Παραγοντικό (Β-ΛΥΚ-ΚΑΤ)

mathxl · #1

Μία άσκηση για εξοικείωση με το σύμβολο του παραγοντικού

Να λυσετε την παρακάτω εξίσωση ως προς n, όπου n φυσικός αριθμός.
$\displaystyle{ n!+n=n^{3} }$

Εως 15-02-2010 . Μαθηματικά κατεύθυνσης Β λυκείου

Dreamkiller · #2

Διαιρώντας με το

έχουμε $(n-1)! = n^2 - 1 \Leftrightarrow (n-2)! = n+1$
(διέγραψα το n-1

διότι προφανώς για n=1

δεν ισχύει το ζητούμενο και άρα υποθέτω ότι n>1

)
Θέτω

και άρα

, με

φυσικό.
Θα αποδείξω επαγωγικά ότι x! > x+3

για κάθε $x\geq4$
Για x=4

ισχύει.
Έστω ότι ισχύει για x=k

. Θα δείξω ότι ισχύει και για x=k+1

. Έτσι:
$k! > k+3 \Leftrightarrow (k+1)! > k(k+1) + 3(k+1) \Leftrightarrow (k+1)! > k^2 + 4k + 3$
Αρκεί τώρα να δείξω ότι $k^2 + 4k + 3>k+3 \Leftrightarrow k^2 +3k >0$ , που ισχύει αφού μιλάμε για θετικούς ακέραιους.
Αρκεί τώρα να ελέγξω για x<4

. Για

ισχύει άρα n-2 = 3

άρα

mathxl · #3

Ωραία Dreamkiller
Δες μία άλλη προσέγγιση
Αφού δείξουμε ότι το 0 και 1 δεν είναι λύσεις τότε μπορούμε να γράψουμε
$\displaystyle{\begin{array}{l} n! + n = {n^3} \Leftrightarrow \\ \left( {n - 1} \right)! + 1 = {n^2} \Leftrightarrow \\ \left( {n - 2} \right)! = n + 1 \Leftrightarrow \\ \left( {n - 2} \right)! - \left( {n - 2} \right) = 3 \Leftrightarrow \\ \left( {n - 2} \right)\left[ {\left( {n - 3} \right)! - 1} \right] = 3 \Leftrightarrow \\ \left( {n - 2 = 1 \wedge \left( {n - 3} \right)! - 1 = 3} \right) \vee \left( {n - 2 = 3 \wedge \left( {n - 3} \right)! - 1 = 1} \right) \Leftrightarrow \\ \left( {n = 3 \wedge 0 = 3} \right) \vee \left( {n = 5 \wedge 1 = 1} \right) \\ \end{array}}$
οπότε ν=5

Stavroulitsa · #4

Καλησπέρα, έχω μια ερώτηση: Πόσο κάνει 0!=?
Διότι κύριε mathxl στη λύση που δίνετε στο τέλος λετε στην 1η περιπτωση ότι (n-3)!-1=3

και

άρα $(3-3)!-1=3\Leftrightarrow 0!-1=3$ αλλά εσείς για να απορρίψετε την πρόταση έχετε 0=3 όμως με τι ισούτε το 0! ώστε 0!-1=0 ; Συγνώμη αλλά δεν ξέρω και ρωτάω.

Ωmega Man · #5

Stavroulitsa · #6

Α! Ευχαριστώ πάρα πάρα πολύ! Γιατί ομως 0!=1;
ΥΓ. Ελπίζω να μην γίνομαι κουραστική.

Ωmega Man · #7

Το ν! μας δίνει το πλήθος των μεταθέσεων ν στοιχειών(δηλαδή με πόσους τρόπους μπορούμε να βάλουμε ν στοιχεία το ένα δίπλα στο άλλο). Αν και όλοι το χρησιμοποιούν χωρίς απόδειξη , είναι σαν να λες ότι τα 0 στοιχεία μπορούνε να μετατεθούν με 1 μόνο τρόπο.

Stavroulitsa · #8

Α! Κατάλαβα! Ευχαριστώ πάρα πάρα πάρα πολύ!

Παραγοντικό (Β-ΛΥΚ-ΚΑΤ)

Παραγοντικό (Β-ΛΥΚ-ΚΑΤ)

Re: Παραγοντικό

Re: Παραγοντικό

Re: Παραγοντικό

Re: Παραγοντικό

Re: Παραγοντικό

Re: Παραγοντικό

Re: Παραγοντικό

Μέλη σε σύνδεση