2Η ΠΡΟΚΑΤΑΡΤΙΚΗ ΦΑΣΗ 1995 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

#1

Θέμα 1ο
α) Αν $a,b\in\mathbb{N}^{\star}$ να αποδείξετε ότι $\dfrac{a+2^{601}}{a+3^{400}}<\dfrac{b+5^{150}}{b+11^{100}}$
β) Αν $a,b,c\in\mathbb{R}$ και a+2b+4c=0

να αποδείξετε ότι $b^2\geq 4a(b+c)$ .

Θέμα 2ο
α) Να προσδιορίσετε πολυώνυμο P(x)

2ου βαθμού που έχει τις ιδιότητες:
i) Διαιρούμενο με x+1

δίνει υπόλοιπο 32.
ii) Το άθροισμα των συντελεστών του είναι 12 και ο σταθερός όρος 10.
β) Να προσδιορίσετε πολυώνυμο Q(x)

4ου βαθμού ώστε:
Q(x-1)-2Q(x)+Q(x+1)=P(x)

γ) Να υπολογίσετε το $P(1)+P(2)+\cdots + P(n)$ όπου $n\in\mathbb{N}^{\star}$ .

Θέμα 3ο
α) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 10^n

( $n\geq 2$ ) είναι άθροισμα δύο τετραγώνων.
β) Στο σύστημα αρίθμησης με βάση τον αριθμό

(

) ισχύει:
i) Ο αριθμός (121)_x

είναι τέλειο τετράγωνο.
ii) Ο αριθμός (1331)_x

είναι τέλειος κύβος.
iii) Ο αριθμός (14641)_x

είναι τέλεια τέταρτη δύναμη.

Θέμα 4ο
α) Πόσοι αριθμοί μεγαλύτεροι του 2000 κατασκευάζονται από τα ψηφία 0,1,3,5,7 ;
β) Πόσοι αριθμοί με διαφορετικά ψηφία μεγαλύτεροι από το 2000 κατασκευάζονται από τα ψηφία 0,1,3,5,7;

Αλέξανδρος

Ch.Chortis · #2

cretanman έγραψε:Θέμα 1ο
α) Αν $a,b\in\mathbb{N}^{\star}$ να αποδείξετε ότι $\dfrac{a+2^{601}}{a+3^{400}}<\dfrac{b+5^{150}}{b+11^{100}}$
...
Θέμα 4ο
α) Πόσοι αριθμοί μεγαλύτεροι του 2000 κατασκευάζονται από τα ψηφία 0,1,3,5,7 ;
β) Πόσοι αριθμοί με διαφορετικά ψηφία μεγαλύτεροι από το 2000 κατασκευάζονται από τα ψηφία 0,1,3,5,7;

Αλέξανδρος

Θέμα 1οΔε ξέρω τι στο καλό έχει συμβεί με τη σύνδεσή μου (τρίτη φορά προσπαθώ να λύσω την άσκηση, με το LATEX να μου κάνει κόλπα για την ώρα).
Αν $\displaystyle x>y \Rightarrow x+a>x+y \Rightarrow \frac {x+a} {y+a} >1$ .Αν $\displaystyle x<y \Rightarrow x+b<y+b \Rightarrow \frac {x+b} {y+b} <1$ .Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε (αντικαθιστώντας τις μεταβλητές με αριθμούς) οτι $\displaystyle \frac {2^{601}} {3^{400}} <1 , \frac {5^{150}} {11^{100}} >1$ .
Παίρνουμε $\displaystyle \frac {2^{601}} {3^{400}}=2\frac {2^{600}} {3^{400}}=2\left (\frac {2^3} {3^2} \right)^{200}=2\left (\frac {8} {9} \right)^{200} <1 \Rightarrow \frac {a+2^{601}} {a+3^{400}} <1$ και $\displaystyle \frac {5^{150}} {11^{100}}=\left (\frac {5^3} {11^2} \right)^{50}=\left (\frac {125} {121} \right)^{50} >1 \Rightarrow \frac {b+5^{150}} {b+11^{100}} >1$ .Καταλήγουμε στη σχέση: $\displaystyle \frac {a+2^{601}} {a+3^{400}} <1< \frac {b+5^{150}} {b+11^{100}}$ (αποδείχτηκε).
Θέμα 4οα)άπειροι (μπορούμε να βάλουμε άπειρα

άρια,άπειρα

,άπειρα

άρια και

άρια).
β)Νομίζω οτι χρειάζεται μία διευκρίνηση:Οι αριθμοί που ψάχνουμε είναι ακέραιοι ή όχι(μπορεί να είναι και δεκαδικοί);

spiros filippas · #3

cretanman έγραψε:Θέμα 1οβ) Αν $a,b,c\in\mathbb{R}$ και να αποδείξετε ότι $b^2\geq 4a(b+c)$

Είναι $a+2b+4c=0 \Rightarrow a^2+2ab+4ac=0~~(1)$

Θέλουμε $b^2\geq4ab+4ac \Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\geq a^2+2ab+4ac=0$ από την (1)

