Διώξε το a..

miltos · #1

Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων $M(\frac{5a}{4a^2+1},\frac{2-2a^2}{4a^2+1} )$

#2

Μπορούμε να ακολουθήσουμε μία συγκεκριμένη τεχνική
1) Γράφουμε $\frac{5a}{4a^{2}+1}=x,,\frac{2-2a^{2}}{4a^{2}+1}=y$ οπότε κάνοντας απαλοιφή παρονομαστών
2) Βρίσκουμε ότι
$4xa^{2}-5a+x=0\,\,\,(1)$
$\allowbreak \left( 2+4y\right) a^{2}-2+y=0\,\,\,(2)$
3) Χρησιμοποιούμε αντίθετους συντελεστές για να "διώξουμε" τα τετράγωνα του

:
$\allowbreak 10a+20ya-10x=0$
4) Λύνουμε ως προς

$a=\frac{x}{1+2y}$ για $y\neq -\frac{1}{2}$
5) Aντικαθιστούμε στην (1)
$2x\left( 2x^{2}-2-3y+2y^{2}\right) =0$
6) Τελικά $2x^{2}-2-3y+2y^{2}=0\,\,\,(*)$ και για $x \neq 0$
7) Κοιτάμε τις τιμές x=0

και $y=-\frac{1}{2}$ χωριστά:
Για x=0

είναι

και

και το ζεύγος αυτό επαληθεύει την
H τιμή $y=-\frac{1}{2}$ μας οδηγεί στην αδύνατη σχέση $\frac{2-2a^{2}}{4a^{2}+1}=-\frac{1}{2}$ .
Άρ ο τόπος είναι ο κύκλος (*)

με κέντρο $\left( 0,\frac{3}{4}\right)$ και ακτίνα $\frac{5}{4}$ .
Μαυρογιάννης

Προσθήκη: Η Geogebra μπορεί να δώσει την γραφική παράσταση από την παραμετρική μορφή με την εντολή curve

: parametric.png (43.04 KiB) Προβλήθηκε 1953 φορές

Α.Κυριακόπουλος · #3

nsmavrogiannis έγραψε:Μπορούμε να ακολουθήσουμε μία συγκεκριμένη τεχνική
1) Γράφουμε $\frac{5a}{4a^{2}+1}=x,,\frac{2-2a^{2}}{4a^{2}+1}=y$ οπότε κάνοντας απαλοιφή παρονομαστών
2) Βρίσκουμε ότι
$4xa^{2}-5a+x=0\,\,\,(1)$
$\allowbreak \left( 2+4y\right) a^{2}-2+y=0\,\,\,(2)$
3) Χρησιμοποιούμε αντίθετους συντελεστές για να "διώξουμε" τα τετράγωνα του :
$\allowbreak 10a+20ya-10x=0$
4) Λύνουμε ως προς
$a=\frac{x}{1+2y}$ για $y\neq -\frac{1}{2}$
5) Aντικαθιστούμε στην (1)
$2x\left( 2x^{2}-2-3y+2y^{2}\right) =0$
6) Τελικά $2x^{2}-2-3y+2y^{2}=0\,\,\,(*)$ και για $x \neq 0$
7) Κοιτάμε τις τιμές και $y=-\frac{1}{2}$ χωριστά:
Για είναι και και το ζεύγος αυτό επαληθεύει την
H τιμή $y=-\frac{1}{2}$ μας οδηγεί στην αδύνατη σχέση $\frac{2-2a^{2}}{4a^{2}+1}=-\frac{1}{2}$ .
Άρ ο τόπος είναι ο κύκλος με κέντρο $\left( 0,\frac{3}{4}\right)$ και ακτίνα $\frac{5}{4}$ .
Μαυρογιάννης

Συγνώμη, από πού προκύπτει ότι όλα τα σημεία του κύκλου (*)

ανήκουν στον ζητούμενο γεωμετρικό τόπο;

#4

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Συγνώμη, από πού προκύπτει ότι όλα τα σημεία του κύκλου ανήκουν στον ζητούμενο γεωμετρικό τόπο;

