Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Γιώργος Απόκης · #1

Αφού συμπληρώνεται η συλλογή με τα Μαθηματικά Κατεύθυνσης, ας συνεχίσουμε με Άλγεβρα.

Ας προσπαθήσουμε να κρατήσουμε τους κανόνες που είχαμε και στις άλλες συλλογές.

$\bullet$ ΟΧΙ θέματα εξετάσεων (αν και είναι λίγα).

$\bullet$ ΟΧΙ θεματα της ΟΕΦΕ.

$\bullet$ OXI περισσότερες των 2-3 άλυτων ασκήσεων.

$\bullet$ Ας βάλουμε στόχο γύρω στις 20 ασκήσεις σε κάθε κεφάλαιο (με τη σειρά που υπάρχουν στο σχολικό)

$\bullet$ Να μην μπαίνει άσκηση συνδυαστική από μεταγενέστερο κεφάλαιο.

$\bullet$ Εφόσον τα προτεινόμενα θέματα τα αντλούμε από διάφορα βοηθήματα, επιβάλλεται να αναφέρεται η πηγή (εφόσον υπάρχει).

$\bullet$ Ας μην προτείνουμε τραβηγμένα θέματα, ούτε ασκήσεις με ένα ερώτημα.

$\bullet$ Ας προσπαθήσουμε τα προτεινόμενα θέματα να έχουν ένα ικανό αριθμό υποερωτημάτων (από 3 έως 5 ερωτήματα).

$\bullet$ Να προσπαθούμε να δίνουμε ολοκληρωμένες λύσεις, έτσι ίσως βοηθήσουμε όποιον φτιάξει το φυλλάδιο να μας δώσει εκτός του αρχείου των εκφωνήσεων και αρχείο με λύσεις.

Επίσης θα είναι κατανοητές και από τους μαθητες.

Λόγω του μικρού αριθμού των ασκήσεων, θα ήθελα οι συμμετέχοντες να κοιτάζουν τα προηγούμενα θέματα, ώστε να μην έχουμε ασκήσεις ίδιας μορφής.

hlkampel · #2

ΑΣΚΗΣΗ 1

Δίνεται η συνάρτηση ${\rm{f(x) = 1}} - {\rm{2\sigma \upsilon \nu }}\frac{{{\rm{\omega x}}}}{{\rm{2}}}$ με $x \in R$ και $\omega \ne 0$ .

α) Αν η περίοδος της συνάρτησης είναι ${\rm T} = 2\pi$ , να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης.

β) Να βρεθεί η διαφορά μεταξύ μέγιστης και ελάχιστης τιμής.

γ) Να λυθεί η εξίσωση $f\left( x \right) = \eta {\mu ^2}x$ στο διάστημα $\left[ { - \pi ,\pi } \right]$

Edit: Έγινε αλλαγή της άσκησης, για να τηρηθεί η σειρά της ύλης. Συγνώμη για την ταλαιπωρία

Γιώργος Απόκης · #3

hlkampel έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1
Δίνεται η συνάρτηση ${\rm{f(x) = 1}} - {\rm{2\sigma \upsilon \nu }}\frac{{{\rm{\omega x}}}}{{\rm{2}}}$ με $x \in R$ και $\omega \ne 0$ .
α) Αν η περίοδος της συνάρτησης είναι ${\rm T} = 2\pi$ , να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης.
β) Να βρεθεί η διαφορά μεταξύ μέγιστης και ελάχιστης τιμής.
γ) Να λυθεί η εξίσωση $f\left( x \right) = \eta \mu^2 x$ στο διάστημα $\left[ { - \pi ,\pi } \right]$

α) Η συνάρτηση έχει την ίδια περίοδο με την $\displaystyle{g(x)=2\sigma \upsilon \nu \left(\frac{\omega}{2}x\right)}$ , δηλαδή $\displaystyle{T=\frac{2\pi}{|\frac{\omega}{2}|}\Leftrightarrow 2\pi=\frac{2\pi}{|\frac{\omega}{2}|}\Leftrightarrow |\omega|=2\Leftrightarrow \omega =\pm 2}$

επομένως, είναι : $\displaystyle{f(x)=1-2\sigma \upsilon \nu x,~x\in \mathbb R}$ .

β) Η συνάρτηση $\displaystyle{h(x)=-2\sigma \upsilon \nu x,~x\in \mathbb R}$ έχει ελάχιστη τιμή το

και μέγιστη τιμή το

, άρα η $f(x)=1+h(x),~x\in \mathbb R$

θα έχει ελάχιστη τιμή το -2+1=-1

και μέγιστη τιμή το 2+1=3

, έτσι η διαφορά τους είναι

.

γ) Είναι : $\displaystyle{f(x)=\eta \mu^2 x\Leftrightarrow 1-2\sigma \upsilon \nu x=1-\sigma \upsilon \nu^2 x\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu^2x-2\sigma \upsilon \nu x=0\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x(\sigma \upsilon \nu x-2)=0}$

και αφού $\sigma \upsilon \nu x\ne 2$ και $x\in [-\pi,\pi]$ ισοδύναμα έχουμε : $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu x=0\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{2}~\acute{\eta}~x=\frac{\pi}{2}}$ .

KARKAR · #4

Άσκηση 2
Δίνεται η συνάρτηση : $\displaystyle f(x)=\frac{\eta\mu x}{1+\sigma\upsilon\nu x}-1$ .

1) Βρείτε το πεδίο ορισμού της και το $\displaystyle f(\frac{2\pi}{3})$

2) Βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική της παράσταση τέμνει τους άξονες

Μάκης Χατζόπουλος · #5

Θανάση με την άδειά σου να προσθέσουμε άλλο ένα ερώτημα; Δες το και κρίνε!

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #6

KARKAR έγραψε:Άσκηση 2
Δίνεται η συνάρτηση : $\displaystyle f(x)=\frac{\eta\mu x}{1+\sigma\upsilon\nu x}-1$ .

α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της και το $\displaystyle f(\frac{2\pi}{3})$

β) Βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική της παράσταση τέμνει τους άξονες

γ) Λύστε την εξίσωση $\displaystyle{f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)}$ (1) στο πεδίο ορισμού της και βρείτε την τιμή της παράστασης $\displaystyle{A = \frac{{{{(\eta \mu x - 1)}^{2013}} + \lambda }}{{\varepsilon \varphi x - \lambda \cdot \sigma \upsilon {\nu ^{2012}}x + 1}},\,\,\lambda \in R - \left\{ {\left. 1 \right\}} \right.}$
όπου οι λύσεις της (1)

Λύση

α.Για να ορίζεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \frac{{\eta \mu x}}{{\sigma \upsilon \nu x + 1}} - 1}$ πρέπει $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu x+1\ne 0\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x\ne -1\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x\ne \sigma \upsilon \nu \pi \Leftrightarrow x\ne 2\kappa \pi \pm \pi ,\kappa \in \text{Z}}$

Άρα το πεδίου ορισμου της συνάρτησης $\displaystyle{f(x) = \frac{{\eta \mu x}}{{\sigma \upsilon \nu x + 1}} - 1}$ είναι τα $\displaystyle{x\in R-\left\{ 2\kappa \pi +\pi ,\left. \kappa \in \text{Z} \right\} \right.}$

Ακόμα $\displaystyle{f\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = \frac{{\eta \mu \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)}}{{\sigma \upsilon \nu \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) + 1}} - 1 = \frac{{\eta \mu \left( {\pi - \frac{\pi }{3}} \right)}}{{\sigma \upsilon \nu \left( {\pi - \frac{\pi }{3}} \right) + 1}} - 1 =\displaystyle \frac{{\eta \mu \left( {\frac{\pi }{3}} \right)}}{{ - \sigma \upsilon \nu \left( {\frac{\pi }{3}} \right) + 1}} - 1 =\displaystyle \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{ - \frac{1}{2} + 1}} - 1 = \sqrt 3 - 1}$

β.Για $\displaystyle{x = 0}$ έχουμε $\displaystyle{f(0) = \frac{{\eta \mu 0}}{{\sigma \upsilon \nu 0 + 1}} - 1 = 0 - 1 = - 1}$ .Επομένως η $\displaystyle{{C_f}}$ τεμνει τον άξονα $\displaystyle{yy}$ στο σημείο $\displaystyle{{\rm A}(0, - 1)}$ .

Λυνουμε την εξίσωση $\displaystyle{f(x) = 0}$ για να προσδιορίσουμε τα σημεία στα οποία η $\displaystyle{{C_f}}$ τεμνει τον άξονα $\displaystyle{xx}$ . Έχουμε,

$\displaystyle{f(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{{\eta \mu x}}{{\sigma \upsilon \nu x + 1}} = 1 \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x + 1 = \eta \mu x \Leftrightarrow - \eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x = - 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{(*)} \sqrt 2 \eta \mu \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right) = - 1 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\eta \mu \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \eta \mu \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \eta \mu \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + \frac{{3\pi }}{4} = 2\kappa \pi - \frac{\pi }{4}\\ x + \frac{{3\pi }}{4} = 2\kappa \pi + \frac{{3\pi }}{4} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\kappa \pi - \pi \\ x = 2\kappa \pi \end{array} \right.}$

Η λύση $\displaystyle{x = 2\kappa \pi - \pi ,\kappa \in {\rm Z}}$ απορρίπτεται.

$\displaystyle{\begin{array}{l} (*)\rho = \sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \\ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\sigma \upsilon \nu \varphi = \frac{\alpha }{\rho }\\ \displaystyle\eta \mu \varphi = \frac{\beta }{\rho } \displaystyle\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\sigma \upsilon \nu \varphi = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \displaystyle\eta \mu \varphi = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \displaystyle\end{array} \right. \end{array}}$

Συνεπώς μια γωνία είναι η $\displaystyle{\varphi = \frac{{3\pi }}{4}}$

γ. $\displaystyle{f( - x) = \frac{{\eta \mu ( - x)}}{{\sigma \upsilon \nu ( - x) + 1}} - 1 = \frac{{ - \eta \mu x}}{{\sigma \upsilon \nu x + 1}} - 1}$

Επομένως για κάθε $\displaystyle{x\in R-\left\{ 2\kappa \pi +\pi ,\left. \kappa \in \text{Z} \right\} \right.}$ η εξίσωση γίνεται

$\displaystyle{\begin{array}{l} f( - x) = f(x) \Leftrightarrow \frac{{ - \eta \mu x}}{{\sigma \upsilon \nu x + 1}} - 1 = \frac{{\eta \mu x}}{{\sigma \upsilon \nu x + 1}} - 1 \Leftrightarrow \frac{{2\eta \mu x}}{{\sigma \upsilon \nu x + 1}} = 0 \Leftrightarrow \eta \mu x = 0 \Leftrightarrow \eta \mu x = \eta \mu 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\kappa \pi ,\kappa \in {\rm Z}\\ x = 2\kappa \pi + \pi ,\kappa \in {\rm Z} \end{array} \right.\\ \end{array}}$

Η λύση $\displaystyle{x=2\kappa \pi +\pi ,\kappa \in \text{Z}}$ απορρίπτεται.

$\displaystyle{{\rm A} = \frac{{{{\left( {\eta \mu x - 1} \right)}^{2013}} + \lambda }}{{\varepsilon \varphi x - \lambda \sigma \upsilon {\nu ^{2012}}x + 1}} = \frac{{{{\left( {0 - 1} \right)}^{2013}} + \lambda }}{{0 - \lambda {{(1)}^{2012}} + 1}} = \frac{{\lambda - 1}}{{1 - \lambda }} = - 1}$

erxmer · #7

ΑΣΚΗΣΗ 3

∆ίνεται η δευτεροβάθµια ως προς

εξίσωση

, όπου

είναι µια γωνία ανεξάρτητη από το

1) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο λύσεις άνισες

2) Να εκφράσετε το άθροισµα και το γινόµενο των ριζών της ως συνάρτηση του

3) Αν µία ρίζα της εξίσωσης είναι το $\frac{1}{2}$ να υπολογίσετε την τιµή του sina

hlkampel · #8

erxmer έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 3

∆ίνεται η δευτεροβάθµια ως προς εξίσωση , όπου είναι µια γωνία ανεξάρτητη από το

1) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο λύσεις άνισες

2) Να εκφράσετε το άθροισµα και το γινόµενο των ριζών της ως συνάρτηση του

3) Αν µία ρίζα της εξίσωσης είναι το $\frac{1}{2}$ να υπολογίσετε την τιµή του

1) Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι: $\Delta = 4{\sin ^2}\alpha + 4{\cos ^2}\alpha = 4 > 0$

Άρα έχει δύο άνισες λύσεις για κάθε $\alpha \in R$ .

2) Αν ${x_1},{x_2}$ είναι οι ρίζες της τότε:

${x_1} + {x_2} = - \frac{\beta }{\alpha } = 2\sin \alpha$ και

${x_1} \cdot {x_2} = \frac{\gamma }{\alpha } = - {\cos ^2}\alpha$

3) Με $x = \frac{1}{2}$ η εξίσωση γίνεται:

$\frac{1}{4} - \sin \alpha - {\cos ^2}\alpha = 0 \Leftrightarrow 1 - 4\sin \alpha - 4{\cos ^2}\alpha = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{{{\cos }^2}\alpha = 1 - {{\sin }^2}\alpha }$

$1 - 4\sin \alpha - 4 + 4{\sin ^2}\alpha = 0 \Leftrightarrow 4{\sin ^2}\alpha - 4\sin \alpha - 3 = 0$

${\Delta _1} = 16 + 48 = 64$

${\sin _{1,2}}\alpha = \frac{{4 \pm 8}}{8} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sin \alpha = \frac{3}{2} > 1\;\alpha \pi o\rho \rho \dot \iota \pi \tau \varepsilon \tau \alpha \iota \\ \sin \alpha = - \frac{1}{2} \\ \end{array} \right.$

Άρα $\sin \alpha = - \frac{1}{2}$

alexandropoulos · #9

Άσκηση 4

Έστω τριγωνομετρική συνάρτηση

της οποίας γνωρίζουμε τη γραφική παράσταση

: askhsh.png (71.69 KiB) Προβλήθηκε 7745 φορές

.
α. Να προσδιοριστεί ο τύπος της συνάρτησης

η μονοτονία και τα ακρότατά της.
β. Έστω συνάρτηση

με $g(x)=2+2\cdot \sqrt{3}cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4} \right)$ .
i. Να κατασκευαστεί η γραφική παράσταση της

.
ii. Να προσδιορισθούν τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f, g

Μάκης Χατζόπουλος · #10

Λέγοντας τριγωνομετρική συνάρτηση έχω την εντύπωση ότι δεν καλυπτόμαστε, ίσως θα πρέπει να δίνεται και η γενική μορφή της συνάρτησης. Ε; Τι λες;

alexandropoulos · #11

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Λέγοντας τριγωνομετρική συνάρτηση έχω την εντύπωση ότι δεν καλυπτόμαστε, ίσως θα πρέπει να δίνεται και η γενική μορφή της συνάρτησης. Ε; Τι λες;

Ας την πούμε λοιπόν f(x)=rsin(kx+w)

τη συνάρτηση για να είμαστε εντάξει.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

erxmer · #12

ΑΣΚΗΣΗ 5

Δίνεται το πολυώνυµο $P(x)=x^3-(a+3)x^2+8x-2a, a \in R$ . Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του
P(x)

µε το

είναι ίσο µε

.

1) Να βρείτε την τιµή του

.

2) Για a=2

:

A) Να κάνετε τη διαίρεση του P(x)

δια του πολυωνύµου x^2+1

και στη συνέχεια να γράψετε το P(x)

µε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης.

B) Να λύσετε την ανίσωση: $P(x) \geq 7x+1$

Γιώργος Απόκης · #13

erxmer έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 5
Δίνεται το πολυώνυµο $P(x)=x^3-(a+3)x^2+8x-2a, a \in R$ . Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του
µε το είναι ίσο µε .
1) Να βρείτε την τιµή του .
2) Για :
A) Να κάνετε τη διαίρεση του δια του πολυωνύµου και στη συνέχεια να γράψετε το µε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης.
B) Να λύσετε την ανίσωση: $P(x) \geq 7x+1$

1) Ισχύει : $P(-1)=-18\Leftrightarrow -1-a-3-8-2a=-18\Leftrightarrow -3a=-6\Leftrightarrow a=2$ .

2) Για a=2

, έχουμε : P(x)=x^3-5x^2+8x-4

.

A) Εκτελούμε τη διαίρεση :

$\begin{tabular}{c c c c c|c} & x^3& -5x^2 & +8x &-4 & x^2+1\\\cline {6-6} \line &(+)& -x^3& & -x & & x-5 \multicolumn{1}{c}{} \\ \cline {1-5} & & -5x^2 &+7x &-4 &\multicolumn{1}{c}{} \\ (+)& & 5x^2& & +5 & \multicolumn{1}{c}{} \\ \cline {1-5} & & &7x & +1 & \multicolumn{1}{c}{} \\ \end{tabular}$

Άρα, x^3-5x^2+8x-4=(x-5)(x^2+1)+7x+1

.

B) Έχουμε : $\displaystyle{P(x)\geq 7x+1\Leftrightarrow (x-5)(x^2+1)+7x+1\geq 7x+1\Leftrightarrow (x-5)(x^2+1)\geq 0\overset{x^2+1>0}\Leftrightarrow x-5\geq 0\Leftrightarrow x\geq 5}$ .

perpant · #14

ΑΣΚΗΣΗ 6η
Α) Να βρεθεί πολυώνυμο $\displaystyle{P\left( x \right)}$ τετάρτου βαθμού, τέτοιο ώστε:

i) $\displaystyle{P\left( 0 \right) = 0}$ και

ii) $\displaystyle{P\left( x \right) - P\left( {x - 1} \right) = x^3 }$ , για κάθε $\displaystyle{x \in R}$

Β) Να υπολογιστεί το άθροισμα $\displaystyle{S = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + \nu ^3 }$ , όπου $\displaystyle{ \nu \in N^* }$

Ποσταντζής-Γκικάκη (Βιβλιοεκδοτική Αναστασάκη)

Γιώργος Απόκης · #15

perpant έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 6η
Α) Να βρεθεί πολυώνυμο $\displaystyle{P\left( x \right)}$ τετάρτου βαθμού, τέτοιο ώστε:
i) $\displaystyle{P\left( 0 \right) = 0}$ και
ii) $\displaystyle{P\left( x \right) - P\left( {x - 1} \right) = x^3 }$ , για κάθε $\displaystyle{x \in R}$
Β) Να υπολογιστεί το άθροισμα $\displaystyle{S = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + \nu ^3 }$ , όπου $\displaystyle{ \nu \in N^* }$
Ποσταντζής-Γκικάκη (Βιβλιοεκδοτική Αναστασάκη)

A) Έστω

. Αφού $P(0)=0\Leftrightarrow e=0$ άρα $P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx,~x\in \mathbb R$ .

Είναι : $\displaystyle{P(x)-P(x-1)=ax^4+bx^3+cx^2+dx-a(x-1)^4-b(x-1)^3-c(x-1)^2-d(x-1)=}$

$\displaystyle{=a(4x^3-6x^2+4x-1)+b(3x^2-3x+1)+c(2x-1)+d=4ax^3+(3b-6a)x^2+(4a-3b+2c)x+b-a+d-c}$ .

Aφού για κάθε $x\in \mathbb R$ ισχύει P(x)-P(x-1)=x^3

έχουμε : $\displaystyle{\begin{cases} 4a=1\\3b-6a=0 \\4a-3b+2c=0 \\b-a+d-c=0 \end{cases}}$ από όπου με διαδοχικές αντικαταστάσεις

σε κάθε επόμενη εξίσωση, προκύπτει : $\displaystyle{a=c=\frac{1}{4},b=\frac{1}{2},d=0}$ άρα $\displaystyle{P(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{4}x^2,x\in \mathbb R}$ .

B) Από τη σχέση : P(x)-P(x-1)=x^3

για $x \in \{1,2,...,\nu\}$ έχουμε :

$\displaystyle{\begin{cases} P(1)-P(0)=1^3 \\P(2)-P(1)=2^3 \\ ~~~~~~\vdots \\P(\nu)-P(\nu -1)=\nu^3 \end{cases}}$ . Mε πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει :

$\displaystyle{P(\nu)-P(0)=S\Leftrightarrow S=\frac{1}{4}\nu^4+\frac{1}{2}\nu^3+\frac{1}{4}\nu^2-0\Leftrightarrow S=\frac{\nu^4+2\nu^3+\nu^2}{4}\Leftrightarrow S=\left[\frac{\nu(\nu+1)}{2}\right]^2}$

erxmer · #16

ΑΣΚΗΣΗ 7

Δίνεται γεωμετρική προόδος a_n

με

και λόγο $\lambda \in Z$ για την οποία ισχύει
a_3+3a_1<4a_2

α) Να βρεθεί το $\lambda \in Z$

β) Αν ο γεωμετρικός μέσος των a_2, a_3

είναι $6\sqrt{2}$ να βρεθεί το a_1

γ) Να βρεθεί το άθροισμα των 10 πρώτων όρων της προόδου

Γιώργος Απόκης · #17

Μένουν οι : 4,7

.

hlkampel · #18

erxmer έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 7

Δίνεται γεωμετρική προόδος με και λόγο $\lambda \in Z$ για την οποία ισχύει

α) Να βρεθεί το $\lambda \in Z$

β) Αν ο γεωμετρικός μέσος των είναι $6\sqrt{2}$ να βρεθεί το

γ) Να βρεθεί το άθροισμα των 10 πρώτων όρων της προόδου

α) ${\alpha _3} + 3{\alpha _1} < 4{\alpha _2} \Leftrightarrow {\alpha _1}{\lambda ^2} + 3{\alpha _1} < 4{\alpha _1}\lambda \Leftrightarrow {\alpha _1}\left( {{\lambda ^2} - 4\lambda + 3} \right) < 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{{\alpha _1} > 0}$

$\left( {\lambda - 3} \right)\left( {\lambda - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow 1 < \lambda < 3$

Άρα $\lambda = 2$ γιατί $\lambda \in Z$ .

β) Είναι ${\left( {6\sqrt 2 } \right)^2} = {\alpha _2} \cdot {\alpha _3} \Leftrightarrow 72 = {\alpha _1} \cdot \lambda {\alpha _1} \cdot {\lambda ^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{\lambda = 2} \alpha _1^2 = 9\mathop \Leftrightarrow \limits^{{\alpha _1} > 0} {\alpha _1} = 3$

γ) ${S_v} = {\alpha _1}\frac{{{\lambda ^v} - 1}}{{\lambda - 1}} \Rightarrow {S_{10}} = 3 \cdot \frac{{{2^{10}} - 1}}{{2 - 1}} \Rightarrow {S_{10}} = 1023 \cdot 3 = 3069$

pana1333 · #19

Μία πρωινή διδακτική απλή έμπνευση, ελπίζω να μην έχει προβλήματα!

