IMC 1995/1/2

#1

Έστω $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση ώστε για κάθε $x \in [0,1]$ να ισχύει ότι $\displaystyle{ \int_x^1 f(t) \, dt \geqslant \frac{1-x^2}{2}.}$ Να δειχθεί ότι $\displaystyle{ \int_0^1 f(t)^2 \, dt \geqslant \frac{1}{3}.}$

kwstas12345 · #2

Aρχικά ισχύει: $\displaystyle \int_{0}^{1}{\left(f\left(t \right)-t \right)^2 dt}\geqslant 0\Rightarrow \int_{0}^{1}{f^2 \left(t \right)}dt\geqslant 2\int_{0}^{1}{tf\left(t \right)}dt-\frac{1}{3}$ .

Ολοκληρώνουμε από

εώς

την ανισότητα της υπόθεσης: $\displaystyle \int_{0}^{1}{\left(\int_{x}^{1}{f\left(t \right)dt} \right)}dx\geqslant \int_{0}^{1}{\frac{1-x^2}{2}}dx=\frac{1}{3}$ . Με μια παραγοντική έχουμε: $\displaystyle \int_{0}^{1}{\left(\int_{x}^{1}{f\left(t \right)dt} \right)}dx=\int_{0}^{1}{tf\left(t \right)}dt\Rightarrow \int_{0}^{1}{tf\left(t \right)}dt\geqslant \frac{1}{3}$ .

Έπεται το ζητούμενο από την αρχική σχέση.

Andreas Dalaoutis · #3

Δεν είναι λίγο εύκολη για διαγωνισμό τέτοιου επιπέδου; Το λέω από την άποψη ότι βγαίνει με γνώσεις λυκείου και μάλιστα δεν είναι κάτι εξτριμ. Γενικότερα τα θέματα σε φοιτητικούς διαγωνισμούς έτσι είναι πάνω κάτω;

#4

Aνδρέα δεν σημαίνει πως επειδή λύνεται με γνώσεις λυκείου ότι είναι εύκολη. Στην συγκεκριμένη περίπτωση όμως θεωρώ πως έχεις δίκιο και ότι για τον συγκεκριμένο διαγωνισμό είναι όντως εύκολη. Ας μην ξεχνούμε όμως ότι εμφανίστηκε μόλις στον δεύτερο διαγωνισμό IMC. Δεν νομίζω να ξαναδούμε σε IMC τέτοια εύκολη άσκηση. Ίσως σε SEEMOUS που είναι κάπως πιο εύκολος να εμφανιστεί παρόμοιου επιπέδου άσκηση αν και νομίζω ότι είναι σχετική εύκολη και για αυτόν.

Δυστυχώς στην επίσημη ιστιοσελίδα του διαγωνισμού δεν υπάρχουν στοιχεία για την βαθμολογία που πήραν οι συμμετέχοντες στην συγκεκριμένη άσκηση.

Andreas Dalaoutis · #5

Demetres έγραψε:Aνδρέα δεν σημαίνει πως επειδή λύνεται με γνώσεις λυκείου ότι είναι εύκολη. Στην συγκεκριμένη περίπτωση όμως θεωρώ πως έχεις δίκιο και ότι για τον συγκεκριμένο διαγωνισμό είναι όντως εύκολη. Ας μην ξεχνούμε όμως ότι εμφανίστηκε μόλις στον δεύτερο διαγωνισμό IMC. Δεν νομίζω να ξαναδούμε σε IMC τέτοια εύκολη άσκηση. Ίσως σε SEEMOUS που είναι κάπως πιο εύκολος να εμφανιστεί παρόμοιου επιπέδου άσκηση αν και νομίζω ότι είναι σχετική εύκολη και για αυτόν.

Δυστυχώς στην επίσημη ιστιοσελίδα του διαγωνισμού δεν υπάρχουν στοιχεία για την βαθμολογία που πήραν οι συμμετέχοντες στην συγκεκριμένη άσκηση.

Μα ναι, το ότι λύνεται με γνώσεις λυκείου δεν είναι κριτήριο. Το σκεπτικό της άσκησης μου φάνηκε εύκολο. Και ναι, τώρα που το λέτε, αφού είναι ο 2ος IMC δικαιολογείται...

Nick1990 · #6

Demetres έγραψε:Δεν νομίζω να ξαναδούμε σε IMC τέτοια εύκολη άσκηση. Ίσως σε SEEMOUS που είναι κάπως πιο εύκολος να εμφανιστεί παρόμοιου επιπέδου άσκηση αν και νομίζω ότι είναι σχετική εύκολη και για αυτόν.

