Υπάρχει θετικός αριθμός;

#1

Έστωσαν οι συναρτήσεις $f:\Bbb{R} \to \Bbb{R}$ και $g:\Bbb{R} \to \Bbb{R}$ .

Υπάρχει θετικός αριθμός

ώστε $\left(f(x)-f(y)\right)^2+\left(g(x)-g(y)\right)^2>a$ , για κάθε $x,y \in \Bbb{R}$ με $x \neq y$ ;

#2

Όχι.

Αν οι f,g

είναι συνεχείς δεν είναι δύσκολο. Αν δεν είναι απαραίτητα συνεχείς πάλι δεν μπορούμε να βρούμε τέτοιο

όμως η απόδειξη που έχω ξεφεύγει από τα λυκειακά.

#3

Δημήτρη καλημέρα.
Και η δική μου απόδειξη (εννοείται ότι δεν ξέρουμε κάτι για τη συνέχεια των συναρτήσεων) ξεφεύγει από τα λυκειακά. Προβληματιζόμουν αν θα την έβαζα στο φάκελο των διαγωνισμών για φοιτητές, αλλά τελικά την θεώρησα αρκετά απλή για εκεί, για αυτό διάλεξα αυτόν τον φάκελο.

peter · #4

Φαντάζομαι ότι αυτό θα είχατε στο μυαλό σας:

Έστω $(X,\rho)$ μετρικός χώρος με την ιδιότητα: Για κάθε $\varepsilon>0$ υπάρχει αριθμήσιμη κάλυψη $\{C_n\}$ του

με ${\rm diam}(C_n)\leqslant \varepsilon$ . Τότε, για κάθε $\varepsilon>0$ και για κάθε συνάρτηση $F:\mathbb R\to X$ υπάρχουν $x,y \in \mathbb R$ με $x\neq y$ και $\rho(F(x),F(y))\leqslant \varepsilon$ .

Ο $(\mathbb R^2,\|\cdot\|_2)$ έχει την ιδιότητα, άρα για την $F:\mathbb R\to \mathbb R^2$ με F=(f,g)

βλέπουμε ότι δεν ισχύει.

#5

Πέτρο κάτι τέτοιο. Να τι είχα κατά νου:

Αν $x \neq y$ , τότε $(f(x),g(x)) \neq (f(y),g(y))$ (Είναι άμεση συνέπεια της δοθείσας σχέσης)

Συνεπώς τα σημεία

είναι τόσα όσα τα σημεία του επιπέδου εκτός της ευθείας y=x

. Δηλαδή το σύνολο

$\displaystyle{M=\{(f(x),g(x))/x \in \Bbb{R}\}}$ είναι υπεραριθμήσιμο.

Ας φανταστούμε τώρα ότι καλύπτουμε το επίπεδο με τετράγωνα διαγωνίου $\sqrt{a}$ , τα οποία ανά δύο είναι ξένα ή έχουν κοινά

σημεία όλα τα σημεία μιας πλευράς τους και μόνον. Σε κάθε ένα τέτοιο τετράγωνο, λόγω της δοθείσας, υπάρχει το πολύ ένα σημείο του

.

Πόσα τέτοια τετράγωνα έχουμε; Αν επιλέξουμε στο εσωτερικό κάθε τέτοιου τετραγώνου ένα σημείο με τις δύο συντεταγμένες του ρητές, εύκολα

προκύπτει ότι το πλήθος των τετραγώνων αυτών είναι αριθμήσιμο, άτοπο.

Υπάρχει θετικός αριθμός;

Υπάρχει θετικός αριθμός;

Re: Υπάρχει θετικός αριθμός;

Re: Υπάρχει θετικός αριθμός;

Re: Υπάρχει θετικός αριθμός;

Re: Υπάρχει θετικός αριθμός;

Μέλη σε σύνδεση