συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

alexandropoulos · #241

STOPJOHN έγραψε:κ.alexandropoule στο δεύτερο ερώτημα δεν διευκρινίζεται σε ποια κωνική τομή έχουμε τις εφαπτόμενες .Από τη λύση φαίνεται να είναι οι εφαπτόμενες της παραβολής.
Γιάννης

ΣΩΣΤΟ

hlkampel · #242

alexandropoulos έγραψε:Άσκηση 75

Δίνεται ο κύκλος και η παραβολή με πραγματικό μη μηδενικό αριθμό.
α. Να δείξετε ότι για κάθε τιμή του οι δύο κωνικές τέμνονται σε σημεία .
β. Αν οι εφαπτόμενες της παραβολής στα τέμνονται στο να δειχθεί ότι το κέντρο του περιγγεγραμμένου κύκου στο συμπίπτει με την εστία της παραβολής για κάθε τιμή του

α. Με ${y^2} = - 6mx$ η εξίσωση του κύκλου γίνεται:

${\left( {x + 4m} \right)^2} - 6mx = 15{m^2} \Leftrightarrow$

${x^2} + 8mx + 16{m^2} - 6mx - 15{m^2} = 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle{{x^2} + 2mx + {m^2} = 0 \Leftrightarrow }$

${\left( {x + m} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow$

x = - m

Με

η ${y^2} = - 6mx$ γίνεται:

${y^2} = 6{m^2} \Leftrightarrow y = \pm m\sqrt 6$

Άρα ο κύκλος και η παραβολή τέμνονται στα σημεία $A\left( { - m,\;m\sqrt 6 } \right)$ και $B\left( { - m,\; - m\sqrt 6 } \right)$ για κάθε $m \in {R^*}$ .

β. Η εφαπτόμενη στο

έχει εξίσωση ${\varepsilon _A}:\;m\sqrt 6 y = - 3m\left( {x - m} \right) \Leftrightarrow \sqrt 6 y = - 3x + 3m$ (1)

Η εφαπτόμενη στο

έχει εξίσωση ${\varepsilon _B}:\; - m\sqrt 6 y = - 3m\left( {x - m} \right) \Leftrightarrow \sqrt 6 y = 3x - 3m$ (2)

Προσθέτοντας τις (1) και (2) παίρνουμε: y = 0

Με

η (1) δίνει x = m

Άρα οι εφαπτόμενες τέμνονται στο σημείο $C\left( {m,0} \right)$ .

Η εστία της παραβολής είναι $E\left( { - \frac{{3m}}{2},0} \right)$

$\left( {AE} \right) = \sqrt {{{\left( { - \frac{{3m}}{2} + m} \right)}^2} + 6{m^2}} = \sqrt {\frac{{{m^2}}}{4} + 6{m^2}} = \frac{5}{2}\left| m \right|$

$\left( {BE} \right) = \sqrt {{{\left( { - \frac{{3m}}{2} + m} \right)}^2} + 6{m^2}} = \sqrt {\frac{{{m^2}}}{4} + 6{m^2}} = \frac{5}{2}\left| m \right|$

$\left( {CE} \right) = \sqrt {{{\left( { - \frac{{3m}}{2} - m} \right)}^2}} = \frac{5}{2}\left| m \right|$

Άρα $\left( {AE} \right) = \left( {BE} \right) = \left( {CE} \right)$ οπότε ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ABC

έχει κέντρο την εστία

και ακτίνα $\frac{5}{2}\left| m \right|$

Γιώργος Απόκης · #243

alexandropoulos έγραψε:
Γιώργος Απόκης έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 72

Θεωρούμε τα σημεία της παραβολής . Αν η χορδή διέρχεται από την εστία , να δείξετε ότι :

$\color{blue} a)~ \color{black}y_1y_2=-p^2,~~~~~~~~\color{blue} \beta)~ \color{black}\displaystyle{x_1x_2=\frac{p^2}{4}},~~~~~~~~\color{blue} \gamma)~ \color{black}\displaystyle{\frac{1}{(EA)}+\frac{1}{(EB)}}$ : σταθερό (ανεξάρτητο της θέσης των ).
α. Προκύπτει σε εφαρμογή στο σχολικό βιβλίο.
β. Τα δύο σήμεία ανήκουν στην παραβολή, οπότε $A\left(\frac{y_1^{2}}{2p}, y_1 \right), B\left(\frac{y_2^{2}}{2p}, y_2 \right)$ . Είναι $x_1x_2=\frac{y_1^{2}}{2p}\frac{y_2^{2}}{2p}=\frac{p^4}{4p^2}=\frac{p^2}{4}$ .
γ. Από την απόδειξη της εξίσωσης της παραβολής προκύπτει ότι $\left(EA\right)=x_1+\frac{p}{2}, \left(EB \right)=x_2+\frac{p}{2}$ . Έχουμε $\displaystyle{\frac{1}{(EA)}+\frac{1}{(EB)}}=\displaystyle{\frac{(EA)+(EB)}{(EA)(EB)}}=\frac{4(x_1+x_2)+4p}{4x_1x_2+2p(x_1+x_2)+p^2}$ .
Η ευθεία όταν έχει συντελεστή διεύθυνσης $\displaystyle{ \lambda}$ είναι της μορφής $\displaystyle{y=\lambda\left(x-\frac{p}{2} \right)$ . Σχηματίζοντας το σύστημα ευθείας και παραβολής και ύστερα από "κάποιες πράξεις " προκύπτει το τριώνυμο $4\lambda ^2x^2-4p\left(\lambda ^2+2 \right)x+p^2\lambda ^2=0$ .
Είναι $\displaystyle{ \ x_1+x_2=\frac{p\left(\lambda ^2+2 \right)}{\lambda ^2}}$ και από (β) $\displaystyle{\x_1x_2=\frac{p^2}{4}}$ .
Με αντικτάσταση στην προκύπτει ότι $\displaystyle{\frac{1}{(EA)}+\frac{1}{(EB)}}=\frac{2}{p}$ .
Στην περίπτωση που η ευθεία είναι κάθετη στον άξονα των τετμημένων τότε προκύπτει εύκολα το πιο πάνω συμπέρασμα.
Αν ο Γιώργος θέλει μπορούμε να προσθέσουμε και κανα δύο ερωτήματα ακόμη

alexandropoulos έγραψε: δ) Οι εφαπτόμενες στα σημεία τέμνονται σε σημείο της διευθετούσας.

ε) $EM\perp AB$

Δίνω το σχήμα... (Εκκρεμούν τα ερωτήματα δ και ε)

pito · #244

ΑΣΚΗΣΗ 76 ( απλή!)

Δίνεται η παραβολή

η οποία έχει άξονα συμμετρίας τον xx'

και διέρχεται από το σημείο A(-8,8)

. Να βρείτε:

α) την εξίσωση της παραβολής

β) την εστία

και τη διευθετούσα $\delta$ της παραβολής

.

γ) σημείο

της παραβολής

διαφορετικό του

, ώστε τα σημεία A,E,B

να είναι συνευθειακά.

alexandropoulos · #245

Άσκηση 81
Έστω η έλλειψη $\mathstyle {\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$ με E, E'

εστίες και τυχαίο σημείο

μεταξύ των εστιών διαφορετικό από το κέντρο της έλλειψης.
α. Να προσδιορισθούν οι εξισώσεις των κύκλων $\left(E, DA \right), \left(E', DA' \right)$ όπου AA'

ο μεγάλος άξονας της έλλειψης και να δειχθεί ότι τέμνονται πάνω στην έλλειψη.
β. Να προσδιορίσθεί η κοινή χορδή των παραπάνω κύκλων και να δειχθεί ότι κάθε σημείο της είναι εσωτερικό της έλλειψης.
γ. Να εξετασθεί αν η ευθεία

είναι κάθετη στην έλλειψη όπου

σημείο τομής των κύκλων με την έλλειψη.