Μη το λες ποτέ. Γενικά ένας διαγωνισμός όσο πιο παλιός είναι τόσο μαζεύει κόσμο, αποκτά κύρος, και γίνεται δυσκολότερος με πιό ποιοτικά και κομψά προβλήματα, και αυτό φαίνεται και στον IMC, αλλά και στην IMO (αν κοιτάξεις προβλήματα IMO του '60, θα δεις πως είναι εύκολα και άκομψα). Κρίνοντας τώρα από τη δυσκολία των προβλημάτων της 2ης μέρας πέρισυ στον IMC, και από τους proposers των προβλημάτων τα τελευταία χρόνια που είναι "μεγάλα ονόματα" στο χώρο των διαγωνισμών (πχ Geza Kos), βλέπω ότι πάνε να τον κάνουν πραγματικά "IMO των πανεπιστημίων" σιγά σιγά. Παρ' όλα αυτά όμως, πάντα υπάρχει ένα εύκολο θέμα, γιατί αλλιώς όλοι εκτός των πολύ καλών θα γράφανε 0, και αυτό το εύκολο πρόβλημα πολές φορές είναι πολύ εύκολο. Κλασικό παράδειγμα τραγικά εύκολου προβλήματος σε πρόσφατο IMC, είναι το πρώτο της 1ης μέρας πρόπερσυ. Επίσης, στην IMO έχουν παρατηρηθεί και εκεί κάποια πολύ εύκολα πρώτα θέματα, πχ αυτό της 2ης μέρας στο Βιετνάμ το 2007, και αυτό της 1ης μέρας στη Σλοβενία το 2006 (και τα 2 ήταν γεωμετρίες, και όποιος γνωρίζει βασικά πράγματα από γεωμετρία, μπορεί να επαληθεύσει αυτό που λέω).

Αυτό το 1ο της 1ης μέρας πρόπερσυ στον IMC, θα μπορούσε να ήταν και άσκηση σχολικού διαγωνίσματος, και είναι απορίας άξιο που υπήρχαν 4-5 που δεν το έγραψαν.

Ο Seemous είναι διαγωνισμός από το 2007, και δεν έχει αποκτήσει ιδιαίτερο κύρος ακόμα. Βασικά ξεκίνησε με πολύ καλές προοπτικές απ' όλες τις απόψεις, αλλά τα τελευταία 2-3 χρόνια έχει πέσει πάρα πολύ το επίπεδό του. Για παράδειγμα, οι μισοί τουλάχιστον είναι αδύναμοι φοιτητές που δεν πάνε σε άλλους δυσκολότερους διαγωνισμούς, και η δυσκολία των θεμάτων είναι τέτοια που αυτό εδώ το θέμα είναι normal γι αυτόν πλέον (από άποψη δυσκολίας πάντα και όχι από άποψη γνώσεων). Υπάρχει επίσης πολλές φορές ένα ερώτημα μηδενικής δυσκολίας για 2-3 μονάδες (βλ. 2α πριν 2 χρόνια), ενώ δίνονται και υπερβολικά πολλά μετάλλια αλλά και σχετικά εύκολα οι μονάδες. Όλα αυτά έχουν ως αποτέλεσμα να μπορεί και μαθητής γυμνασίου να πάρει μετάλλιο με μόνο τις 2-3 μονάδες του πολύ εύκολου ερωτήματος και απλά 1 μονάδα από οπουδήποτε αλλού.

kostas136 · #7

Θα ήθελα να αναφέρω κάτι που είχα σκεφτεί παλαιότερα και το οποίο μπορεί να βελτιώσει το κάτω φράγμα. Η αφορμή ήταν κάποιες ασκήσεις που έβλεπα σε εξωσχολικά-συλλογές ασκήσεων όπου έδιναν την τιμή του $\displaystyle \int_{a}^{b}{f(t)dt}$ ή έστω την ελάχιστη τιμή του (όπως εδώ όπου διαπιστώνουμε ότι $\displaystyle \int_{0}^{1}{f(t)dt}\geq \frac{1}{2}$ ) και ζητούσαν ένα κάτω φράγμα για το $\displaystyle \int_{a}^{b}{f^2(t)dt}$ .

Η μεθοδολογία ήταν ότι συνήθως ζητούσαν σε ένα προηγούμενο ερώτημα την απόδειξη μιας εύκολης ανισότητας του στυλ $\displaystyle f^2(t)\geq 2f(t)-1$ , ολοκλήρωνες και ως δια μαγείας το ζητούμενο. Με ενοχλούσε που ο μαθητής, αν δεν είχε το προηγούμενο ερώτημα, έπρεπε να ψάχνεται από ποιά ταυτότητα της μορφής $\displaystyle (f(t)-k)^2\geq 0$ θα έπρεπε να ξεκινήσει. Ψάχνοντας, βρήκα ότι ο καλύτερος $\displaystyle k$ ως επιλογή για την ταυτότητα είναι το $\displaystyle \frac{\int_{a}^{b}{f(t)dt}}{b-a}$ , η γνωστή μέση τιμή δηλαδή από το ΘΜΤ του ολοκληρωτικού.

