την σχετική θέση των δυο παραπάνω κύκλων καθώς το $\displaystyle{l}$ κινείται στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ (*)
και σε κάθε μια περίπτωση να βρείτε την ελάχιστη και μέγιστη απόσταση των σημείων $M \in \left( {{C_1}} \right)$ και $N \in \left( {{C_2}} \right)$ .
ii. Για $\displaystyle{l=2}$ να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων $\displaystyle{K (x,y)}$ του επιπέδου για τα οποία ισχύει πως
${x^2} + {y^2} - 2l x + {l^2} - 9 < 0 < {x^2} + {y^2} - 2ly + {l^2} - 25$
iii. Δυο κύκλοι λέγονται ορθογώνιοι όταν τέμνονται και στα σημεία τομής τους οι εφαπτόμενες τους είναι κάθετες,
όταν δηλαδή τα σημεία τομής τους βλέπουν υπό ορθή γωνία την διάκεντρο τους.
Για ποια τιμή του $\displaystyle{l}$ οι παραπάνω κύκλοι είναι ορθογώνιοι;

i. Οι εξισώσεις γίνονται C_1: (x-l)^2+y^2=9,~~C_2: x^2+(y-l)^2=25

άρα έχουμε τους κύκλους K_1(l,0),~r_1=3

και

.

H διάκεντρος έχει μήκος $(K_1K_2)=\sqrt{l^2+l^2}=|l|\sqrt{2}$ . Aς ονομάσουμε D,d

τη μέγιστη και ελάχιστη απόσταση αντίστοιχα των M,N

. Έχουμε :

$\bullet$ Αν $(K_1K_2)>r_1+r_2\Leftrightarrow |l|\sqrt{2}>8\Leftrightarrow |l|>4\sqrt{2}\Leftrightarrow l\in(-\infty,4\sqrt{2})\cup (4\sqrt{2},+\infty)$ τότε ο κάθε κύκλος είναι εξωτερικός του άλλου

και $d=(K_1K_2)-r_1-r_2=|l|\sqrt{2}-8,~D=(K_1K_2)+r_1+r_2=|l|\sqrt{2}+8$ .

$\bullet$ Αν $(K_1K_2)=r_1+r_2\Leftrightarrow |l|\sqrt{2}=8\Leftrightarrow |l|=4\sqrt{2}\Leftrightarrow l=\pm4\sqrt{2}$ τότε ο oι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά

και d=0,~D=2(r_1+r_2)=16

.

$\bullet$ Αν $\displaystyle{|r_1-r_2|<(K_1K_2)<r_1+r_2\Leftrightarrow 2<|l|\sqrt{2}<8\Leftrightarrow \sqrt{2}<|l|<4\sqrt{2}\Leftrightarrow l\in(-4\sqrt{2},\sqrt{2})\cup (\sqrt{2},4\sqrt{2})}$ τότε οι κύκλοι τέμνονται

και $d=0,~D=(K_1K_2)+r_1+r_2=|l|\sqrt{2}+8$ .

$\bullet$ Αν $(K_1K_2)=|r_1-r_2|\Leftrightarrow |l|\sqrt{2}=2\Leftrightarrow |l|=\sqrt{2}\Leftrightarrow l=\pm\sqrt{2}$ τότε οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά

και $d=0,~D=\color{blue}2r_2=10$ .

$\bullet$ Αν $(K_1K_2)<|r_1-r_2|\Leftrightarrow |l|\sqrt{2}<2\Leftrightarrow |l|<\sqrt{2}\Leftrightarrow l\in(-\sqrt{2},\sqrt{2})$ τότε ο C_1

είναι εσωτερικά του C_2

και $d=|r_1-r_2|-(K_1K_2)=2-|l|\sqrt{2},~D=(K_1K_2)+r_1+r_2=|l|\sqrt{2}+8$ .

ii. H σχέση ισοδύναμα γράφεται : $\displaystyle{\begin{cases} (x-2)^2+y^2<9 \\ x^2+(y-2)^2>25 \end{cases}}$ άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι τα σημεία στο εσωτερικό του κύκλου C_1

που είναι εξωτερικά του C_2

.

Αφού $2\in(-4\sqrt{2},\sqrt{2})\cup (\sqrt{2},4\sqrt{2})$ , oι κύκλοι τέμνονται, έστω στα σημεία P,Q

. Eπομένως, ο γεωμετρικός τόπος είναι ο μηνίσκος που ορίζεται

από τα τόξα με κέντρα K_1,K_2

και τα σημεία $\displaystyle{P\left(\frac{6-\sqrt{14}}{2},\frac{-2-\sqrt{14}}{2}\right),Q\left(\frac{6+\sqrt{14}}{2},\frac{-2+\sqrt{14}}{2}\right)}$ χωρίς τα σημεία των τόξων.

iii) Αφού η διάκεντρος φαίνεται υπό ορθή γωνία από τα σημεία τομής, αν

είναι το ένα από αυτά, από το Πυθαγόρειο στο AK_1K_2

έχουμε:

$\displaystyle{(K_1K_2)^2=(K_1A)^2+(AK_2)^2\Leftrightarrow (|l|\sqrt{2})^2=9+25\Leftrightarrow 2l^2=34\Leftrightarrow l=\pm \sqrt{17}\in(-4\sqrt{2},\sqrt{2})\cup (\sqrt{2},4\sqrt{2})}$ .

Edit: Διόρθωσα την απόσταση

στην 4η περίπτωση. Ευχαριστώ parmenides.

Γιώργος Απόκης · #222

Μένουν

(από τον κύκλο) και

...

STOPJOHN · #223

Λύση της άσκησης 71
α. Το σημείο

είναι το μέσο του τμήματος

άρα θα είναι $K(\frac{2x_{0}+p}{4},\frac{y_{0}}{2}),d(K,y'y)=\left|\frac{2x_{0}+p}{4} \right|=\frac{2x_{0}+p}{4},p>0,x>0$
β. $(AE)=\sqrt{(x_{0}-\frac{p}{2})^{2}+y_{0}^{2}}=\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{p^{2}}{4}-px_{0}+2px_{0}}=\frac{p}{2}+x_{0}$
γ. Η ακτίνα του κύκλου είναι $r=\frac{AE}{2}=\frac{p}{4}+\frac{x}{2}=d(K,y'y)$ άρα ο κύκλος (K,r)

εφάπτεται στον άξονα y'y

Γιάννης Σ.

Γιώργος Απόκης · #224

STOPJOHN έγραψε:Λύση της άσκησης 71
α. Το σημείο είναι το μέσο του τμήματος άρα θα είναι $K(\frac{2x_{0}+p}{4},\frac{y_{0}}{2}),d(K,y'y)=\left|\frac{2x_{0}+p}{4} \right|=\frac{2x_{0}+p}{4},p>0,x>0$
β. $(AE)=\sqrt{(x_{0}-\frac{p}{2})^{2}+y_{0}^{2}}=\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{p^{2}}{4}-px_{0}+2px_{0}}=\frac{p}{2}+x_{0}$
γ. Η ακτίνα του κύκλου είναι $r=\frac{AE}{2}=\frac{p}{4}+\frac{x}{2}=d(K,y'y)$ άρα ο κύκλος εφάπτεται στον άξονα
Γιάννης Σ.

Ένα σχήμα...

STOPJOHN · #225

Ευχαριστώ το Γιώργο Απόκη για το σχήμα που έστειλε ,αλλά κοιτάζω τις υπόλοιπες ασκήσεις που είναι άλυτες ,για να τρέξουνε οι ασκήσεις που είναι σε εκκρεμότητα .....
Γιάννης

parmenides51 · #226

Ας δούμε τι έχουμε ξαναδεί από τις υπόλοιπες ασκήσεις που προτάθηκαν στις ευθείες:

ΖΩΗ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 33

Να δειχθεί ότι το τετράγωνο που έχει κέντρο $\displaystyle{K(1,2)}$ και $\displaystyle{x+y-1=0}$ είναι η εξίσωση μιας πλευράς του, είναι ισεμβαδικό με το τετράγωνο που οι εξισώσεις δύο πλευρών του είναι $\displaystyle{x+y+6=0,\,x+y+10=0}$ .

η μισή ίδια λογική εδώ

pito έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 40
Δίνεται η εξίσωση $6x^{2}-y^{2}=xy$ . (1)

α) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει δύο ευθείες $\epsilon _{1},\epsilon _{2}$ , τις οποίες και να σχεδιάσετε.

β) Να βρείτε την οξεία γωνία $\theta$ που σχηματίζουν οι $\epsilon _{1},\epsilon _{2}$ .

γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας $\epsilon$ που διέρχεται από το σημείο και τέμνει τις ευθείες $\epsilon _{1},\epsilon _{2}$ στα σημεία αντιστοίχως , ώστε το σημείο να είναι μέσο του .

( Αναστάσιος Μπάρλας, εκδόσεις Ελληνοεκδοτική)

γ) ίδια λογική εδώ κι εδώ

parmenides51 έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 43

Δίνονται οι εξισώσεις $\displaystyle{\left( {{\varepsilon _1}} \right):2\lambda x - \left( {\lambda + 1} \right)y - 3\lambda + 1 = 0}$ , $\displaystyle{\left( {{\varepsilon _2}} \right):\left( {3\lambda + 1} \right)x + \left( {\lambda - 1} \right)y - 6\lambda + 2 = 0}$ με $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}$
i. Να αποδείξετε ότι παριστάνουν ευθείες διερχόμενες από σταθερά σημεία.
ii. Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}$ ώστε η ευθεια $\displaystyle{\left( {{\eta}} \right):y=3x-5}$ να περιέχεται σε κάποια από τις παραπάνω οικογένειες ευθειών.
iii.Να εξετάσετε αν υπάρχει ευθεία που να ανήκει ταυτόχρονα και στις δυο παραπάνω οικογένειες ευθειών.
iv. Να εξετάσετε αν υπάρχει $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}$ ώστε ${\varepsilon _1}\parallel{\varepsilon _2}$

ίδια λογική εδώ (θέμα 3)

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 47
Α. Έστω οι ευθείες $\epsilon_1$ :

και $\epsilon_1$ : που τέμνονται στο σημείο Κ.

Να αποδειχθεί οτι κάθε εξίσωση της μορφής με $m \in R$ παριστάνει ευθεία που διέρχεται απο το Κ

B. Oι εξισώσεις τεσσάρων ευθειών είναι :
ΕΑΒ :,
ΒΓΖ :,
ΓΔΕ: ,
ΖΔΑ :,
Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ΒΔ χωρίς να βρεθούν οι συντεταγμένες των Β , Δ.

Γ. Αν η εξίσωση του (Β) είναι η $(\epsilon)$ : να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών $(\eta) , ( \delta)$
ώστε : $O \in (\eta)$ και η $(\epsilon)$ να είναι μεσοπαράλληλη των $(\eta) , (\delta)$ .

Δ. Να εξετάσετε ποιό απο τα σημεία $\Phi(-1,-1)$ , βρίσκεται εντός της ''ζώνης'' των παραλλήλων $(\eta) , (\delta)$

α)εδώ

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Άσκηση 49

Έστω οι εξισώσεις των ευθειών,

$\left( {{\varepsilon _1}} \right):\sqrt 3 \cdot x + y = 0,\,\,\,\left( {{\varepsilon _2}} \right):\sqrt 3 \cdot y + x = 0,\,\,\,\left( {{\varepsilon _3}} \right):\sqrt 3 \cdot x + y = 1,\,\,\,\left( {{\varepsilon _4}} \right):\sqrt 3 \cdot y + x = 1$

α) Βρείτε τα σημεία τομής των ευθειών

β) Να αποδείξετε ότι οι παραπάνω ευθείες σχηματίζουν ρόμβο, του οποίου να βρείτε το εμβαδόν.

γ) Ποιο σημείο της ευθείας $\left( {{\varepsilon _4}} \right):\sqrt 3 \cdot y + x = 1$ απέχει την ελάχιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

γ) ίδια λογική το δεύτερο εδώ

parmenides51 · #227

Ας δούμε τι έχουμε ξαναδεί από τις ασκήσεις που προτάθηκαν στον κύκλο:
[quote="parmenides51""]ΑΣΚΗΣΗ 51

Δίνεται ο κύκλος $\displaystyle{\left(C \right)}$ : $\displaystyle{{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4}$ και η ευθεια $\displaystyle{\left(\varepsilon \right)}$ : $\displaystyle{\left( {2\lambda + 1} \right)x - \left( {\lambda - 1} \right)y + 3 = 0}$ με $\displaystyle{\lambda \in R}$
i. Να αποδείξετε ότι η ευθεια $\displaystyle{\left(\varepsilon \right)}$ διέρχεται από σταθερό σημείο για κάθε $\displaystyle{\lambda \in R}$
ii. Να αποδείξετε ότι η ευθεια $\displaystyle{\left(\varepsilon \right)}$ τέμνει τον κύκλο (C) για κάθε $\displaystyle{\lambda \in R}$
iii. Για ποιες τιμές του $\displaystyle{\lambda \in R}$ , η ευθεία $\displaystyle{\left(\varepsilon \right)}$ ορίζει χορδή στον κύκλο $\displaystyle{\left(C \right)}$ με:
α. ελάχιστο μήκος
β. μέγιστο μήκος
γ. μήκος $2\sqrt 2$

Πηγή: Τ.Τσούχλης (εκδόσεις Σαββάλας)[/quote]ii. και iii.γ. ίδια λογική εδώ

pito έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 52

Α. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται του άξονα στο σημείο και αποκόπτει από την ευθεία τμήμα μήκους 2.

Β. Να αποδείξετε οτι οι κύκλοι $\displaystyle{{C_1},{C_2}}$ του Α ερώτήματος εφάπτονται εξωτερικά

Γ. Να βρεθούν οι εξισώσεις των κοινών εφαπτομένων των $\displaystyle{{C_1},{C_2}}$

Δ. Εξετάστε αν υπάρχει κύκλος που να εφάπτεται σε ένα από τους δύο κύκλους του πρώτου ερωτήματος και με τους άξονες συντεταγμένων.