Μία πεπατημένη που βγαίνει έξω από την ύλη είναι η ακόλουθη: Από τις παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου έχουμε: $x=\frac{5}{4}\sin t$ , $y-\frac{3}{4}=\frac{5}{4}\cos t$ οπότε ονομάζοντας $a=\frac{1}{2}\tan \frac{t}{2}$ και χρησιμοποιώντας τους τύπους $\sin t=\frac{2\tan \frac{t}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{t}{2}}$ , $\cos t=\frac{1-\tan ^{2}\frac{t}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{t}{2}}$ βρίσκουμε $x=\frac{5}{4}\frac{2\left( 2a\right) }{1+\left( 2a\right) ^{2}}=\allowbreak \frac{5a}{4a^{2}+1}$ και $y=\frac{3}{4}+\frac{5}{4}\frac{1-\left( 2a\right) ^{2}}{1+\left( 2a\right) ^{2}}=\frac{2-2a^{2}}{4a^{2}+1}$ . Επομένως κάθε σημείο του κύκλου επιδέχεται την συγκεκριμένη παραμετρική παράσταση.
Μαυρογιάννης

Ζήνων Λυγάτσικας · #5

Αν δεν μπορεί κάποιος να βρεί σε λογικό χρόνο τους μετασχηματισμούς του Νίκου, βάζει μπροστά τις μηχανές, οι οποίες σήμερα έχουν ισχυρότατα εργαλεία, όπως τη βάση groebner. Στο παρακάτω αρχείο, που είναι έξοδος του Maple, βλέπουμε στη προτελευταία γραμμή όλους τους ενδιάμεσους μετασχηματισμούς. Φυσικά το πρόβλημα γενικά σε ανώτερο επίπεδο, αν κάθε παραμετρική μπορεί να τεθεί σε implicit αλγεβρική και το αντίστροφο, νομίζω είναι άλυτο.

#6

Ζήνων Λυγάτσικας έγραψε:Αν δεν μπορεί κάποιος να βρεί σε λογικό χρόνο τους μετασχηματισμούς του Νίκου, βάζει μπροστά τις μηχανές, οι οποίες σήμερα έχουν ισχυρότατα εργαλεία, όπως τη βάση groebner. Στο παρακάτω αρχείο, που είναι έξοδος του Maple, βλέπουμε στη προτελευταία γραμμή όλους τους ενδιάμεσους μετασχηματισμούς. Φυσικά το πρόβλημα γενικά σε ανώτερο επίπεδο, αν κάθε παραμετρική μπορεί να τεθεί σε implicit αλγεβρική και το αντίστροφο, νομίζω είναι άλυτο.

Kαλημέρα σε όλους
Για την εύρεση της εξίσωσης σε πεπλεγμένη μορφή μπορεί να δουλέψει κάποιος και με την απαλείφουσα.
Οι βάσεις Groebner, που αναφέρει ο Ζήνωνας είναι θαυμάσιο εργαλείο και μπορούν να εφαρμοσθούν σε πολλές περιστάσεις. Λ.χ μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε ζητήματα όπως αυτό: viewtopic.php?f=60&p=106334#p106334 για να δούμε τι "παίζει".
Μαυρογιάννης

S.E.Louridas · #7

Θα ήθελα να καταθέσω και την θεωρητική άποψη:
Προσδιορίζουμε κατά την αντικατάσταση τους πραγματικούς αριθμούς

, ώστε για κάθε έναν από αυτούς η εξίσωση
$\displaystale{\frac{{5a}}{{4a^2 + 1}} = x \Leftrightarrow 4xa^2 - 5a + x = 0}$ να έχει λύση ως προς

, οπότε θεωρούμε εξίσωση ως προς

(αν

..., αν $x \ne 0$ θεωρούμε τριώνυμο ως προς

...) και έτσι διαπυστώνουμε «κίνηση» του

.
Δηλαδή προσδιορίζουμε το σύνολο τιμών της συνάρτησης:
$x:{\Cal R} \to {\Cal R},\;\;x\left( a \right) = \frac{{5a}}{{4a^2 + 1}}$ .
Σκεφτόμενοι ομοίως μπορούμε να δούμε «κίνηση» του

