Απόδειξη ύπαρξης σημείου (μόνο για μαθητές)

Ανδρέας Πούλος · #1

Με αφορμή τη συζήτηση που αναπτύχθηκε εδώ:

viewtopic.php?f=112&t=20919

Να αποδειχθεί με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των συνεχών συναρτήσεων ότι το πρόβλημα που έθεσε ο καλός φίλος Νίκος Κυριαζής έχει λύση.

Το πρόβλημα είναι το εξής:
Δίνεται μία ευθεία και τα διατεταγμένα σημεία της με .
Να αποδειχθεί ότι υπάρχει σημείο της τέτοιο ώστε να ισχύει:
$\frac{AC^{2}}{CB^{2}}= \frac{AD}{DB}$ .

Προθεσμία επίλυσης μέχρι την Παραμονή των Χριστουγέννων (εννοείται των φετεινών).

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Γιώργος Απόκης · #2

Eπαναφορά

parmenides51 · #3

επαναφορά

#4

Ελπίζω η επαναφορά να αφορά και μαθητές μεγαλύτερης ηλικίας!

Αν περιμένει ο Ανδρέας να δώσω απάντηση σύμφωνα με τις οδηγίες του ας κάνει υπομονή ως τα Χριστούγεννα (τα φετεινά...).

Τα σημεία A, B, C

μπορούν να διαταχθούν σε ευθεία με τρεις τρόπους: Το

μεταξύ των B, C

ή το

μεταξύ των A, C

ή το

μεταξύ των A, B

.

Αφού

δεν μπορεί το

να είναι μεταξύ των A, C

, αφού τότε θα ήταν AC > BC

Έστω το

μεταξύ των A, B

: 16-4-2012 Γεωμετρία.jpg (15.49 KiB) Προβλήθηκε 1472 φορές

Έστω $\displaystyle AC = a,\;\;BC = b$

Κατασκευάζουμε τα τετράγωνα $\displaystyle ACFE,\;\;CBHZ$ στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς (a)

Τότε $\displaystyle CE = a\sqrt 2 ,\;\;CH = b\sqrt 2$ .

Το $\displaystyle ECH$ είναι ορθογώνιο, αφού $\displaystyle \widehat{ECH} = \widehat{ECF} + \widehat{ZCH} = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$

Φέρνουμε το ύψος $\displaystyle CK$ , οπότε $\displaystyle \frac{{EC^2 }}{{CH^2 }} = \frac{{EK}}{{KH}} \Leftrightarrow \frac{{\left( {a\sqrt 2 } \right)^2 }}{{\left( {b\sqrt 2 } \right)^2 }} = \frac{{EK}}{{KH}}$ .

Φέρνουμε $\displaystyle KD \bot \left( a \right)$ , οπότε από Θ. Θαλή για $\displaystyle AE//KD//HB$ είναι $\displaystyle \frac{{EK}}{{KH}} = \frac{{AD}}{{BD}}$

Οπότε, τελικά, είναι $\displaystyle \frac{{AC^2 }}{{BC^2 }} = \frac{{AD}}{{BD}}$

Έστω το

μεταξύ των C, B

. Παίρνουμε το συμμετρικό

ως προς

.

Έστω $\displaystyle AC = a,\;\;BC = B'C = b$

: 16-4-2012 Γεωμετρία β.jpg (23.51 KiB) Προβλήθηκε 1472 φορές

Έστω το

μεταξύ των C, Β

. Παίρνουμε το συμμετρικό

ως προς

.

Έστω $\displaystyle AC = a,\;\;BC = B'C = b$

Τότε (ομοίως προς τα προηγούμενα) κατασκευάζουμε τα τετράγωνα $\displaystyle ACFE,\;\;CB'HZ$ στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς (a)

Τότε $\displaystyle CE = a\sqrt 2 ,\;\;CH = b\sqrt 2$ .

Το $\displaystyle ECH$ είναι ορθογώνιο, αφού $\displaystyle \widehat{ECH} = \widehat{ECF} + \widehat{ZCH} = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$

Φέρνουμε το ύψος $\displaystyle CK$ , οπότε $\displaystyle \frac{{EC^2 }}{{CH^2 }} = \frac{{EK}}{{KH}} \Leftrightarrow \frac{{\left( {a\sqrt 2 } \right)^2 }}{{\left( {b\sqrt 2 } \right)^2 }} = \frac{{EK}}{{KH}}$ .

Φέρνουμε $\displaystyle KD \bot \left( a \right)$ , οπότε από Θ. Θαλή για $\displaystyle AE//KD//HB$ είναι $\displaystyle \frac{{EK}}{{KH}} = \frac{{AD}}{{BD'}}$

Οπότε, τελικά, είναι $\displaystyle \frac{{AC^2 }}{{BC^2 }} = \frac{{AD}}{{BD'}}$

edit: Στην τελευταία σχέση ΔΙΟΡΘΩΣΑ αντί Δεν έχω ολοκληρώσει την απόδειξη για τη δεύτερη περίπτωση!

#5

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Ελπίζω η επαναφορά να αφορά και μαθητές μεγαλύτερης ηλικίας!

Αν περιμένει ο Ανδρέας να δώσω απάντηση σύμφωνα με τις οδηγίες του ας κάνει υπομονή ως τα Χριστούγεννα (τα φετεινά...).

Τα σημεία μπορούν να διαταχθούν σε ευθεία με τρεις τρόπους: Το μεταξύ των ή το μεταξύ των ή το μεταξύ των .

Αφού δεν μπορεί το να είναι μεταξύ των , αφού τότε θα ήταν

Έστω το μεταξύ των

16-4-2012 Γεωμετρία.jpg

Έστω $\displaystyle AC = a,\;\;BC = b$

Κατασκευάζουμε τα τετράγωνα $\displaystyle ACFE,\;\;CBHZ$ στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς

Τότε $\displaystyle CE = a\sqrt 2 ,\;\;CH = b\sqrt 2$ .

Το $\displaystyle ECH$ είναι ορθογώνιο, αφού $\displaystyle \widehat{ECH} = \widehat{ECF} + \widehat{ZCH} = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$

Φέρνουμε το ύψος $\displaystyle CK$ , οπότε $\displaystyle \frac{{EC^2 }}{{CH^2 }} = \frac{{EK}}{{KH}} \Leftrightarrow \frac{{\left( {a\sqrt 2 } \right)^2 }}{{\left( {b\sqrt 2 } \right)^2 }} = \frac{{EK}}{{KH}}$ .

Φέρνουμε $\displaystyle KD \bot \left( a \right)$ , οπότε από Θ. Θαλή για $\displaystyle AE//KD//HB$ είναι $\displaystyle \frac{{EK}}{{KH}} = \frac{{AD}}{{BD}}$

Οπότε, τελικά, είναι $\displaystyle \frac{{AC^2 }}{{BC^2 }} = \frac{{AD}}{{BD}}$

Έστω το μεταξύ των . Παίρνουμε το συμμετρικό ως προς .

Έστω $\displaystyle AC = a,\;\;BC = B'C = b$

16-4-2012 Γεωμετρία β.jpg
Έστω το μεταξύ των . Παίρνουμε το συμμετρικό ως προς .

Έστω $\displaystyle AC = a,\;\;BC = B'C = b$

Τότε (ομοίως προς τα προηγούμενα) κατασκευάζουμε τα τετράγωνα $\displaystyle ACFE,\;\;CB'HZ$ στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς

Τότε $\displaystyle CE = a\sqrt 2 ,\;\;CH = b\sqrt 2$ .

Το $\displaystyle ECH$ είναι ορθογώνιο, αφού $\displaystyle \widehat{ECH} = \widehat{ECF} + \widehat{ZCH} = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$

Φέρνουμε το ύψος $\displaystyle CK$ , οπότε $\displaystyle \frac{{EC^2 }}{{CH^2 }} = \frac{{EK}}{{KH}} \Leftrightarrow \frac{{\left( {a\sqrt 2 } \right)^2 }}{{\left( {b\sqrt 2 } \right)^2 }} = \frac{{EK}}{{KH}}$ .

Φέρνουμε $\displaystyle KD \bot \left( a \right)$ , οπότε από Θ. Θαλή για $\displaystyle AE//KD//HB$ είναι $\displaystyle \frac{{EK}}{{KH}} = \frac{{AD}}{{BD}}$

Οπότε, τελικά, είναι $\displaystyle \frac{{AC^2 }}{{BC^2 }} = \frac{{AD}}{{BD}}$

Γιώργο,
Σε ευχαριστώ πολύ για τη συμμετοχή σου και τη συμβολή σου στη νέα μου προσπάθεια, που προσβλέπει στην προσφορά μας στην κατεξοχήν Ελληνική επιστήμη της Ευκλειδείου Γεωμετρίας.
Είδα τη λύση σου και ομολογώ ότι τη ζηλεύω, για την ιδέα, τη σαφήνεια αλλά και την απλότητά της.
Με το συνημμένο μου 104,όπως και εσύ θα είδες, δίνω τρεις λύσεις, θα μπορούσε όμως να δώσω και δύο άλλες, τις οποίες αναφέρω στην Πρόταση μου 2ε(35) του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
Ομολογώ ότι την δημοσίευση που αναφέρεις, του φίλου Ανδρέα Πούλου, δεν την είχα δει και τον ευχαριστώ γιατί ασχολήθηκε με την παραπάνω Πρόταση μου κι έγινε αιτία να βγει μία τόσο ωραία λύση της.
Γιώργο, αν μου επιτρέπεις την λύση σου να τη συμπεριλάβω, φυσικά με το όνομά σου, στο βιβλίο μου, μαζί με τις πέντε λύσεις μου. Περιμένω απάντησή σου.
Και πάλι σε ευχαριστώ πολύ
και χρόνια πολλά για το Πάσχα.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