Συγκρούστηκα "αριθμητικά" με pito
Έγινε αλλαγή στην αρίθμηση

STOPJOHN · #246

Καλημέρα κ.alexadropoule το σημείο

που βρίσκεται ; σαν να έπεσε από τον ουρανό....
Γιάννης
Ακόμη τι σημαίνει ευθεία κάθετη στην έλλειψη;

KARKAR · #247

Άσκηση 78

Δίνονται ο κύκλος x^2+y^2=R^2

και η παραβολή y^2=2px

. Οι εφαπτόμενες των δύο κωνικών

σε κοινό τους σημείο

, σχηματίζουν τη γωνία $\omega$ .

1) Δείξτε ότι η γωνία $\omega$ , δεν γίνεται ορθή , για οποιεσδήποτε τιμές των R , p

2) Δείξτε ότι αν ο λόγος $\displaystyle\frac{p}{R}$ παραμένει σταθερός , η γωνία $\omega$ , παραμένει επίσης σταθερή .

Σημείωση : Το δεύτερο συμπέρασμα επιβεβαιώνει το γεγονός , ότι όλες οι παραβολές , είναι εν τέλει όμοιες μεταξύ τους !

Γιώργος Απόκης · #248

KARKAR έγραψε:Άσκηση 78
Δίνονται ο κύκλος και η παραβολή . Οι εφαπτόμενες των δύο κωνικών
σε κοινό τους σημείο , σχηματίζουν τη γωνία $\omega$ .
1) Δείξτε ότι η γωνία $\omega$ , δεν γίνεται ορθή , για οποιεσδήποτε τιμές των
2) Δείξτε ότι αν ο λόγος $\displaystyle\frac{p}{R}$ παραμένει σταθερός , η γωνία $\omega$ , παραμένει επίσης σταθερή .
Σημείωση : Το δεύτερο συμπέρασμα επιβεβαιώνει το γεγονός , ότι όλες οι παραβολές , είναι εν τέλει όμοιες μεταξύ τους !

Υποθέτουμε ότι p>0

(για

η απόδειξη είναι ανάλογη).

1) Από το σύστημα των δύο εξισώσεων προκύπτει η εξίσωση : x^2+2px-R^2=0

με διακρίνουσα $\Delta=4p^2+4R^2>0$ , άρα τέμνονται πάντα σε δύο σημεία.

Αν S(x_1,y_1)

με

, τότε οι εξισώσεις των εφαπτόμενων είναι : $(\epsilon_1):xx_1+yy_1=R^2$ και $(\epsilon_2):yy_1=p(x+x_1)$ δηλαδή :

$(\epsilon_1):x_1x+y_1y-R^2=0$ και $(\epsilon_2):px-y_1y+px_1=0$ . Οι ευθείες δεν είναι κατακόρυφες άρα οι συντελεστές διεύθυνσης είναι :

$\displaystyle{\lambda_1=-\frac{x_1}{y_1},~\lambda_2=\frac{p}{y_1}}$ με γινόμενο : $\displaystyle{\lambda_1 \lambda_2=-\frac{x_1}{y_1}\frac{p}{y_1}=\frac{-px_1}{y_1^2}=\frac{-px_1}{2px_1}=-\frac{1}{2}\ne -1}$ άρα οι ευθείες δεν είναι κάθετες.

2) Από την εξίσωση x^2+2px-R^2=0

προκύπτει (δεκτή) λύση $x_1=p+\sqrt{p^2+R^2}$ (1). Έστω ότι R=ap

(2).

Θεωρούμε τα διανύσματα $\vec{u}=(-y_1,x_1),~\vec{v}=(y_1,p)$ παράλληλα στις εφαπτόμενες. Αν $\omega$ η οξεία γωνία των εφαπτόμενων, τότε:

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \omega=\frac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}=\frac{|-y_1^2+px_1|}{\sqrt{y_1^2+x_1^2}\sqrt{y_1^2+p^2}}=\frac{|-2px_1+px_1|}{\sqrt{R^2}\sqrt{2px_1+p^2}}=\frac{|-px_1|}{R\sqrt{2px_1+p^2}}\overset{p,x_1>0}=\frac{px_1}{R\sqrt{2px_1+p^2}}\overset{(2)}=\frac{px_1}{ap\sqrt{2px_1+p^2}}=}$

$\displaystyle{=\frac{x_1}{a\sqrt{2px_1+p^2}}\overset{(1)}=\frac{p+\sqrt{p^2+R^2}}{a\sqrt{2p^2+2p\sqrt{p^2+R^2}+p^2}}=\frac{p+\sqrt{p^2+R^2}}{a\sqrt{3p^2+2p\sqrt{p^2+R^2}}}\overset{(2)}=\frac{p+\sqrt{p^2+a^2p^2}}{a\sqrt{3p^2+2p\sqrt{p^2+a^2p^2}}}\overset{p>0}=\frac{p+p\sqrt{1+a^2}}{ap\sqrt{3+2\sqrt{1+a^2}}}=}$

$\displaystyle{=\frac{1+\sqrt{1+a^2}}{a\sqrt{3+2\sqrt{1+a^2}}}}$ : σταθερό.

alexandropoulos · #249

STOPJOHN έγραψε:Καλημέρα κ.alexadropoule το σημείο που βρίσκεται ; σαν να έπεσε από τον ουρανό....
Γιάννης
Ακόμη τι σημαίνει ευθεία κάθετη στην έλλειψη;

To

είναι το σημείο τομής των δύο κωνικών. Ευθεία κάθετη σε έλλειψη και γενικότερα σε κάθε κωνική ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη στην εφαπτομένη της κωνικής στο σημείο επαφής.

Γιώργος Απόκης · #250

pito έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 76 ( απλή!)
Δίνεται η παραβολή η οποία έχει άξονα συμμετρίας τον και διέρχεται από το σημείο . Να βρείτε:
α) την εξίσωση της παραβολής
β) την εστία και τη διευθετούσα $\delta$ της παραβολής .
γ) σημείο της παραβολής διαφορετικό του , ώστε τα σημεία να είναι συνευθειακά.

α) Η παραβολή είναι της μορφής y^2=2px

και αφού διέρχεται από το

, είναι $64=-16p\Leftrightarrow p=-4$ , άρα C:y^2=-8x

.

β) H εστία είναι $\displaystyle{E\left(\frac{p}{2},0\right)}$ ή $\displaystyle{E\left(-2,0\right)}$ και η διευθετούσα : $\displaystyle{x=-\frac{p}{2}}$ ή $\displaystyle{x=2}$ .

γ) Η ευθεία

έχει συντελεστή διεύθυνσης $\displaystyle{\lambda=\frac{8-0}{-8+2}=-\frac{4}{3}}$ και εξίσωση : $\displaystyle{y=-\frac{4}{3}(x+2)}$ . Για το

λύνουμε το σύστημα C,AE

.

Αντικαθιστούμε και έχουμε : $\displaystyle{\left(-\frac{4}{3}x-\frac{8}{3}\right)^2=-8x\Leftrightarrow \frac{16}{9}x^2+\frac{64}{9}x+\frac{64}{9}=-8x\Leftrightarrow 16x^2+64x+64=-72x\Leftrightarrow 16x^2+136x+64=0\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 2x^2+17x+8=0\Leftrightarrow x=-8~\acute{\eta}~x=-\frac{1}{2}}}$ . Άρα, $\displaystyle{B\left(-\frac{1}{2},-2\right)}$ .

Γιώργος Απόκης · #251

Μένουν χωρίς λύση :

(δ, ε) και

. Για να συμπληρωθεί η παραβολή χρειάζονται οι 77,79

.

ΖΩΗ · #252

Άσκηση 77

1. Aν

είναι σημείο της παραβολής $\displaystyle{y^2 =2x}$ , να δειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $\displaystyle{N}$ του επιπέδου για τα οποία ισχύει $\displaystyle{\overrightarrow{ON} = 4 \,\overrightarrow{OM}}$ είναι επίσης παραβολή.

2. Να βρεθούν η εστία της, η διευθετούσα της και η απόστασή τους.

3. Να βρεθεί η εξίσωση της χορδής της παραβολής που έχει μέσο το σημείο $\displaystyle{A(3,2)}$ .

Γιώργος Απόκης · #253

ΖΩΗ έγραψε:Άσκηση 77
1. Aν είναι σημείο της παραβολής $\displaystyle{y^2 =2x}$ , να δειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $\displaystyle{N}$ του επιπέδου για τα οποία ισχύει $\displaystyle{\overrightarrow{ON} = 4 \,\overrightarrow{OM}}$ είναι επίσης παραβολή.
2. Να βρεθούν η εστία της, η διευθετούσα της και η απόστασή τους.
3. Να βρεθεί η εξίσωση της χορδής της παραβολής που έχει μέσο το σημείο $\displaystyle{A(3,2)}$ .

1. Έστω

. Τότε ισχύει : $\displaystyle{y_1^2=2x_1\Leftrightarrow x_1=\frac{y_1^2}{2}}$ . Έχουμε : $\displaystyle{\overrightarrow{OM}=4\overrightarrow{ON}\Leftrightarrow (x_2,y_2)=4(x_1,y_1)\Leftrightarrow (x_2,y_2)=\left(\frac{4y_1^2}{2},4y_1\right)\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \begin{cases} x_2=2y_1^2 \\y_2=4y_1 \end{cases}}$ και με απαλοιφή του y_1

έχουμε

, άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι η παραβολή C_2:y^2=8x

.

2. H παραβολή έχει εστία E(2,0)

, διευθετούσα x=-2

και η απόστασή τους είναι 2|p|=4

.

3. H χορδή δε μπορεί να είναι κατακόρυφη γιατί τότε το μέσο της θα ήταν σημείο του x'x

. Έστω

τα άκρα της.

Τότε $\displaystyle{\lambda_{KL}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$ (1). Το M(3,2)

είναι μέσο της χορδής, άρα ισχύει $y_1+y_2=2y_M\Leftrightarrow y_1+y_2=4$ (2). Ισχύουν : y_1^2=8x_1,y_2^2=8x_2

.

Mε αφαίρεση κατά μέλη : $\displaystyle{y_2^2-y_1^2=8x_2-8x_1\Leftrightarrow (y_2+y_1)(y_2-y_1)=8(x_2-x_1)\Leftrightarrow \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{8}{y_1+y_2}\overset{(1),(2)}\Leftrightarrow \lambda_{KL}=2}$ .

H ευθεία διέρχεται από το

, άρα θα έχει εξίσωση : y-2=2(x-3)

ή

.

#254

ΑΣΚΗΣΗ 82
Δίνεται η εξίσωση : $\frac{x^2}{k+2}+\frac{y^2}{2k-2}= 1$ (1)
i) Να βρεθούν οι τιμές του $k\in R$ για τις οποίες η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο.
ii) Να βρεθούν οι τιμές του $k\in R$ για τις οποίες η εξίσωση (1) παριστάνει έλλειψη.
Σε κάθε μία περίπτωση να βρεθούν τα στοιχεία της αντίστοιχης κωνικής.

Χρήστος

Μάκης Χατζόπουλος · #255

xr.tsif έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 82
Δίνεται η εξίσωση : $\frac{x^2}{k+2}+\frac{y^2}{2k-2}= 1$ (1)
i) Να βρεθούν οι τιμές του $k\in R$ για τις οποίες η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο.
ii) Να βρεθούν οι τιμές του $k\in R$ για τις οποίες η εξίσωση (1) παριστάνει έλλειψη.
Σε κάθε μία περίπτωση να βρεθούν τα στοιχεία της αντίστοιχης κωνικής.

Χρήστος

α) Για να παριστάνει κύκλο πρέπει: $\kappa + 2 = 2\kappa - 2 > 0$ δηλαδή $\kappa = 4$ δηλαδή εξίσωση γίνεται

${x^2} + {y^2} = 6$ που παριστάνει κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα $\rho = \sqrt 6$

β) Αρχικά πρέπει:

$\begin{array}{l} \kappa + 2 > 0 \Leftrightarrow k > - 2 \\ 2\kappa - 2 > 0 \Leftrightarrow k > 1 \\ \end{array}$

άρα k > 1

Παριστάνει έλλειψη στις εξής δύο περιπτώσεις:

* Για $k + 2 > 2k - 2 \Leftrightarrow 1 < k < 4$ οι εστίες βρίσκονται στον άξονα x'x

, άρα

$\begin{array}{l} {a^2} = k + 2 \\ {b^2} = 2k - 2 \\ {\gamma ^2} = {a^2} - {b^2} = 4 - k \\ \end{array}$

οπότε οι εστίες έχουν συντεταγμένες $E'\left( { - \sqrt {4 - k} ,0} \right),\,\,\,E\left( {\sqrt {4 - k} ,0} \right)$

** Για $k + 2 < 2k - 2 \Leftrightarrow 4 < k$ οι εστίες βρίσκονται στον άξονα y'y

οπότε

$\begin{array}{l} {b^2} = k + 2 \\ {a^2} = 2k - 2 \\ {\gamma ^2} = {a^2} - {b^2} = k - 4 \\ \end{array}$

οι εστίες έχουν συντεταγμένες $E'\left( {0, - \sqrt {k - 4} } \right),\,\,\,E\left( {0,\sqrt {k - 4} } \right)$

KARKAR · #256

Άσκηση 79
Από σημείο

της παραβολής y^2=2px , p>0

, φέρω $AQ\perp yy'$ και στη συνέχεια $QT\perp OA$ ,

η οποία τέμνει τον

άξονα στο σημείο

.

1) Δείξτε ότι η θέση του

είναι ανεξάρτη από την επιλογή του σημείου

.

2) Αν η

τέμνει την παραβολή στο

, δείξτε ότι η γωνία $\widehat{AOB}$ είναι ορθή .

KARKAR · #257

Άσκηση 80
1) Δείξτε ότι κάθε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα xx'

, έχει με την παραβολή ένα ακριβώς κοινό σημείο .

2) Δίνεται η παραβολή y^2=4x

και το σημείο M(5,4)

. Βρείτε την εξίσωση ευθείας , που διέρχεται από το

και τέμνει την παραβολή σε σημεία A , B

, ώστε το

να είναι μέσο του

.

3) Αποδείξτε ότι η εφαπτομένη $\varepsilon$ της παραβολής , που είναι παράλληλη με την

, εφάπτεται της παραβολής

σε σημείο που έχει την ίδια τεταγμένη με το μέσο

. Δείξτε ότι το τελευταίο ισχύει γενικά .

alexandropoulos · #258

Ασκηση 83
Δίνεται η έλλειψη $\frac{\left( x-m\right)^2}{20}+\frac{\left(y-m \right)^2}{4}=1, m\epsilon R^*$ .
α. Να προσδιορισθούν οι εξισώσεις δύο ευθειών που εφάπτονται στην έλλειψη για κάθε $m\epsilon R^*$ .
β. Αν οι δύο προηγούμενες εφαπτόμενες σχηματίζουν με την ευθείες x=1

και

τετράπλευρο με εμβαδόν 32 τετ. μονάδες, να προσδιορισθεί η έλλειψη.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Γιώργος Απόκης · #259

KARKAR έγραψε:Άσκηση 80
1) Δείξτε ότι κάθε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα , έχει με την παραβολή ένα ακριβώς κοινό σημείο .
2) Δίνεται η παραβολή και το σημείο . Βρείτε την εξίσωση ευθείας , που διέρχεται από το
και τέμνει την παραβολή σε σημεία , ώστε το να είναι μέσο του .
3) Αποδείξτε ότι η εφαπτομένη $\varepsilon$ της παραβολής , που είναι παράλληλη με την , εφάπτεται της παραβολής
σε σημείο που έχει την ίδια τεταγμένη με το μέσο . Δείξτε ότι το τελευταίο ισχύει γενικά .

1) Έστω

η ευθεία. Για τα κοινά σημεία λύνουμε το σύστημα με την y^2=2px

και προκύπτει $\displaystyle{a^2=2px\Leftrightarrow x=\frac{a^2}{2p}}$ άρα τέμνονται

σε μοναδικό σημείο, το $\displaystyle{\left(\frac{a^2}{2p},a\right)}$

2) H χορδή δε μπορεί να είναι κατακόρυφη γιατί τότε το μέσο της θα ήταν σημείο του x'x

. Έστω

τα άκρα της.

Τότε $\displaystyle{\lambda_{AB}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$ (1). Το M(5,4)

είναι μέσο της χορδής, άρα ισχύει $y_1+y_2=2y_M\Leftrightarrow y_1+y_2=8$ (2). Ισχύουν : y_1^2=4x_1,y_2^2=4x_2

.

Mε αφαίρεση κατά μέλη : $\displaystyle{y_2^2-y_1^2=4x_2-4x_1\Leftrightarrow (y_2+y_1)(y_2-y_1)=4(x_2-x_1)\Leftrightarrow \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{4}{y_1+y_2}\overset{(1),(2)}\Leftrightarrow \lambda_{AB}=\frac{1}{2}}$ .

H ευθεία διέρχεται από το

, άρα θα έχει εξίσωση : $\displaystyle{y-4=\frac{1}{2}(x-5)}$ ή $\displaystyle{y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}}$ .

3) Η εξίσωση της εφαπτομένης στο S(x_o,y_o)

είναι :

και αφού δεν είναι κατακόρυφη, έχει $\displaystyle{\lambda=\frac{2}{y_o}}$ .

Για να είναι παράλληλη στη χορδή : $\displaystyle{\lambda=\lambda_{AB}\Leftrightarrow \frac{2}{y_0}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow y_o=4=y_M}$ άρα τα σημεία S,M

έχουν ίδια τεταγμένη.

Για το γενικό συμπέρασμα:

Έστω η παραβολή C:y^2=2px

και τα διαφορετικά σημεία της A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)

. Η χορδή

έχει μέσο το σημείο M(x_M,y_M)

.

$\bullet$ Aν η χορδή είναι κατακόρυφη, τότε το μέσο είναι σημείο του άξονα x'x

και η εφαπτομένη είναι κατακόρυφη, άρα εφάπτεται

στην κορυφή της παραβολής, δηλαδή το συμπέρασμα ισχύει.

$\bullet$ Αν η χορδή δεν είναι κατακόρυφη, τότε : $\displaystyle{\lambda_{AB}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$ (1) και y_1+y_2=2y_M

(2). Ισχύουν : y_1^2=2px_1,y_2^2=2px_2

.

Mε αφαίρεση κατά μέλη : $\displaystyle{y_2^2-y_1^2=2px_2-2px_1\Leftrightarrow (y_2+y_1)(y_2-y_1)=2p(x_2-x_1)\Leftrightarrow \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{2p}{y_1+y_2}\overset{(1),(2)}\Leftrightarrow \lambda_{AB}=\frac{p}{y_M}}$ .

Η εξίσωση της εφαπτομένης στο S(x_o,y_o)

είναι :

και αφού δεν είναι κατακόρυφη, έχει $\displaystyle{\lambda=\frac{p}{y_o}}$ .

Για να είναι παράλληλη στη χορδή : $\displaystyle{\lambda=\lambda_{AB}\Leftrightarrow \frac{p}{y_o}=\frac{p}{y_M}\Leftrightarrow y_o=y_M}$ άρα τα σημεία S,M

έχουν ίδια τεταγμένη.

#260

KARKAR έγραψε:Άσκηση 79
Από σημείο της παραβολής , φέρω $AQ\perp yy'$ και στη συνέχεια $QT\perp OA$ ,

η οποία τέμνει τον άξονα στο σημείο .

1) Δείξτε ότι η θέση του είναι ανεξάρτη από την επιλογή του σημείου .

2) Αν η τέμνει την παραβολή στο , δείξτε ότι η γωνία $\widehat{AOB}$ είναι ορθή .

: 1.png (20.31 KiB) Προβλήθηκε 963 φορές

1) Έστω $\displaystyle{ A\left( {x_0 ,y_0 } \right)\mathop \to \limits^{A \in \left( C \right):y^2 = 2px \to y_0^2 = 2px_0 \to x_0 = \frac{{y_0^2 }} {{2p}}} \boxed{A\left( {\frac{{y_0^2 }} {{2p}},y_0 } \right)} }$ . Επειδή είναι $\displaystyle{ AQ \bot y'y \Rightarrow Q\left( {0,y_0 } \right) }$

Αν $\displaystyle{ A \ne O \Rightarrow \lambda _{OA} = \frac{{y_0 }} {{\frac{{y_0^2 }} {{2p}}}} \Rightarrow \lambda _{OA} = \frac{{2p}} {{y_0 }}\mathop \Rightarrow \limits^{QT \bot OA} \lambda _{QT} = - \frac{{y_0 }} {{2p}} \Rightarrow \boxed{\left( {QT} \right):y - y_0 = - \frac{{y_0 }} {{2p}}x}:\left( 1 \right) }$

Για $\displaystyle{ y = 0\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} - y_0 = - \frac{{y_0 }} {{2p}}x \Rightarrow x_S = 2p \Rightarrow \boxed{S\left( {2p,0} \right)} }$ σταθερή θέση (ανεξάρτητο του $\displaystyle{ y_0 }$ ).

2) Έστω $\displaystyle{ B\left( {x_B ,y_B } \right)\mathop \to \limits^{B \in \left( C \right):y^2 = 2px} \ldots \boxed{B\left( {\frac{{y_B^2 }} {{2p}},y_B } \right)} }$ . Επειδή $\displaystyle{ A,S,B }$ συνευθειακά θα ισχύει:

$\displaystyle{ \overrightarrow {SA} \parallel \overrightarrow {SB} \Leftrightarrow \det \left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} } \right) = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{\overrightarrow {SA} = \left( {\frac{{y_0^2 }} {{2p}} - 2p,y_0 } \right),\overrightarrow {SB} = \left( {\frac{{y_B^2 }} {{2p}} - 2p,y_B } \right),} \left| {\begin{array}{*{20}c} {\frac{{y_0^2 }} {{2p}} - 2p} & {y_0 } \\ {\frac{{y_B^2 }} {{2p}} - 2p} & {y_B } \\ \end{array} } \right| = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \frac{{y_0^2 y_B }} {{2p}} - 2py_B - \frac{{y_B^2 y_0 }} {{2p}} + 2py_0 = 0 \Leftrightarrow }$ $\displaystyle{ \frac{{y_0 y_B }} {{2p}}\left( {y_0 - y_B } \right) + 2p\left( {y_0 - y_B } \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {y_0 - y_B } \right)\left[ {\frac{{y_0 y_B }} {{2p}} + 2p} \right] = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{y_0 \ne y_B (\varepsilon \tau \varepsilon \rho o\sigma \eta \mu o\iota )} \frac{{y_0 y_B }} {{2p}} + 2p = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \boxed{y_0 y_B = - 4p^2 }:\left( 2 \right) }$

Είναι $\displaystyle{ \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} = \frac{{y_0^2 }} {{2p}} \cdot \frac{{y_B^2 }} {{2p}} + y_0 y_B = \frac{{\left( {y_0 y_B } \right)^2 }} {{4p^2 }} + \left( {y_0 y_B } \right) = \frac{{\left( {y_0 y_B } \right) \cdot \left[ {y_0 y_B + 4p^2 } \right]}} {{4p^2 }}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right):y_0 y_B = - 4p^2 \Rightarrow y_0 y_B + 4p^2 = 0} \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} = 0 \Rightarrow }$ $\displaystyle{ \overrightarrow {OA} \bot \overrightarrow {OB} \Rightarrow \boxed{\widehat{AOB} = 90^0 } }$

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μέλη σε σύνδεση