Άθροισμα διαιρετό με άθροισμα

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #1

Καλημέρα

Αν μ και ν φυσικοί, και ν περιττός να δειχθεί ότι το άθροισμα $\displaystyle{\displaystyle S = {1^\mu } + {2^\mu } + {3^\mu } + ... + {(4\nu + 2)^\mu }}$ είναι διαιρετό από το άθροισμα $\displaystyle{\displaystyle \Sigma = 1 + 2 + 3 + ... + (4\nu + 2)}$ .

Θωμάς

#2

Καλησπέρα!
Για ν=1 και μ=2 δεν ισχύει!
Μάλλον έχει γίνει κάποιο τυπογραφικό λάθος!

Νίκος

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #3

nkatsipis έγραψε:Καλησπέρα!
Για ν=1 και μ=2 δεν ισχύει!
Μάλλον έχει γίνει κάποιο τυπογραφικό λάθος!

Νίκος

Καλησπέρα.
Σωστά το μ είναι περιτός, οπότε το λάθος είναι δεδομένο και η συγνώμη αναγκαία.
Έγινε και η διόρθωση στην αρχική εκφώνηση
Νίκο ευχαριστώ
Θωμάς

Dreamkiller · #4

Από τον γνωστό τύπο για το άθροισμα των $\nu$ πρώτων ακεραίων παίρνουμε ότι $\Sigma= \frac {(4\nu+2)(4\nu+3)}{2} = (2\nu +1)(4\nu +3)$
Στο

εφαρμόζουμε το τέχνασμα του Gauss (τον πρώτο με τον τελευταίο κ.λ.π.) έχοντας υπόψιν ότι $1 + (4\nu + 2)^ {\mu} = (4\nu + 3)^{\mu}[(4\nu + 2)^{\mu} - ..... -1)$ .
Έχουμε $\frac {(4\nu +2)}{2} = 2\nu + 1$ τέτοιους όρους άρα το

είναι της μορφής $(2\nu +1)(4\nu +3)... = \Sigma ....$

Άρα το ζητούμενο ισχύει.

Υπάρχει κάποιος γενικός τύπος για το

ανεξαρτήτως αν ο $\mu$ είναι άρτιος ή περιττός;

#5

Dreamkiller έγραψε:Υπάρχει κάποιος γενικός τύπος για το ανεξαρτήτως αν ο $\mu$ είναι άρτιος ή περιττός;

Ο τύπος είναι ο

$\displaystyle1^{\mu}+2^{\mu}+\ldots+\nu^{\mu}=\\ \\ \frac{\nu^{\mu+1}}{\mu+1}+\frac{\nu^{\mu}}{2}+\frac{b_{2}}{2}\binom{\mu}{1}\nu^{\mu-1}+\frac{b_{3}}{3}\binom{\mu}{2}\nu^{\mu-2}+\ldots+\frac{b_{\mu}}{\mu}\binom{\mu}{\mu-1}\nu^{1}$

ή συντομότερα:

$\displaystyle\sum_{k=1}^{\nu}k^{\mu}=\frac{\nu^{\mu+1}}{\mu+1}+\frac{\nu^{\mu}}{2}+\sum_{k=2}^{\mu}\frac{b_{k}}{k}\binom{\mu}{k-1}\nu^{\mu-k+1}$ ,
όπου $b_{k}$ είναι οι αριθμοί Bernoulli

.

(Δείτε ακόμα και Michael Spivak Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης $4^{\eta}$ έκδοση σελ. 479 πρόβλημα 26-17.)

Άθροισμα διαιρετό με άθροισμα

Άθροισμα διαιρετό με άθροισμα

Re: Άθροισμα διαιρετό με άθροισμα

Re: Άθροισμα διαιρετό με άθροισμα

Re: Άθροισμα διαιρετό με άθροισμα

Re: Άθροισμα διαιρετό με άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση