ΘΕΜΑ 1

AGIOS_VASILIS · #1

Να αποδείξετε ότι $e^{-\frac{x^{2}}{2}} \geq cosx$ για κάθε $x\epsilon [0, \pi ]$ .

#2

...στην εμπνεύση του άγιου, μία προσπάθεια...

Προφανώς για $x\in [\frac{\pi }{2},\,\,\,\pi ]$ η ανισότητα ισχύει αφού $\cos x\le 0$ και ${{e}^{-\frac{{{x}^{2}}}{2}}}>0$

Για $x\in [0,\,\,\,\frac{\pi }{2})$ αφού $\cos x>0$ ισοδύναμα αρκεί να δείξουμε ότι $\ln ({{e}^{-\frac{{{x}^{2}}}{2}}})\ge \ln (cosx)\Leftrightarrow -\frac{{{x}^{2}}}{2}\ge \ln (cosx)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \ln (\cos x)+\frac{{{x}^{2}}}{2}\le 0,\,\,\,\,x\in [0,\,\,\frac{\pi }{2})$ (1)

Θεωρώντας την συνάρτηση $f(x)=\ln (\cos x)+\frac{{{x}^{2}}}{2},\,\,\,x\in [0,\,\,\frac{\pi }{2})$ ισχύει ότι f(0)=0

και είναι παραγωγίσιμη με
${f}'(x)=-\frac{\sin x}{\cos x}+x=x-\tan x$

Επίσης {f}'(0)=0

και ${f}''(x)=1-\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}<0,\,\,\,\,x\in (0,\,\,\frac{\pi }{2})$ άρα η {f}'

είναι γνήσια φθίνουσα στο $[0,\,\,\,\frac{\pi }{2})$

οπότε θα ισχύει γιά x>0

ότι

άρα η

είναι γνήσια φθίνουσα στο

$[0,\,\,\,\frac{\pi }{2})$ άρα για x>0

ισχύει ότι f(x)<f(0)=0

άρα η (1) ισχύει.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΘΕΜΑ 1

ΘΕΜΑ 1

Re: ΘΕΜΑ 1

Μέλη σε σύνδεση