γ) ίδια λογική εδώ
[quote="parmenides51""]ΑΣΚΗΣΗ 53

Έστω η εξίσωση $\displaystyle{(C):{x^2} + {y^2} - 4\left( {\lambda + 2} \right)x - 2\lambda y + 5{\lambda ^2} + 16\lambda + 11 = 0}$ με $\displaystyle{\lambda \in R}$ .
i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{(C)}$ παριστάνει ίσους κύκλους για κάθε $\displaystyle{\lambda \in R}$ που δεν διέρχονται από σταθερά σημεία.
ii. Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων $\displaystyle{(C)}$ βρίσκονται σε σταθερή ευθεία για κάθε $\displaystyle{\lambda \in R}$
iii. Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι $\displaystyle{(C)}$ εφάπτονται σε δυο σταθερές ευθείες για κάθε $\displaystyle{\lambda \in R}$
iv. Να αποδείξετε ότι από την αρχή των αξόνων διέρχονται δυο μόνο κύκλοι της μορφής $\displaystyle{(C)}$
v. Να περιγράψετε τα σημεία του επιπέδου από τα οποία διέρχονται
α. μηδεν κύκλοι της μορφής $\displaystyle{(C)}$
β. ένας κύκλος της μορφής $\displaystyle{(C)}$
γ. δυο κύκλοι της μορφής $\displaystyle{(C)}$
δ. περισσότεροι από δυο κύκλοι της μορφής $\displaystyle{(C)}$ [/quote]i. ii. iii. ίδια λογική εδώ

apotin έγραψε:Άσκηση 61

Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{{x^2} + {y^2} - 4ax - 2y + 4a = 0,\,\,a \in \mathbb{R}}$ (1)

1) Να βρείτε τις τιμές του $\displaystyle{a \in \mathbb{R}}$ για τις οποίες η (1) παριστάνει κύκλο.

2) Να βρείτε το γ.τ. των κέντρων των κύκλων που παριστάνει η (1)

3) Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που παριστάνει η (1) εφάπτονται μεταξύ τους σε σταθερό σημείο

ίδια λογική εδώ

Γιώργος Απόκης έγραψε:Άσκηση 63

Δίνεται η εξίσωση $x^2+y^2\color{red}-\color{black}(2+3k)x-(8+4k)y+19k-\color{red}8\color{black}=0$ (1) με $k\in \mathbb R$ .

α) Nα δείξετε ότι παριστάνει κύκλο για κάθε $k\in \mathbb R$ .

β) Ποιός είναι ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων για $k\in \mathbb R$ ;

γ) Να δείξετε ότι οι κύκλοι της (1) διέρχονται από δύο σταθερά σημεία.

δ) Να βρεθεί η ακτίνα του μικρότερου από τους κύκλους της (1).

ε) Αν $k \color{red}>0$ , να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων του κύκλου με ακτίνα $\displaystyle{\color{red}\frac{15}{2}}$ , οι οποίες διέρχονται από την αρχή των αξόνων.

α) β) γ) δ) εδώ
α) γ) ίδια λογική εδώ

Γιώργος Απόκης · #228

parmenides51 έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 66
Δίνεται η ευθεία $\displaystyle{\left(\varepsilon \right)}$ : $\displaystyle{\left( {x + 1} \right){\lambda ^2} + 2\lambda y + 1 - x = 0}$ με $\displaystyle{\lambda \in\Mathbb{R}}$ .
Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων $\displaystyle{M (x,y)}$ του επίπεδου από τα οποία:
i. δεν διέρχεται καμιά ευθεία της μορφής $\displaystyle{\left(\varepsilon \right)}$
ii. διέρχεται μοναδική ευθεία της μορφής $\displaystyle{\left(\varepsilon \right)}$
iii. διέρχονται δυο μόνο ευθείες της μορφής $\displaystyle{\left(\varepsilon \right)}$
iv. διέρχονται άπειρες ευθείες της μορφής $\displaystyle{\left(\varepsilon \right)}$

$\bullet$ Για $x\ne -1$ η εξίσωση είναι 2ου βαθμού ως προς $\lambda$ και έχει διακρίνουσα $\Delta=4y^2-4(x+1)(1-x)=4y^2-4(1-x^2)=4(x^2+y^2-1)$ .

Για να μην διέρχεται καμία ευθεία, πρέπει και αρκεί $\Delta<0\Leftrightarrow x^2+y^2<1$ άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι τα εσωτερικά σημεία του κύκλου (O,1)

.

Για να διέρχεται μία ευθεία, πρέπει και αρκεί $\Delta=0\Leftrightarrow x^2+y^2=1$ άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι τα σημεία του κύκλου (O,1)

, χωρίς το (-1,0)

.

Για να διέρχονται δύο ευθείες, πρέπει και αρκεί $\Delta>0\Leftrightarrow x^2+y^2>1$ άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι τα εξωτερικά σημεία του κύκλου (O,1)

με $x\ne -1$ .

$\bullet$ Για x=-1

, έχουμε : $\displaystyle{2\lambda y+2=0\Leftrightarrow y\lambda=-1}$ .

Aν y=0

η εξίσωση είναι αδύνατη, άρα από το M(-1,0)

δε διέρχεται καμία ευθεία.

Αν $y\ne 0$ , τότε έχουμε $\displaystyle{\lambda=-\frac{1}{y}}$ (μοναδική λύση), άρα από καθένα από τα σημεία $\displaystyle{M\left(-1,-\frac{1}{\lambda}\right),~\lambda \ne 0}$ ( η ευθεία x=-1

χωρίς το

) διέρχεται μοναδική ευθεία.

