Εύρεση συνάρτησης

#1

Να βρεθούν οι παραγωγίσιμες με συνεχή παράγωγο συναρτήσεις $\displaystyle{f:\Bbb{R} \to \Bbb{R}}$ για τις οποίες

$\displaystyle{f^2(x)=2\int_0^{f(x)}f(t)dt,\ \forall x \in \Bbb{R}}$

peter · #2

Αν η

είναι σταθερή, τότε $f\equiv 0$ που επαληθεύει την εξίσωση. Έστω ότι δεν είναι σταθερή και έστω $J=f(\mathbb R)$ . Αν $J=\mathbb R$ τότε έχουμε $F(y)=\frac{y^2}{2}$ , όπου $F(y)=\int_0^y f$ κι άρα $f(t)=t, \ t\in \mathbb R$ .

Έστω ότι $\sup J=b<\infty$ (όμοια η άλλη περίπτωση). Θα καταλήξουμε σε άτοπο. Είναι F(y)=y^2/2

για κάθε $y\in J$ και λόγω συνέχειας της

είναι

για κάθε $y\in J\cup\{b\}$ . Άρα, είναι $f(x)\leq b$ για κάθε $x\in \mathbb R$ και f(b)=b

. Από το θεώρημα του Fermat έχουμε f'(b)=0

. Αλλά, είναι $f'_{-}(b)=1$ κι έχουμε αντίφαση.

Η συνέχεια της

δε χρησιμοποιήθηκε πουθενά.

Κε Σπύρο μια άσκηση με παρόμοια ιδέα είχατε βάλει εδώ.

Εύρεση συνάρτησης

Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση