συνθήκη και άθροισμα Riemann

#1

Έστω $f:\,\left[{\alpha,\,\beta}\right]\longrightarrow\mathbb{R}$ μία συνάρτηση τέτοια ώστε, για $K\in\mathbb{R}^{+}$ και για κάθε $x,\,y$ στο $\left[{\alpha,\,\beta}\right]$ , να ισχύει: $\left|{f(x)-f(y)}\right|\leq{K}\,|{x-y}|$

α) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση

ικανοποιεί την συνθήκη τού $\rm{Riemann}$ για την ύπαρξη τού ορισμένου ολοκληρώματος.

β) Έστω

διαμέριση τού $\left[{\alpha,\,\beta}\right]$ με λεπτότητα ||{P}||

και έστω $S({P,\,f,\,\Xi})$ το άθροισμα τού $\rm{Riemann}$ πού αντιστοιχεί στην

για τυχούσα επιλογή ενδιαμέσων σημείων $\Xi$ τής

.
Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle\left|{S({P,\,f,\,\Xi})-\int_{\alpha}^{\beta}{f(x)\,dx}}\right|\leq{K}\,||{P}||\,({\beta-\alpha})$

ΛΗΜΜΑ: Έστω $f:\,\left[{\alpha,\,\beta}\right]\longrightarrow\mathbb{R}$ μία φραγμένη και ολοκληρώσιμη συνάρτηση. Για οποιαδήποτε διαμέριση

τού $\left[{\alpha,\,\beta}\right]$ καί γιά τυχούσα επιλογή ενδιαμέσων σημείων $\Xi$ τής

ισχύει: $\displaystyle\left|{S({P,\,f,\,\Xi})-\int_{\alpha}^{\beta}{f(x)\,dx}}\right|\leq{U({P,\,f})-L({P,\,f})}$ ,
όπου $U({P,\,f})$ καί $L({P,\,f})$ τό άνω καί κάτω άθροισμα τής

ως προς την διαμέριση

.

χρηστος ευαγγελινος · #2

στο α) η ουσια ειναι βεβαια να δειξουμε οτι μια ομοιομορφα συνεχης συναρτηση ειναι ολοκληρωσιμη κατα ριμαν κατι που ειναι απλο και περιεγχεται σε καθε βιβλιο απειροστικου λογισμου.

συμπληρωση:αν μια συναρτηση ειναι συνεχης στο [α,β] τοτε ειναι και ομοιομορφα συνεχης σ αυτο,αρα οι συνεχεις ειναι ολοκληρωσιμες,ενω το αντιστροφο δεν ισχυει.

και στο β) δειχνουμε οτι αν η συναρτηση ειναι ολοκληρωσιμη τοτε μπορουμε να ορισουμε το ολοκληρωμα ριμαν επιλεγοντας ενδιαμεσα σημεια της διαμερισης και εφαρμοζωντας παλι το κριτηριο ριμαν!!

βεβαιως σε καθε μετρικο χωρο μια συνεχης συναρτηση με συμπαγες πεδιο ορισμου ειναι ομοιομορφα συνεχης και τα κλειστα διαστηματα ειναι συμπαγη στους πραγματικους λογω του θεωρηματος heine-borel.

#3

Η άσκηση (άλυτη) είναι από τόν Απειρ. Λογισμό ΙΙ τού Σ. Ντούγια.

ΛΥΣΗ: Γιά τήν συνάρτηση $f:\left[{\alpha,\,\beta}\right]\longrightarrow\mathbb{R}$ καί γιά $K\in\mathbb{R}^{+}$ ισχύει:

$\left|{f(x)-f(y)}\right|\leq{K}\,|{x-y}|$ (1) γιά κάθε $x,\,y$ στό $\left[{\alpha,\,\beta}\right]$ .

α) Η συνάρτηση

ικανοποιεί τήν συνθήκη τού $\rm{Lipschitz}$ . Επομένως (*)

είναι ομοιόμορφα συνεχής στό $\left[{\alpha,\,\beta}\right]$ .
Άν $P=\left\lbrace{\alpha=x_0,\,x_1,\dots,\,x_{\nu}=\beta}\right\rbrace$ είναι διαμέριση τού $\left[{\alpha,\,\beta}\right]$ , τότε σέ κάθε διάστημα $\left[{x_{i-1},\,x_{i}}\right], \ {i}=1,2,\dots,\nu$ , η

παίρνει ελάχιστη καί μέγιστη τιμή, δηλαδή υπάρχουν $\rho_{i},\,\sigma_{i}$ στό $\left[{x_{i-1},\,x_{i}}\right]$ , τέτοια ώστε:
$\begin{array}{l} m_{i}=\mathop{\inf}\limits_{i}\left\lbrace{f(x):\,x\in\left[{x_{i-1},\,x_{i}}\right]}\right\rbrace=\mathop{\min}\limits_{i}\left\lbrace{f(x):\,x\in\left[{x_{i-1},\,x_{i}}\right]}\right\rbrace=f({\rho_{i}})\\\noalign{\vspace{0.2cm}} M_{i}=\mathop{\sup}\limits_{i}\left\lbrace{f(x):\,x\in\left[{x_{i-1},\,x_{i}}\right]}\right\rbrace=\mathop{\max}\limits_{i}\left\lbrace{f(x):\,x\in\left[{x_{i-1},\,x_{i}}\right]}\right\rbrace=f({\sigma_{i}})\,.\end{array}$
Επομένως
$M_{i}-m_{i}=\left|{f({\sigma_{i}})-f({\rho_{i}})}\right|\stackrel{(1)}{\leq}\,K\left|{\sigma_{i}-\rho_{i}}\right|\leq{K}\left|{x_{i}-x_{i-1}}\right|\leq{K}\norm{P}$ (2).

καί $U({P,\,f})-L({P,\,f})=\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{i=1}^{\nu}M_{i}\left({x_{i}-x_{i-1}}\right)-\mathop{\sum}\limits_{i=1}^{\nu}m_{i}\left({x_{i}-x_{i-1}}\right)=$
$\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{i=1}^{\nu}\left({M_{i}-m_{i}}\right)\left({x_{i}-x_{i-1}}\right)\stackrel{(2)}{\leq}\mathop{\sum}\limits_{i=1}^{\nu}K\norm{P}\left({x_{i}-x_{i-1}}\right)=$
$\displaystyle{K}\norm{P}\,\mathop{\sum}\limits_{i=1}^{\nu}\left({x_{i}-x_{i-1}}\right)=K\norm{P}\left({\beta-\alpha}\right)$ .
Γιά κάθε $\varepsilon>0$ , υπάρχει διαμέριση

μέ $\norm{P}<\tfrac{\varepsilon}{K\left({\beta-\alpha}\right)}$ , τέτοια ώστε νά ισχύει:
$U({P,\,f})-L({P,\,f})\leq{K}\norm{P}\left({\beta-\alpha}\right)<{K}\,\dfrac{\varepsilon}{K\left({\beta-\alpha}\right)}\left({\beta-\alpha}\right)=\varepsilon$ .
Άρα η συνάρτηση

ικανοποιεί τήν συνθήκη τού $\rm{Riemann}$ γιά τήν ύπαρξη τού ορισμένου ολοκληρώματος. $\square$

β) Από τό ΛΗΜΜΑ καί από τό α) προκύπτει ότι γιά τήν φραγμένη καί ολοκληρώσιμη συνάρτηση

, γιά τυχούσα διαμέριση

τού $\left[{\alpha,\,\beta}\right]$ καί γιά τυχούσα επιλογή ενδιαμέσων σημείων $\Xi$ τής

, ισχύει:
$\displaystyle\left|{S({P,\,f,\,\Xi})-\int_{\alpha}^{\beta}{f(x)\,dx}}\right|\leq{U({P,\,f})-L({P,\,f})}\leq{K}\,\norm{P}\,({\beta-\alpha})\,.\quad\square$

$(*)\displaystyle\,\left({\forall\,\varepsilon>0}\right)\left({\exists\,\delta=\tfrac{\varepsilon}{K}>0}\right)\left({\forall\,x,\,y\in\left[{\alpha,\,\beta}\right]}\right) \ |{x-y}|<\delta \ \Rightarrow$
$\left|{f(x)-f(y)}\right|\leq{K}\,|{x-y}|<{K}\,\delta={K}\,\frac{\varepsilon}{K}=\varepsilon$ .

συνθήκη και άθροισμα Riemann

συνθήκη και άθροισμα Riemann

Re: συνθήκη καί άθροισμα Riemann

Re: συνθήκη καί άθροισμα Riemann

Μέλη σε σύνδεση