το ζητούμενο έπεται από την $(a-b)^2\geq 0$

Ch.Chortis · #4

cretanman έγραψε: Θέμα 2ο
α) Να προσδιορίσετε πολυώνυμο 2ου βαθμού που έχει τις ιδιότητες:
i) Διαιρούμενο με δίνει υπόλοιπο 32.
ii) Το άθροισμα των συντελεστών του είναι 12 και ο σταθερός όρος 10.
Αλέξανδρος

Το πολυώνυμο που ψάχνουμε είναι της μορφής: $\displaystyle ax^2+(2-a)x+10=P(x)$ .Κάνοντας Ευκλείδια Διαίρεση του P(x)

με το

( $\Delta =\delta \pi +u$ είναι ο τύπος,με $\Delta=P(x),x+1=\delta,u=32$ ) βρίσκουμε: $\displaystyle u=2a+8 \Leftrightarrow 2a+8=32 \Leftrightarrow 2a=24 \Leftrightarrow a=12$ .
Άρα το πολυώνυμό μας είναι το $\displaystyle P(x)=12x^2+(2-12)x+10=12x^2-10x+10=2(6x^2-5x+5)$
ΥΓ:Δεν μπόρεσα να κάνω την Ευκλείδια Διαίρεση με LATEX τελικά

...
Eυχαριστώ τον κύριο ΔΗΜΗΤΡΗ.

#5

cretanman έγραψε: Θέμα 3ο
α) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός ( $n\geq 2$ ) είναι άθροισμα δύο τετραγώνων.
β) Στο σύστημα αρίθμησης με βάση τον αριθμό () ισχύει:
i) Ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο.
ii) Ο αριθμός είναι τέλειος κύβος.
iii) Ο αριθμός είναι τέλεια τέταρτη δύναμη.

(α) Αν

είναι περιττός τότε έχουμε $10^{2m+1} = (3\cdot 10^m)^2 + (10^m)^2$ . Αν n=2m

άρτιος τότε έχουμε $10^{2m} = (10^m)^2 + 0^2$ . Αν απαγορεύεται να χρησιμοποιήσουμε το

τότε μπορούμε να γράψουμε $10^{2m} = (6\cdot 10^{m-1})^2 + (8 \cdot 10^{m-1})^2$ .

(β) Έχουμε (121)_x = 1 + 2x + x^2 = (x+1)^2

. Ομοίως

και

.

#6

cretanman έγραψε: Θέμα 4ο
α) Πόσοι αριθμοί μεγαλύτεροι του 2000 κατασκευάζονται από τα ψηφία 0,1,3,5,7 ;
β) Πόσοι αριθμοί με διαφορετικά ψηφία μεγαλύτεροι από το 2000 κατασκευάζονται από τα ψηφία 0,1,3,5,7;

Το (α) έχει ήδη απαντηθεί πιο πάνω. Μπορούμε να κατασκευάσουμε άπειρους τέτοιους αριθμούς. Για το (β) αν ο αριθμός θα είναι πενταψήφιος, για το πρώτο ψηφίο έχουμε 4 επιλογές (το 0 απαγορεύεται) για το δεύτερο 4 επιλογές (απαγορεύεται να ξαναεπιλέξουμε το πρώτο) για το τρίτο 3 κ.τ.λ. Συνολικά έχουμε $4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 96$ πενταψήφιους αριθμούς με την ζητούμενη ιδιότητα. Αν είναι τετραψήφιος τότε για το πρώτο ψηφίο έχουμε 3 επιλογές (τα 0,1 απαγορεύονται) για το δεύτερο 4 κ.τ.λ. Συνολικά έχουμε $3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 72$ επιλογές. Άρα τελικά υπάρχουν 96+72 = 168

τέτοιοι αριθμοί.

#7

cretanman έγραψε:
Θέμα 2ο
β) Να προσδιορίσετε πολυώνυμο 4ου βαθμού ώστε:

γ) Να υπολογίσετε το $P(1)+P(2)+\cdots + P(n)$ όπου $n\in\mathbb{N}^{\star}$ .

Για να ολοκληρωθεί και το 2ο θέμα και με τη βοήθεια της απάντησης Ch.Chortis

Ch.Chortis έγραψε: Άρα το πολυώνυμό μας είναι το $\displaystyle P(x)=12x^2+(2-12)x+10=12x^2-10x+10=2(6x^2-5x+5)$

έχουμε:

β) Θέτουμε . Τότε οπότε με εξίσωση των συντελεστών βγάζουμε ότι $a=12, b=-\dfrac{5}{3}, c=4$ οπότε το ζητούμενο πολυώνυμο είναι το $Q(x)=12x^4-\dfrac{5}{3}x^3+4x^2+dx+e$ με αυθαίρετα.

γ)
Είναι $\begin{aligned}P(1)+P(2)+\cdots + P(n) &= 12\left(1^2+2^2+\cdots + n^2\right)-10\left(1+2+\cdots + n\right)+10n \\ &=12\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}-10\dfrac{n(n+1)}{2}+10n \\ &= 4n^3+n^2+7n\end{aligned}$ .

Αλέξανδρος