Δοκιμάστε το και εσείς και θα διαπιστώσετε ότι τελικά το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι μεγαλύτερο ή ίσον από το $\displaystyle \frac{1}{2}$ , που είναι καλύτερο κάτω φράγμα. Με αυτή τη μέθοδο πετυχαίνεις το καλύτερο κάτω φράγμα και νομίζω ότι μπορεί να αποτελέσει βοήθεια για τους μαθητές της Γ Λυκείου.

#8

Κώστα, μάλλον θα έχεις κάποιο λάθος στις πράξεις. Τα φράγμα δεν βελτιώνεται αφού έχουμε ισότητα στην περίπτωση όπου f(t)=t

.

kostas136 · #9

Θέτοντας όπου $\displaystyle k=\frac{\frac{1}{2}}{1-0}=\frac{1}{2}$ ,

στον αριθμητή δηλαδή την ελάχιστη τιμή του $\displaystyle \int _{0}^{1}{f(t)dt}$

και ξεκινώ από την ταυτότητα $\displaystyle (f(t)-\frac{1}{2})^2\geq 0\Rightarrow \int_{0}^{1}{f^2(t)dt}\geq \int_{0}^{1}{(f(t)-\frac{1}{4})dt}\geq \frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$

Δεν ξέρω αν υπάρχει κάπου λάθος Δημήτρη, ας το ξαναδούμε.

kostas136 · #10

Ας γράψω και πώς είχα σκεφτεί τότε για να φτάσω σε αυτό το συμπέρασμα. Όταν γράψουμε

$\displaystyle \int_{a}^{b}{f^2(t)dt}\geq 2k\int_{a}^{b}{f(t)dt}-(b-a)k^2$

θα βρούμε το $\displaystyle k$ για να μεγιστοποιηθεί το 2ο μέλος που είναι τετραγωνική συνάρτηση ως προς $\displaystyle k$ με αρνητικό συντελεστή του δευτεροβάθμιου παράγοντα. Άρα θα μεγιστοποιηθεί για

$\displaystyle k=\frac{-2\int_{a}^{b}{f(t)dt}}{-2(b-a)}=\frac{\int_{a}^{b}{f(t)dt}}{b-a}$

#11

Ε άμα λες ότι 1/2 - 1/4 = 1/2

τότε υπάρχει λάθος στις πράξεις. Το φράγμα που δίνει αυτή η μέθοδος είναι 1/4

.

Ουσιαστικά αυτό που απέδειξες είναι ότι $\displaystyle{ \int_a^b f(t)^2 \, dt \geqslant \frac{1}{b-a}\left( \int_a^b f(t) \, dt \right)^2}$ το οποίο είναι (περίπτωση της) Cauchy-Schwarz για ολοκληρώματα.

Στην συγκεκριμένη άσκηση δεν αρκεί. Χρησιμοποιείς μόνο την πληροφορία ότι $\displaystyle{ \int_0^1 f(t) \, dt \geqslant \frac{1}{2}}$ και όχι την επιπλέον πληροφορία ότι $\displaystyle{ \int_x^1 f(t) \, dt \geqslant \frac{1-x^2}{2}. }$

kostas136 · #12

Ωχ αμάν, έχεις απόλυτο δίκιο Δημήτρη και συγνώμη. Σαν χαζός μου ξέφυγε, συγνώμη. Η μέθοδος φαντάζομαι ότι μπορεί να δουλέψει όταν μας δίνουν συγκεκριμένη τιμή (και όχι ελάχιστη τιμή) για το $\displaystyle \int_{a}^{b}{f(t)dt}$ .

Συγνώμη και πάλι που συνέχισα να το ισχυρίζομαι.

parmenides51 · #13

εδώ και στις παραπομπές της

IMC 1995/1/2

IMC 1995/1/2

Re: IMC 1995/1/2

Re: IMC 1995/1/2

Re: IMC 1995/1/2

Re: IMC 1995/1/2

Re: IMC 1995/1/2

Re: IMC 1995/1/2

Re: IMC 1995/1/2

Re: IMC 1995/1/2

Re: IMC 1995/1/2

Re: IMC 1995/1/2

Re: IMC 1995/1/2

Re: IMC 1995/1/2

Μέλη σε σύνδεση