Εdit 1: (10:00) Όπως επεσήμανε ο parmenides, χρειάζεται κι άλλη διερεύνηση. Θα επανέλθω αργότερα.
Εdit 2: (12:00) Πιστεύω πως τώρα είναι πλήρης, θα "μαζέψω" τις περιπτώσεις ώστε να απαντήσω κατά ερώτημα.

Μετά τα αλλεπάλληλα edit και τις επισημάνσεις του parmenides... Από την παραπάνω ανάλυση, έχουμε:

i. Από τα σημεία εσωτερικά του μοναδιαίου κύκλου και από το M(-1,0)

δε διέρχεται καμία ευθεία.

ii. Από τα σημεία του μοναδιαίου κύκλου και από τα σημεία της ευθείας x=-1

χωρίς το

διέρχεται μοναδική ευθεία.

iii. Από τα σημεία εξωτερικά του μοναδιαίου κύκλου που έχουν τετμημένη $x\ne -1$ διέρχονται δύο ακριβώς ευθείες.

iv. Δεν υπάρχουν σημεία του επιπέδου από τα οποία να διέρχονται άπειρες ευθείες

parmenides51 · #229

parmenides51 έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 66
Δίνεται η ευθεία $\displaystyle{\left(\varepsilon \right)}$ : $\displaystyle{\left( {x + 1} \right){\lambda ^2} + 2\lambda y + 1 - x = 0}$ με $\displaystyle{\lambda \in\Mathbb{R}}$ .
Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων $\displaystyle{M (x,y)}$ του επίπεδου από τα οποία:
i. δεν διέρχεται καμιά ευθεία της μορφής $\displaystyle{\left(\varepsilon \right)}$
ii. διέρχεται μοναδική ευθεία της μορφής $\displaystyle{\left(\varepsilon \right)}$
iii. διέρχονται δυο μόνο ευθείες της μορφής $\displaystyle{\left(\varepsilon \right)}$
iv. διέρχονται άπειρες ευθείες της μορφής $\displaystyle{\left(\varepsilon \right)}$

ίδια λογική εδώ, εδώ κι εδώ

Γιώργος Απόκης · #230

ΑΣΚΗΣΗ 72

Θεωρούμε τα σημεία A(x_1,y_1),~B(x_2,y_2)

της παραβολής C:y^2=2px

. Αν η χορδή

διέρχεται από την εστία

, να δείξετε ότι :

$\color{blue} a)~ \color{black}y_1y_2=-p^2,~~~~~~~~\color{blue} \beta)~ \color{black}\displaystyle{x_1x_2=\frac{p^2}{4}},~~~~~~~~\color{blue} \gamma)~ \color{black}\displaystyle{\frac{1}{(EA)}+\frac{1}{(EB)}}$ : σταθερό (ανεξάρτητο της θέσης των A,B

).

Γιώργος Απόκης · #231

ΑΣΚΗΣΗ 73

Δίνεται η παραβολή y^2=2px,~p>0

.

α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης $\epsilon$ στο σημείο A(x_1,y_1)

του πρώτου τεταρτημορίου η οποία απέχει

από την αρχή των αξόνων απόσταση $d=\sqrt{2}$ .

β) Να βρεθεί η τιμή του

, αν η προβολή του

στον άξονα x'x

είναι η εστία

της παραβολής.

γ) Για p=4

:

i) Να βρεθεί η προβολή

του

στην $\epsilon$ .

ii) Aν η $\epsilon$ τέμνει τον άξονα x'x

στο

, να βρεθεί ο λόγος των εμβαδών των τριγώνων ABE,OCB

.

alexandropoulos · #232

Γιώργος Απόκης έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 72

Θεωρούμε τα σημεία της παραβολής . Αν η χορδή διέρχεται από την εστία , να δείξετε ότι :

$\color{blue} a)~ \color{black}y_1y_2=-p^2,~~~~~~~~\color{blue} \beta)~ \color{black}\displaystyle{x_1x_2=\frac{p^2}{4}},~~~~~~~~\color{blue} \gamma)~ \color{black}\displaystyle{\frac{1}{(EA)}+\frac{1}{(EB)}}$ : σταθερό (ανεξάρτητο της θέσης των ).