ΝΙΚΟΣ
Διακεκριμένο Μέλος

Δημοσιεύσεις: 559
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).

* Προσωπικό μήνυμα

#6

Αγαπητέ Νίκο, ευχαριστώ για τα καλά λόγια!

Όμως, παρατήρησα ένα λάθος μου στην τελευταία σχέση!
Το σημείο

που προσδιόρισα δεν ικανοποιεί την υπόθεση. Έκανα διόρθωση παραπάνω!

Θα ήθελα τη συμβολή των φίλων μας για να ελέγξουμε τη δεύτερη περίπτωση.

#7

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Αγαπητέ Νίκο, ευχαριστώ για τα καλά λόγια!

Όμως, παρατήρησα ένα λάθος μου στην τελευταία σχέση!
Το σημείο που προσδιόρισα δεν ικανοποιεί την υπόθεση. Έκανα διόρθωση παραπάνω!

Θα ήθελα τη συμβολή των φίλων μας για να ελέγξουμε τη δεύτερη περίπτωση.

Γιώργο,
το πρόβλημα 10 $\iota$ \displaystyle{\left(192 \right)\GammaAB $, γι’ αυτό μόνο το πρώτο μέρος της λύσης σου είναι αρκετό. Άλλωστε το έχω θέσει έτσι με την απλή μορφή του, για να μην το κάνω πολύπλοκο. Μάλιστα ακόμη, για να είναι συγκεκριμένο και το σχήμα του, έχω βάλει και τον περιορισμό να είναι$ A} $\Gamma$ <\displaystyle{B $. Έτσι, με την απλή μορφή αυτή, εκείνο που στη διερεύνηση του πρέπει να αναφερθεί, είναι ότι υπάρχει και δεύτερο σημείο$ \Gamma '\Sigma} $\Gamma '$ του $\Gamma$ , ως προς τα , .
Την ειδική (δεύτερη) περίπτωση που εσύ αναφέρεις θα μπορούσες να την αναφέρεις σε σχόλιό σου κι’ αν ήθελες να έδινες και την λύση της. Πάντως έτσι όπως την αναφέρεις είναι δυσκολότερη και απαιτεί μελέτη περισσότερο χρόνο.
Εκ πρώτης όψεως, κατέληξα στο συμπέρασμα, ότι για τη λύση της, πρέπει να χρησιμοποιήσεις το $\Sigma$ \displaystyle{A\Gamma '\GammaAB\Delta '\Sigma} $\Delta$ του $\Delta '$ ως προς τα , , το οποίο $\Delta$ , θα είναι και η λύση της ειδικής αυτής (δεύτερης) περίπτωσης. Στην περίπτωση αυτή, το $\Delta$ θα συμπέσει με το μέσον του $\Gamma$ $\Gamma '$ (υπάρχει εξήγηση).

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

O κ. Μ. Λάμπρου προσπαθεί συνεχώς με τις πράξεις του, βοηθούμενος και από τους κ. Γεν. Συντονιστές, να στρέψει τους συναδέλφους του Μαθηματικούς εναντίον μου και το έχουν επιτύχει μερικώς. Είναι ηθικό; Ερώτηση κάνω.
Για παράδειγμα, το κλειδωμένο μου θρεντ:
ΕΔΩ
ποστ136, 137 και 138.

Απόδειξη ύπαρξης σημείου (μόνο για μαθητές)

Απόδειξη ύπαρξης σημείου (μόνο για μαθητές)

Re: Απόδειξη ύπαρξης σημείου (μόνο για μαθητές)

Re: Απόδειξη ύπαρξης σημείου (μόνο για μαθητές)

Re: Απόδειξη ύπαρξης σημείου (μόνο για μαθητές)

Re: Απόδειξη ύπαρξης σημείου (μόνο για μαθητές)

Re: Απόδειξη ύπαρξης σημείου (μόνο για μαθητές)

Re: Απόδειξη ύπαρξης σημείου (μόνο για μαθητές)

Μέλη σε σύνδεση