ΑΣΚΗΣΗ 8

Δίνεται η συνάρτηση

με τύπο $f\left(x \right)=ln2ax^{3}-ln\left(a+1 \right)x^{2}-ln2x+ln2$ με a>0

της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο $\left(1,0 \right)$ .
1) Να βρεθεί ο θετικός αριθμός

2) Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τους άξονες x'x

,

3) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον x'x

4)Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με την οριζόντια ευθεία $y=\frac{ln8-ln2}{2}$
5) Να δείξετε ότι $2e^{f\left(1 \right)}=e^{\frac{ln8-ln2}{2}}$
6) Να λυθεί η εξίσωση $\sigma \upsilon \nu x + e^{\frac{ln8-ln2}{2}}=e^{f\left(1 \right)}$

#20

ΑΣΚΗΣΗ 8 - ΛΥΣΗ
1) Η συνάρτηση ορίζεται στο $\displaystyle{\Re }$ και
$\displaystyle{f(1) = 0 \Leftrightarrow \ln 2\alpha - \ln (\alpha + 1) - \ln 2 + \ln 2 = 0 \Leftrightarrow \ln 2\alpha = \ln (\alpha + 1) \Leftrightarrow 2\alpha = \alpha + 1 \Leftrightarrow \alpha = 1}$
2) Για $\displaystyle{\alpha = 1}$ είναι
$\displaystyle{\begin{array}{l} f\left( x \right) = ln2{x^3} - ln2{x^2} - ln2x + ln2 = \ln 2\left( {{x^3} - {x^2} - x + 1} \right) = \ln 2\left[ {{x^2}(x - 1) - (x - 1)} \right] = \\ \\ = \ln 2\left[ {(x - 1)({x^2} - 1)} \right] = \ln 2\left[ {{{(x - 1)}^2}(x + 1)} \right] \\ \end{array}}$
Επομένως : $\displaystyle{f\left( 1 \right) = 0}$ και $\displaystyle{f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {(x - 1)^2}(x + 1) = 0 \Leftrightarrow x = 1,x = - 1}$

Άρα τέμνει τους άξονες στα $\displaystyle(1,0),\ ( - 1,0)}$

3) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον $\displaystyle{\chi '\chi }$
αν και μόνο αν
$\displaystyle{f(x) > 0 \Leftrightarrow {(x - 1)^2}(x + 1) > 0 \Leftrightarrow x \ne 1 \wedge x > - 1 \Leftrightarrow x \in ( - 1,1) \cup (1, + \infty )}$

4) Είναι $\displaystyle{y = \frac{{ln8 - ln2}}{2} = \frac{{\ln \frac{8}{2}}}{2} = \frac{{2\ln 2}}{2} = \ln 2}$
Επομένως
$\displaystyle{\begin{array}{l} f(x) = y \Leftrightarrow f(x) = \ln 2 \Leftrightarrow \ln 2{(x - 1)^2}(x + 1) = \ln 2 \Leftrightarrow {(x - 1)^2}(x + 1) = 1 \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - x + 1 = 1 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0{\rm{ }}n{\rm{ }}x = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2} \\ \end{array}}$

5) $\displaystyle{2{e^{f\left( 1 \right)}} = {e^{\frac{{ln8 - ln2}}{2}}} \Leftrightarrow 2{e^0} = {e^{\ln 2}} \Leftrightarrow 2 = 2}$ , που ισχύει .

6) $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu x + {e^{\frac{{ln8 - ln2}}{2}}} = {e^{f\left( 1 \right)}} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x + 2 = 1 \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x = - 1 \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x = \sigma \upsilon \nu \pi \Leftrightarrow x = 2\kappa \pi \pm \pi ,\kappa \in {\rm Z}}$

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Μέλη σε σύνδεση