α. Προκύπτει σε εφαρμογή στο σχολικό βιβλίο.
β. Τα δύο σήμεία ανήκουν στην παραβολή, οπότε $A\left(\frac{y_1^{2}}{2p}, y_1 \right), B\left(\frac{y_2^{2}}{2p}, y_2 \right)$ . Είναι $x_1x_2=\frac{y_1^{2}}{2p}\frac{y_2^{2}}{2p}=\frac{p^4}{4p^2}=\frac{p^2}{4}$ .
γ. Από την απόδειξη της εξίσωσης της παραβολής προκύπτει ότι $\left(EA\right)=x_1+\frac{p}{2}, \left(EB \right)=x_2+\frac{p}{2}$ . Έχουμε $\displaystyle{\frac{1}{(EA)}+\frac{1}{(EB)}}=\displaystyle{\frac{(EA)+(EB)}{(EA)(EB)}}=\frac{4(x_1+x_2)+4p}{4x_1x_2+2p(x_1+x_2)+p^2}$ (1)

.
Η ευθεία (AB)

όταν έχει συντελεστή διεύθυνσης $\displaystyle{ \lambda}$ είναι της μορφής $\displaystyle{y=\lambda\left(x-\frac{p}{2} \right)$ . Σχηματίζοντας το σύστημα ευθείας και παραβολής και ύστερα από "κάποιες πράξεις " προκύπτει το τριώνυμο $4\lambda ^2x^2-4p\left(\lambda ^2+2 \right)x+p^2\lambda ^2=0$ .
Είναι $\displaystyle{ \ x_1+x_2=\frac{p\left(\lambda ^2+2 \right)}{\lambda ^2}}$ και από (β) $\displaystyle{\x_1x_2=\frac{p^2}{4}}$ .
Με αντικτάσταση στην (1)

προκύπτει ότι $\displaystyle{\frac{1}{(EA)}+\frac{1}{(EB)}}=\frac{2}{p}$ .
Στην περίπτωση που η ευθεία

είναι κάθετη στον άξονα των τετμημένων τότε προκύπτει εύκολα το πιο πάνω συμπέρασμα.

Αν ο Γιώργος θέλει μπορούμε να προσθέσουμε και κανα δύο ερωτήματα ακόμη

Γιώργος Απόκης · #233

alexandropoulos έγραψε:
Γιώργος Απόκης έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 72
Αν ο Γιώργος θέλει μπορούμε να προσθέσουμε και κανα δύο ερωτήματα ακόμη

Εννοείται!

Γιώργος Απόκης · #234

ΑΣΚΗΣΗ 74

Δίνεται η εξίσωση x^2y^2+32xy-16x^3-2y^3=0

.

α) Να δείξετε ότι παριστάνει δύο κωνικές τομές C_1,C_2

.

β) Να βρεθούν τα κοινά σημεία των C_1,C_2

.

γ) Να βρεθεί η κοινή εφαπτομένη των C_1,C_2

.

Μάκης Χατζόπουλος · #235

Γιώργος Απόκης έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 73

Δίνεται η παραβολή .

α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης $\epsilon$ στο σημείο του πρώτου τεταρτημορίου η οποία απέχει

από την αρχή των αξόνων απόσταση $d=\sqrt{2}$ .

β) Να βρεθεί η τιμή του , αν η προβολή του στον άξονα είναι η εστία της παραβολής.

γ) Για :

i) Να βρεθεί η προβολή του στην $\epsilon$ .

ii) Aν η $\epsilon$ τέμνει τον άξονα στο , να βρεθεί ο λόγος των εμβαδών των τριγώνων .

Άρε Γιώργο τι μας κάνει ξημερώματα… (δίνω την λύση γιατί βλέπω ότι το ενδιαφέρον έχει ατονίσει και είναι κρίμα η προσπάθεια αυτή να μείνει στην μέση)
________________________________________________________________________________________________________________________________________________

α) Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο $A\left( {{x_1},{y_1}} \right)$ , όπου ${x_1},{y_1} > 0$ λόγω πρώτου τεταρτημορίου είναι:

$y{y_1} = p\left( {x + {x_1}} \right) \Leftrightarrow px - {y_1}y + p{x_1} = 0\,\,\,\left( 1 \right)$

Εύρεση του ${x_1}$

$\begin{array}{l} d\left( {O,\varepsilon } \right) = \sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{{\left| {p \cdot 0 - {y_1} \cdot 0 + p{x_1}} \right|}}{{\sqrt {{p^2} + y_1^2} }} = \sqrt 2 \\ \\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {p{x_1}} \right|}}{{\sqrt {{p^2} + 2p{x_1}} }} = \sqrt 2 \\ \\ \Leftrightarrow px_1^2 - 4{x_1} - 2p = 0 \\ \end{array}$

άρα ${x_{1,2}} = \frac{{2 \pm \sqrt {4 + 2{p^2}} }}{p}$ και λόγω του περιορισμού, δεκτή ${x_1} = \frac{{2 + \sqrt {4 + 2{p^2}} }}{p}$

Εύρεση του ${y_1}$

Το σημείο επαφής $A\left( {{x_1},{y_1}} \right)$ επαληθεύει την παραβολή, δηλαδή,

$y_1^2 = 2p{x_1} \Rightarrow {y_1} = \sqrt {4 + 2\sqrt {4 + 2{p^2}} }$ αφού ${y_1} > 0$

άρα η (1) γίνεται: $px - \sqrt {4 + 2\sqrt {4 + 2{p^2}} } \cdot y + 2 + \sqrt {4 + 2{p^2}} = 0$

β) Για να είναι AE//y'y

πρέπει:

$\begin{array}{l} {x_1} = \frac{p}{2} \Leftrightarrow \frac{{2 + \sqrt {4 + 2{p^2}} }}{p} = \frac{p}{2} \\ \\ \Leftrightarrow {p^4} - 16{p^2} = 0 \\ \\ \Leftrightarrow {p^2}\left( {p - 4} \right)\left( {p + 4} \right) = 0 \\ \\ \mathop \Leftrightarrow \limits^{p > 0} p = 4 \\ \end{array}$

γ) 1. Για p = 4

έχουμε $A\left( {2,4} \right)$ και εξίσωση εφαπτομένης της παραβολής στο σημείο αυτό την x - y + 2 = 0

Εύρεση εξίσωσης της ευθείας

Είναι της μορφής $y = {\lambda _{OC}} \cdot x$ , όπου

${\lambda _\varepsilon } \cdot {\lambda _{{\rm O}C}} = - 1 \Leftrightarrow {\lambda _{{\rm O}C}} = - 1$ άρα $OC:\,\,\,y = - x$

Εύρεση του σημείου

Λύνουμε το σύστημα

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = - x} \\ {} \\ {x - y + 2 = 0} \\ \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = 1} \\ {} \\ {x = - 1} \\ \end{array}} \right. \Leftrightarrow C\left( { - 1.1} \right)$

2. Εύρεση του σημείου

Για

έχουμε $x - 0 + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2$ άρα $B\left( { - 2,0} \right)$

Εύρεση του $\left( {BC} \right)$

Έχουμε, $\left( {BC} \right) = \sqrt {1 + 1} = \sqrt 2$

(Β΄ τρόπος: Το τρίγωνο OBC

είναι ισοσκελές (;), άρα $\left( {OC} \right) = \left( {BC} \right) = d = \sqrt 2$ )

Τελικά,

$\frac{{\left( {ABE} \right)}}{{\left( {OCB} \right)}} = \frac{{BE \cdot AE}}{{BC \cdot OC}} = \frac{{4 \cdot 4}}{{\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 }} = 8$

alexandropoulos · #236

Γιώργος Απόκης έγραψε:
alexandropoulos έγραψε:
Γιώργος Απόκης έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 72
Αν ο Γιώργος θέλει μπορούμε να προσθέσουμε και κανα δύο ερωτήματα ακόμη
Εννοείται!

Μιας και το θέμα αγγίζει ιδιότητες της παραβολής - και με την άδεια του Γιώργου- άλλες δύο

δ) Οι εφαπτόμενες στα σημεία A, B

τέμνονται σε σημείο

της διευθετούσας.

ε) $EM\perp AB$

alexandropoulos · #237

Γιώργος Απόκης έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 74

Δίνεται η εξίσωση .

α) Να δείξετε ότι παριστάνει δύο κωνικές τομές .

β) Να βρεθούν τα κοινά σημεία των .

γ) Να βρεθεί η κοινή εφαπτομένη των .

α) Είναι $x^2y^2+32xy-16x^3-2y^3=0\Leftrightarrow x^2\left(y^2-16x \right)-2x\left(y^2-16x \right)=0\Leftrightarrow \left(y^2-16x \right)\left( x^2-2y\right)=0$ . Από την τελαυταία προκύπτουν οι παραβολές c_1:y^2=16x, c_2:x^2=2y

.
β) Λύνοντας το σύστημα των δύο παραβολών προκύπτουν τα σημεία O(0,0), A(4, 16)

.
γ) Έστω $y=\lambda x+\kappa$ ευθεία. Για να εφάπτται στη c_1:y^2=16x

πρέπει το σύστημα $\left\{\begin{matrix} y=\lambda x+\kappa \\ y^2=16x \end{matrix}\right.$ να έχει μια λύση. Για να συμβαίνει αυτό πρέπει το τριώνυμο $\lambda ^2x^2+\left(2\kappa \lambda -16 \right)x+\kappa ^2=0$ να έχει διακρίνουσα μηδέν.Από τη συνθήκη αυτή προκύπτει $\kappa \lambda =4 (1)$ . Για να εφάπτεται η ευθεία και στην c_2

πρεπει $2\kappa =-\lambda ^2 (2)$ ..
Από τη λύση του συστήματος των (1), (2)

προκύπτει $\kappa =\lambda =-2$ , οπότε η κοινή εφαπτομένη είναι η y=-x-2

Γιώργος Απόκης · #238

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:
Γιώργος Απόκης έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 73

Δίνεται η παραβολή .

α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης $\epsilon$ στο σημείο του πρώτου τεταρτημορίου η οποία απέχει

από την αρχή των αξόνων απόσταση $d=\sqrt{2}$ .

β) Να βρεθεί η τιμή του , αν η προβολή του στον άξονα είναι η εστία της παραβολής.

