Τρίγωνο

miltos · #1

Έστω τρίγωνο ABC

εγγεγραμμένο σε κύκλο (O,R)

Να δείξετε ότι $a^2+b^2+c^2\leqslant8R^2$

#2

miltos έγραψε:Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο
Να δείξετε ότι $a^2+b^2+c^2\leqslant8R^2$

Μίλτο, μάλλον εννοείς $\displaystyle{a^2+b^2+c^2\leq \color{red}9\color{black}R^2.}$

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

#4

orestisgotsis έγραψε:
miltos έγραψε:Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο
Να δείξετε ότι $a^2+b^2+c^2\leqslant8R^2$
Ερώτηση: Ισχύει η σχέση αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο;

Γενικά ισχύει:

$\displaystyle{\triagle ABC}$ οξυγώνιο $\displaystyle{\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2>8R^2,}$

$\displaystyle{\triagle ABC}$ ορθογώνιο $\displaystyle{\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=8R^2,}$

$\displaystyle{\triagle ABC}$ αμβλυγώνιο $\displaystyle{\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2<8R^2.}$

#5

Μια απόδειξη για τον τελευταίο ισχυρισμό του Θάνου (Χρόνια πολλά!...

) προκύπτει από την τριγωνομετρική ταυτότητα

$\displaystyle{\boxed{{\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = 2 + 2\cos A\cos B\cos C}}$ $\color{red}\left( \bigstar\right)$

και τη γνωστή πρόταση

$\bullet \displaystyle{0 < \cos A\cos B\cos C \le \frac{1}{8} \Leftrightarrow ABC}$ οξυγώνιο,

$\bullet \displaystyle{\cos A\cos B\cos C = 0 \Leftrightarrow ABC}$ ορθογώνιο,

$\bullet \displaystyle{ - 1 < \cos A\cos B\cos C < 0 \Leftrightarrow ABC}$ αμβλυγώνιο.

Πράγματι, από το Νόμο των Ημιτόνων και την $\color{red}\left( \bigstar\right)$ έχουμε ότι:

$\displaystyle{{a^2} + {b^2} + {c^2} = 4{R^2}\left( {{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B + {{\sin }^2}C} \right) = 8{R^2}\left( {1 + \cos A\cos B\cos C} \right)}$

και ο ισχυρισμός έπεται άμεσα.

Μια και διανύουμε χαλεπούς τριγωνομετρικούς καιρούς, ας δούμε μια απόδειξη της $\color{red}\left( \bigstar\right)$ :

Είναι:

$\displaystyle{{\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = \frac{{1 - \cos 2A}}{2} + \frac{{1 - \cos 2B}}{2} + \frac{{1 - \cos 2C}}{2} =}$

$\displaystyle{= \frac{3}{2} -\frac{1}{2} \left( {\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C} \right) . }$

Αλλά από τους τύπους μετασχηματισμού αθροισμάτων σε γινόμενα έχουμε ότι:

$\displaystyle{\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = 2\cos \left( {A + B} \right)\cos \left( {A - B} \right) + 2{\cos ^2}C - 1 = }$

$\displaystyle{ = - 2\cos C\cos \left( {A - B} \right) + 2{\cos ^2}C - 1 = - 1 - 2\cos C\left[ {\cos \left( {A - B} \right) + \cos \left( {A + B} \right)} \right] = }$

$\displaystyle{ = - 1 - 4\cos A\cos B\cos C}$ ,

και η σχέση $\color{red}\left( \bigstar\right)$ έπεται άμεσα.

Παρατηρούμε ότι από την ανισότητα $\displaystyle{\cos A\cos B\cos C \le \frac{1}{8}}$ (που ισχύει σε κάθε τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ ) προκύπτει και η ανισότητα που ανέφερε παραπάνω ο Θάνος, δηλαδή ότι σε κάθε τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ ισχύει

$\displaystyle{{a^2} + {b^2} + {c^2} \le 9{R^2}}$

με το ίσον να ισχύει αν και μόνο αν το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ είναι ισόπλευρο.

Τέλος, είναι γνωστό ότι

$\displaystyle{9{R^2} - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = O{H^2}}$ ,

όπου $\displaystyle{O}$ και $\displaystyle{H}$ το περίκεντρο και το ορθόκεντρο αντίστοιχα του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ (απόδειξη ως άσκηση...). Έτσι, προκύπτει μια εναλλακτική απόδειξη της τελευταίας ανισότητας.

Τρίγωνο

Τρίγωνο

Re: Τριγωνο

Re: Τριγωνο

Re: Τριγωνο

Re: Τριγωνο

Μέλη σε σύνδεση