Τετράγωνο

G.Tsikaloudakis · #1

Έστω

σημειο της διαγωνίου $A\Gamma$ τετραγώνου $AB\Gamma \Delta$ .
Δείξτε ότι τα $\Delta, E$ και τα περίκεντρα των τριγώνων $A\Delta E\mathop {}\limits_{} ,\mathop {}\limits_{} \Gamma \Delta E$ είναι κορυφές τετραγώνου.

G.Tsikaloudakis · #2

Στο συνημμένο παραθέτω μια λύση:
Υπενθυμίζουμε στα μέλη μας ότι λύσεις σε συνημμένο δεν είναι αποδεκτές.
Γενικοί Συντονιστές

Γιώργος Απόκης · #3

Αντιγράφω το σχήμα και τη λύση από το συνημμένο για καλύτερη "ανάγνωση".

Έστω $P,\Pi$ τα περίκεντρα των τριγώνων $A\Delta E, \Gamma \Delta E$ . Φέρουμε : $P\Lambda \perp A\Delta, \Pi I \perp \Delta \Gamma ,PM\perp A\Gamma,KN\perp A\Gamma,\Pi Z\perp A\Gamma$ ,

όπου

το μέσο του $\Delta E$ , και έχουμε : $\Gamma Z=ZE, EN=NO, EN+NO+OM=AM,OA=O\Gamma$ άρα

το $\Delta P E \Pi$ είναι ρόμβος. Όμως τα τρίγωνα $\Delta \Lambda P, I\Delta \Pi$ είναι ίσα, οπότε $\Pi \Delta P=90^{o}$ και συνεπώς το $\Delta P E \Pi$ είναι τετράγωνο.

G.Tsikaloudakis · #4

Σ΄ευχαριστώ Γιώργο , καθότι δυσκολεύομαι στην παρουσίαση
των σχήμάτων.

p_gianno · #5

ακτίνες του ίδιου κύκλου (DEA)

(1)

$\angle P =2DAE=90^0$ ( $\angle \Pi=2D \Gamma E =90^0$ )

$\triangle DPE$ ορθογώνιο ισοσκελές άρα EDP=45^0

(όμοια $\Pi DE=45^0$ ) συνεπώς $\Pi DP=90^0=\angle P =\angle \Pi$ (2)

Από 1 και 2 έπεται το ζητούμενο.

thanasis.a · #6

: Τετράγωνο.png (16.04 KiB) Προβλήθηκε 1330 φορές

...και μία μέσω Λαμίας.

$A\hat{D}H=H\hat{A}D$ . Οπότε $H\hat{D}O=H\hat{A}O$ . Όμως $H\hat{A}O=H\hat{E}O$ αφού

περίκεντρο και AH=HE=HD

. Δηλαδή $H\hat{D}O=H\hat{E}O$ και έτσι HOED

εγγράψιμο, άρα $D\hat{H}E=D\hat{O}E=90^{\circ}$ . $\triangleleft HDE$ ορθογώνιο και ισοσκελές, δηλαδή HZ=ZD=ZE

και αφού $\triangleleft ODE$ ορθογώνιο

διάμεσος, δηλαδή OZ=ZD=ZE

.

Επίσης ZMND

εγγράψιμο ( $\hat{Z}=\hat{M}=90^{\circ}$ ) και έτσι $Z\hat{D}M=Z\hat{N}M$ . $\triangleleft ZDM=\triangleleft ZMO$ αφού DZ=OZ

,

κοινή και

. Δηλαδή $Z\hat{D}M=Z\hat{O}M=Z\hat{N}M$ και έτσι OZ=ZN=HZ=DZ=ZE

, οπότε οι διαγώνιες στο HDNE

διχοτομούνται, είναι ίσες και κάθετες. Κατά συνέπεια HDNE

τετράγωνο.

Ουφ...τα είπα και ησύχασα

Καλό βράδυ!

Τετράγωνο

Τετράγωνο

Re: Τετράγωνο

Re: Τετράγωνο

Re: Τετράγωνο

Re: Τετράγωνο

Re: Τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση