Δυναμοσύνολα-1-

#1

Να αποδείξετε ότι :

$1)~~\mathcal P(A\cap B)=\mathcal P(A)\cap \mathcal P (B)$

$2)~~\mathcal P(A)\cup \mathcal P (B)\subseteq \mathcal P(A\cup B)$

$3)~~\mathcal P(A-B)\subseteq\big(\mathcal P(A)- \mathcal P (B)\big )\cup \{\varnothing\}$

όπου A,B

υποσύνολα βασικού συνόλου $\Omega$ , $\mathcal P (\Omega)$ το δυναμοσύνολο του $\Omega$

----------
από: Θεωρία Συνόλων,Αντώνη Κυριακόπουλου
------------

ευχαριστώ το Δημήτρη (dement) για το διακριτικό πμ.

#2

Φωτεινή έγραψε:Να αποδείξετε ότι :

$1)~~\mathcal P(A\cap B)=\mathcal P(A)\cap \mathcal P (B)$

$2)~~\mathcal P(A)\cup \mathcal P (B)\subseteq \mathcal P(A\cup B)$

$3)~~\mathcal P(A-B)\subseteq\big(\mathcal P(A)- \mathcal P (B)\big )\cup \{\varnothing\}$

όπου υποσύνολα βασικού συνόλου $\Omega$ , $\mathcal P (\Omega)$ το δυναμοσύνολο του $\Omega$

----------
από: Θεωρία Συνόλων,Αντώνη Κυριακόπουλου
------------

ευχαριστώ το Δημήτρη (dement) για το διακριτικό πμ.

Φωτεινή, καλησπέρα.

1) $X \in \mathcal P(A \cap B) \Rightarrow X \subset A \cap B \Rightarrow$

$X \subset A \wedge X \subset B \Rightarrow X \in \mathcal P(A) \wedge X \in \mathcal P(B)$

$\Rightarrow X \in \mathcal P(A) \cap \matcal P(B)$ , δηλαδή

$\mathcal P(A \cap B) \subset \mathcal P(A) \cap \mathcal P(B)$ (*) Επίσης

$X \in \mathcal P(A) \cap \mathcal P(B) \Rightarrow X \subset A \wedge X \subset B \Rightarrow X \subset A \cap B$

$\Rightarrow X \in \mathcal P(A \cap B)$ , δηλαδή

$\mathcal P(A) \cap \mathcal P(B) \subset \mathcal P(A \cap B)$ (**)

Από (*) και (**) προκύπτει το ζητούμενο.

2) $X \in \mathcal P(A) \cup \mathcal P(B) \Rightarrow X \subset A \vee X \subset B \Rightarrow X \subset A \cup B$

$\Rightarrow X \in \mathcal P(A \cup B)$ , δηλαδή

$\mathcal P(A) \cup \mathcal P(B) \subset \mathcal P(A \cup B)$

3) $X \in \mathcal P(A \setminus B) \Rightarrow \left(X \neq \varnothing, X \subset A \wedge X \cap B =\varnothing\right) \vee X= \varnothing$

$\Rightarrow \left( X \in \mathcal P(A) \setminus \{\varnothing\} \wedge X \notin \mathcal P(B)\right) \vee X=\varnothing$

$X \in (\mathcal P(A)-\mathcal P(B)) \cup \{\varnothing\}$ , δηλαδή το ζητούμενο

Συγνώμη δεν το πρόσεξα και αντί του συμβόλου $\subseteq$ χρησιμοποίησα το $\subset$

#3

Ας βάλουμε και δυο επιπλέον ερωτήματα. Να βρεθούν όλες οι περιπτώσεις ισότητας στα (2) και (3).

ΖΩΗ · #4

Για την ισότητα στο 2:

Θα δείξουμε ότι $\displaystyle{\mathcal P(A \cup B) = \mathcal P (A) \cup \mathcal P (B)}$ αν και μόνο αν $\displaystyle{A \subseteq B}$ ή $\displaystyle{B \subseteq A}$ .

Το αντίστροφο είναι σχεδόν προφανές: αρκεί να δούμε ότι αν $\displaystyle{A \subseteq B}$ τότε $\displaystyle{A \cup B =B}$ και $\displaystyle{\mathcal P(A) \subseteq \mathcal P(B)}$ .

Για το ευθύ:

είναι $\displaystyle{A \cup B \in \mathcal P (A \cup B) \implies A \cup B \in \mathcal P (A) \cup \mathcal P (B) \implies A \cup B \in \mathcal P (A)}$ ή $\displaystyle{A \cup B \in \mathcal P(B)}$

$\displaystyle{\implies A \cup B \subseteq A}$ ή $\displaystyle{ A \cup B \subseteq B \implies B \subseteq A}$ ή $\displaystyle{A \subseteq B}$ .

ΖΩΗ · #5

Για την ισότητα στο 3:

Αν $\displaystyle{A\subseteq B}$ τότε είναι

$\displaystyle{\mathcal{P}\left(A \right)\subseteq \mathcal{P}\left(B \right)\implies \mathcal{P}\left(A \right)-\mathcal{P}\left(B \right)= \varnothing \implies \left( \mathcal{P}\left(A \right)-\mathcal{P}\left(B \right)\right)\cup \left\{\varnothing \right\} = \varnothing \cup \left\{\varnothing \right\} = \left\{\varnothing \right\} }$

και

$\displaystyle{A-B = \varnothing \implies \mathcal{P}\left(A-B \right) =\mathcal{P}\left(\varnothing \right)=\left\{\varnothing \right\}}$ ,

οπότε είναι $\displaystyle{\mathcal{P}\left(A-B \right)= \left( \mathcal{P}\left(A \right)-\mathcal{P}\left(B \right)\right)\cup \left\{\varnothing \right\}.}$

Επίσης:

Αν $\displaystyle{A\cap{B}=\varnothing}$ τότε είναι

$\displaystyle{A-B=A \implies \mathcal{P}\left(A -B\right) =\mathcal{P}\left(A \right)}$

και

$\displaystyle{\mathcal{P}\left(A \cap B \right) = \mathcal{P}\left(\varnothing \right) \implies \mathcal{P}\left(A \right)\cap \mathcal{P}\left(B \right)=\left\{ \varnothing \right\} \implies \mathcal{P}\left(A \right)-\mathcal{P}\left(B \right)= \mathcal{P}\left(A \right)-\left\{ \varnothing \right\} \implies \left( \mathcal{P}\left(A \right)-\mathcal{P}\left(B \right)\right)\cup \left\{\varnothing \right\}= \mathcal{P}\left(A \right)}$ ,

οπότε είναι $\displaystyle{\mathcal{P}\left(A-B \right)= \left( \mathcal{P}\left(A \right)-\mathcal{P}\left(B \right)\right)\cup \left\{\varnothing \right\}.}$

Θα αποδείξουμε ότι μόνο σε αυτές τις δύο περιπτώσεις ισχύει η ισότητα.

Έστω $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{ B}$ δύο σύνολα με $\displaystyle{\mathcal{P}\left(A-B \right)= \left( \mathcal{P}\left(A \right)-\mathcal{P}\left(B \right)\right)\cup \left\{\varnothing \right\}^{(*)}}$ . Υποθέτουμε ότι $\displaystyle{A\cap{B} \ne \varnothing}$ οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{A\subseteq B}$ .

Έχουμε: $\displaystyle{A\cap{B} \ne \varnothing \implies A \nsubseteqq B' \implies A \notin \mathcal{P} (B') \implies A \notin \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B')= \mathcal{P}\left(A\cap B' \right)= \mathcal{P}\left( A-B\right)\overset {^{(*)}}{\implies}}$

$\displaystyle{ A \notin \mathcal{P}\left( A\right)-\mathcal{P}\left( B\right) \overset {A \in \mathcal{P}(A)}{=\!=\! =\!\Rightarrow } A \in \mathcal{P}(B) \implies A\subseteq B.}$

Δυναμοσύνολα-1-

Δυναμοσύνολα-1-

Re: Δυναμοσύνολα-1-

Re: Δυναμοσύνολα-1-

Re: Δυναμοσύνολα-1-

Re: Δυναμοσύνολα-1-

Μέλη σε σύνδεση