IMC 1996/1/3

#1

Έστω

φυσικός και

διανυσματικός χώρος διάστασης

.
(α) Να αποδειχθεί ότι για κάθε ενέλιξη

στον

, υπάρχει βάση του

που αποτελείται από ιδιοδιανύσματα του

.
(β) Να βρεθεί ο μέγιστος αριθμός διακεκριμένων ενελίξεων οι οποίες ανά δύο αντιμετατίθενται.

[Ένας γραμμικός τελεστής

στον

ονομάζεται ενέλιξη αν ο A^2

είναι ο ταυτοτικός τελεστής.]

Nick1990 · #2

a) Αν

, τότε το ελάχιστο πολυώνυμο του

διαιρεί το x^2 - 1

, άρα δεν έχει πολλαπλές ρίζες και άρα ο

διαγωνοποιείται. Είναι γνωστό ότι κάθε πίνακας που διαγωνοποιείται έχει σύνολο ιδιοδιανυσμάτων που είναι βάση του χώρου, και το ζητούμενο έπεται.

b) Δείχνουμε πρώτα το παρακάτω (γνωστό πλέον) λήμμα:

Οι διαγωνοποιήσιμοι πίνακες A,B

ικανοποιούν τη σχέση AB = BA

αν και μόνο αν διαγωνοποιούνται με κοινό πίνακα ιδιοδιανυσμάτων.

Απόδειξη:

Το "αν" είναι τετριμένο. Για το "μόνο αν", παρατηρούμε ότι η σχέση AB = BA

μας λέει ότι κάθε ιδιόχωρος του

είναι

αναλλοίωτος και κάθε ιδιόχωρος του

είναι

αναλλοίωτος. Έστω x_1, x_2, ..., x_n

γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα του

, τότε αν

είναι οι ιδιόχωροι του

, από τη διαγωνισιμότητα του

, έχουμε ότι υπάρχουν μοναδικά $y_{i,j} \in B_j \forall (i,j) \in \{1,2,... , n\} \times \{1,2,..., k\}$ ώστε $x_i = y_{i,1} + ... + y_{i,k} \forall i \in \{1,2,..., n\}$ . Πολλαπλασιάζοντας με

κάθε τέτοια εξίσωση, έχουμε ότι για κάθε $i \in \{1,2,..., n\}$ , υπάρχει $\lambda_{i}$ με $\lambda_ix_i = Ax_i = Ay_{i,1} + ... + Ay_{i,k}$ , με τα $Ay_{i,m} \in B_m \forall m \in \{1,2,..., k\}$ , και από τη σχέση $R^n = B_1 \oplus B_2 \oplus ... \oplus B_k$ , πρέπει $Ay_{i,m} = \lambda_iy_{i,m} \forall (m,i) \in \{1,2,...,k\} \times \{1,2,..., n\}$ , που σημαίνει ότι τα $y_{i,m}$ είναι όλα ιδιοδιανύσματα και του

. Επίσης τα διανύσματα αυτά παράγουν το χώρο διότι παράγουν τη βάση $\{x_1, ..., x_n\}$ . Διαγράφοντας από αυτά μερικά μέχρι αυτά που θα μείνουν να είναι γραμμικά ανεξάρτητα, παίρνουμε τη ζητούμενη βάση.

Επαγωγικά μπορούμε να δείξουμε ότι αν

πίνακες μετατίθενται ανα 2, τότε υπάρχει κοινή βάση ιδιοδιανυσμάτων όλων. Η περίπτωση m=2

είναι το παραπάνω λήμμα, ενώ το επαγωγικό βήμα είναι μια απλή τροποποίηση της παραπάνω απόδειξης (παίρνουμε τα x_i

να είναι ιδιοδιανύσματα όλων εκτός του τελευταίου, και μετά αντί να πολλαπλασιάσουμε τη σχέση με

, την πολλαπλασιάζουμε με όλους τους πίνακες εκτός του τελευταίου και χρησιμοποιούμε το ότι όλοι αυτοί κρατάνε αναλλοίωτους τους ιδιόχωρους του τελευταίου).

Πίσω στην άσκηση:

Αν X_1, X_2, ..., X_m

είναι τέτοιοι πίνακες, διαφορετικοί ανα δύο, τότε αφού ο πίνακας που τους διαγωνοποιεί είναι ο ίδιος, ανα δύο θα έχουν διαφορετικές διαγώνιες μορφές με ιδιοτιμές στο σύνολο $\{-1, 1\}$ . Όλες οι δυνατές διαγώνιες μορφές με ιδιοτιμές στο $\{-1, 1\}$ είναι 2^n

το πλήθος. Άρα $m \leq 2^n$ . Οι 2^n

διαφορετικές διαγώνιες μορφές με ιδιοτιμές στο $\{-1, 1\}$ μας κάνουν, άρα το μέγιστο είναι 2^n

.

kwstas12345 · #3

Το πρώτο ερώτημα είναι αρκετά απλό αφού ο τελεστής ικανοποιεί την σχέση: $\displaystyle A^2 =1_{V} \Rightarrow m_{A}\left(x \right)|x^2-1$ .Σε κάθε περίπτωση το ελάχιστο πολυώνυμο είναι της μορφής $\displaystyle \left(x-1 \right)\left(x+1 \right),x-1, x+1$ , άρα πάντα γινόμενο διακεκριμένων όρων, συνεπώς ο

διαγωνοποιείται και άρα υπάρχει μια βάση του

η οποία αποτελείται από ιδιοδιανύσματα του

.

Θα δείξουμε τώρα ότι αν $\displaystyle A,B \in \mathcal{L}\left(V \right):AB=BA$ τότε υπάρχει μια βάση $\displaystyle \mathcal{B}$ του

από ιδιοδιανύσματα των A,B

.

Έστω $\displaystyle \left\{l_{1}, l_{2},...,l_{k} \right\}$ διακεκριμένες ιδιοτιμές τoυ

. Tότε $\displaystyle V=V\left(l_{1} \right)\oplus V\left(l_{2} \right)\oplus ...\oplus V\left(l_{k} \right)$ .Παρατηρούμε ότι οι $\displaystyle V\left(l_{i} \right)$ είναι

αναλλοίωτοι, άρα η $\displaystyle B:V\left(l_{i} \right)\rightarrow V\left(l_{i} \right)$ είναι διαγωνίσιμη.

Άρα υπάρχει μια βάση $\displaystyle \mathcal{B}_{i}$ από ιδιοδιανύσματα της

(περιορισμένη).Άρα η $\displaystyle \mathcal{B}=\bigcup_{i=1}^{k}{\mathcal{B}_{i}}$ είναι μια βάση του

με ιδιοδιανύσματα της

και φυσικά της

.

Yποθέτουμε ότι άν έχουμε

γραμμικούς ,διαγωνίσιμους τελεστές $\displaystyle A_{i} \in \mathcal{L}\left(W \right)$ οι οποίοι μετατίθενται ανά 2, τότε υπάρχει μια βάση του $\displaystyle W$ από κοινά ιδιοδιανυσματά τους.

Θα το δείξουμε για n+1

., αφού ο $A_{n+1}$ είναι διαγωνίσιμος τότε $\displaystyle V=V\left(l_{1} \right)\oplus V\left(l_{2} \right)\oplus...\oplus V\left(l_{k} \right)$ με $\displaystyle \left\{l_{1}, l_{2},...,l_{k} \right\}$ διακεκριμένες ιδιοτιμές τoυ $A_{n+1}$ . Παρατηρούμε ότι ο $\displaystyle V\left(l_{j} \right)$ είναι $A_{i}$ αναλλοίωτος υπόχωρος.

Άρα οι περιορισμοί των υπολοίπων

τελεστών είναι διαγωνίσιμοι, και επειδή μετατίθενται από την επαγωγική υπόθεση για τον $\displaystyle V(l_{j})$ διανυσματικό χώρο , (και για γραμμικούς τελεστές τους περιορισμούς) θα υπάρχει μια βάση $\displaystyle \mathcal{B}_{j}$ του $\displaystyle V(l_{j})$ από ιδιοδιανύσματα των $\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}$ ,

άρα η $\displaystyle \bigcup_{j=1}^{k}{B_{j}}$ είναι μια βάση του

από ιδιοδιανύσματα των πρώτων ν τελεστών και φυσικά του ν+1 τελεστή.Αυτό ολοκληρώνει την επαγωγή.

Άρα έστω ότι έχουμε $\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{s}$ ενελίξεις στον

, οι οποίες είναι διαγωνίσιμες, και μετατίθενται ανα δύο.Προφανώς υπάρχει μια βάση $\displaystyle \mathcal{B}$ από ιδιοδιανύσματα των τελεστών.

Άρα οι πίνακες ως πρόν αυτή την βάση είναι διαγώνιοι πίνακες με $\displaystyle a_{ii} \in \left\{-1,1 \right\}$ διαστασης

.Tότε προφανώς ο μέγιστος αριθμός τελεστών που μπορούμε να έχουμε είναι 2^n

όσοι και οι διαφορετικοί τρόποι να βάλουμε $\displaystyle 1,-1$ στις

διαγώνιες θέσεις του πίνακα ως πρός την $\mathcal{B}$ .

Eλπίζω να μην χάνει κάπου η απόδειξη.

#4

Να προσθέσω ότι αν έχουμε ένα οποιοδήποτε σύνολο

(ακόμη και άπειρο) διαγωνοποιήσιμων πινάκων που αντιμετατίθενται ανά δύο τότε είναι ταυτόχρονα διαγωνοποιήσιμοι.

Για την απόδειξη, έστω

ο διανυσματικός χώρος των $n \times n$ πινάκων και έστω

ο υποχώρος που γεννάται από το

. Παίρνουμε μια βάση $\mathcal{B}$ του

, παρατηρούμε ότι είναι πεπερασμένη (αφού ο

έχει διάσταση n^2

) και ότι ανά δύο τα στοιχεία της $\mathcal{B}$ αντιμετατίθενται. Άρα από αυτό που ήδη αποδείχθηκε από τον Νίκο και Κώστα οι πίνακες της $\mathcal{B}$ είναι ταυτόχρονα διαγωνοποιήσιμοι και επεκτείνοντας γραμμικά το ίδιο ισχύει και για τους πίνακες του

.

IMC 1996/1/3

IMC 1996/1/3

Re: IMC 1996/1/3

Re: IMC 1996/1/3

Re: IMC 1996/1/3

Μέλη σε σύνδεση