γ) Για :

i) Να βρεθεί η προβολή του στην $\epsilon$ .

ii) Aν η $\epsilon$ τέμνει τον άξονα στο , να βρεθεί ο λόγος των εμβαδών των τριγώνων .
Άρε Γιώργο τι μας κάνει ξημερώματα… (δίνω την λύση γιατί βλέπω ότι το ενδιαφέρον έχει ατονίσει και είναι κρίμα η προσπάθεια αυτή να μείνει στην μέση)
________________________________________________________________________________________________________________________________________________

α) Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο $A\left( {{x_1},{y_1}} \right)$ , όπου ${x_1},{y_1} > 0$ λόγω πρώτου τεταρτημορίου είναι:

$y{y_1} = p\left( {x + {x_1}} \right) \Leftrightarrow px - {y_1}y + p{x_1} = 0\,\,\,\left( 1 \right)$

Εύρεση του ${x_1}$

$\begin{array}{l} d\left( {O,\varepsilon } \right) = \sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{{\left| {p \cdot 0 - {y_1} \cdot 0 + p{x_1}} \right|}}{{\sqrt {{p^2} + y_1^2} }} = \sqrt 2 \\ \\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {p{x_1}} \right|}}{{\sqrt {{p^2} + 2p{x_1}} }} = \sqrt 2 \\ \\ \Leftrightarrow px_1^2 - 4{x_1} - 2p = 0 \\ \end{array}$

άρα ${x_{1,2}} = \frac{{2 \pm \sqrt {4 + 2{p^2}} }}{p}$ και λόγω του περιορισμού, δεκτή ${x_1} = \frac{{2 + \sqrt {4 + 2{p^2}} }}{p}$

Εύρεση του ${y_1}$

Το σημείο επαφής $A\left( {{x_1},{y_1}} \right)$ επαληθεύει την παραβολή, δηλαδή,

$y_1^2 = 2p{x_1} \Rightarrow {y_1} = \sqrt {4 + 2\sqrt {4 + 2{p^2}} }$ αφού ${y_1} > 0$

άρα η (1) γίνεται: $px - \sqrt {4 + 2\sqrt {4 + 2{p^2}} } \cdot y + 2 + \sqrt {4 + 2{p^2}} = 0$

β) Για να είναι πρέπει:

$\begin{array}{l} {x_1} = \frac{p}{2} \Leftrightarrow \frac{{2 + \sqrt {4 + 2{p^2}} }}{p} = \frac{p}{2} \\ \\ \Leftrightarrow {p^4} - 16{p^2} = 0 \\ \\ \Leftrightarrow {p^2}\left( {p - 4} \right)\left( {p + 4} \right) = 0 \\ \\ \mathop \Leftrightarrow \limits^{p > 0} p = 4 \\ \end{array}$

γ) 1. Για έχουμε $A\left( {2,4} \right)$ και εξίσωση εφαπτομένης της παραβολής στο σημείο αυτό την

Εύρεση εξίσωσης της ευθείας

Είναι της μορφής $y = {\lambda _{OC}} \cdot x$ , όπου

${\lambda _\varepsilon } \cdot {\lambda _{{\rm O}C}} = - 1 \Leftrightarrow {\lambda _{{\rm O}C}} = - 1$ άρα $OC:\,\,\,y = - x$

Εύρεση του σημείου

Λύνουμε το σύστημα

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = - x} \\ {} \\ {x - y + 2 = 0} \\ \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = 1} \\ {} \\ {x = - 1} \\ \end{array}} \right. \Leftrightarrow C\left( { - 1.1} \right)$

2. Εύρεση του σημείου

Για έχουμε $x - 0 + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2$ άρα $B\left( { - 2,0} \right)$

Εύρεση του $\left( {BC} \right)$

Έχουμε, $\left( {BC} \right) = \sqrt {1 + 1} = \sqrt 2$

(Β΄ τρόπος: Το τρίγωνο είναι ισοσκελές (;), άρα $\left( {OC} \right) = \left( {BC} \right) = d = \sqrt 2$ )

Τελικά,

$\frac{{\left( {ABE} \right)}}{{\left( {OCB} \right)}} = \frac{{BE \cdot AE}}{{BC \cdot OC}} = \frac{{4 \cdot 4}}{{\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 }} = 8$

Μάκη!

alexandropoulos · #239

Άσκηση 75

Δίνεται ο κύκλος (x+4m)^2+y^2=15m^2

και η παραβολή y^2=-6mx,

με

πραγματικό μη μηδενικό αριθμό.
α. Να δείξετε ότι για κάθε τιμή του

οι δύο κωνικές τέμνονται σε σημεία A, B

.
β. Αν οι εφαπτόμενες της παραβολής στα A, B

τέμνονται στο

να δειχθεί ότι το κέντρο του περιγγεγραμμένου κύκου στο ABC

συμπίπτει με την εστία της παραβολής για κάθε τιμή του

edit Συμπλήρωση στην εκφώνηση

STOPJOHN · #240

κ.alexandropoule στο δεύτερο ερώτημα δεν διευκρινίζεται σε ποια κωνική τομή έχουμε τις εφαπτόμενες .Από τη λύση φαίνεται να είναι οι εφαπτόμενες της παραβολής.
Γιάννης

συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μέλη σε σύνδεση