.
Έτσι από αυτά παίρνουμε: $x \in \left[ { - \frac{5} {4},\frac{5} {4}} \right],\;y \in \left( { - \frac{1} {2},2} \right]$ .
Αν δεν κάνω λάθος η πολύ καλή λύση του Νίκου έχει σαν άριστο θεωρητικό υπόβαθρο την μέθοδο που ακολουθούμε για την απαλείφουσα (θα μπορούσαμε και να μην την αναφέρουμε), δηλαδή λύνουμε το σύστημα ως προς αγνώστους τους a, a^2

και επιτυγχάνουμε την «συνάντηση» τους απαλείφοντας τελικά το

.
Κατά τα άλλα το αντίστροφο είναι απλό, αφού
$\left( {\frac{{5a}} {{4a^2 + 1}}} \right)^2 + \left( {\frac{{2 - 2a^2 }} {{4a^2 + 1}} - \frac{3} {4}} \right)^2 = ... = \frac{{25}} {{16}}$ , με πολύ απλές και ευχάριστες πράξεις επί των ταυτοτήτων.
Όμορφη άσκηση, όμορφοι διάλογοι.

Ζήνων Λυγάτσικας · #8

Να με συμπαθάτε, δεν καταλαβαίνω καλά την ορολογία στα ελληνικά: ποια είναι η "μέθοδος που ακολουθούμε για την απαλείφουσα" ? Για την discriminant μιλάς!

#9

Δεν γνωρίζω την μέθοδο στην οποία αναφέρεται ο Νίκος αλλά με απαλείφουσα νομίζω εννοεί την resultant.

S.E.Louridas · #10

Είναι προφανές, για αυτούς τουλάχιστον που επιλύουν Μαθηματικά προβλήματα (κύριο αντικείμενο των διαγωνιστικών Μαθηματικών Παγκοσμίως), πως όταν δίνεται ένα πρόβλημα προς λύση η διαδικασία επίλυσης αφορά βήματα που γίνονται με Μεθοδική διαδικασία (με Μέθοδο) και όχι άτακτα και αυτό σαν υλοποίηση της σκέψης ή των σκέψεων που κάναμε για να προβούμε στην λύση. Στην διαδρομή αυτή της μεθόδου επίλυσης που επιλέξαμε μεγάλο ρόλο παίζει και ο μεθοδικός τρόπος χρησιμοποίησης της θεωρίας. Βέβαια θα πρέπει κανείς να έχει καταλάβει την Τεράστια διαφορά μεταξύ των εννοιών Μεθοδολογία (εκ των προτέρων καθορίζων παράγοντας που προσπαθεί να προσανατολίσει προς την λύση) και Επιλογής Μεθόδου επίλυσης που θα επιλεγεί, ώστε να συνδεθούν τα συγκεκριμένα δεδομένα της άσκησης χρησιμοποιώντας την θεωρία με σκοπό να πάμε στο ζητούμενο.
Η μέθοδος που μπορούμε να ακολουθήσουμε ώστε να καταλήξουμε στην απαλείφουσα (Resultant)
$R = \left( {ac_1 - ca_1 } \right)^2 - \left( {ab_1 - ba_1 } \right)\left( {bc_1 - cb_1 } \right)$ με R=0

δυο εξισώσεων δευτέρου βαθμού, όταν αυτές έχουν κοινή ρίζα είναι να θεωρήσουμε το σύστημα
$\left\ {\matrix {ax_0^2 + bx_0 = - c},\; \\ {a_1 x_0^2 + b_1 x_0 = - c_1 } \\ \endmatrix } \right.$
όταν x_0

είναι κοινή τους ρίζα, ως προς "αγνώστους" τους
$x_0^2 ,\;x_0$ .
Έτσι παίρνουμε κατά τα γνωστά
$x_0 = \frac{{ca_1 - a_1 c}} {{ab_1 - ba_1 }},\;x_0^2 = \frac{{bc_1 - cb_1 }} {{ab_1 - ba_1 }} \Rightarrow \left( {\frac{{ca_1 - a_1 c}} {{ab_1 - ba_1 }}} \right)^2 = \frac{{bc_1 - cb_1 }} {{ab_1 - ba_1 }}...$

απαλείφοντας έτσι βέβαια το x_0

.
Στην περίπτωση μας θα ακολουθήσουμε την ίδια μέθοδο επίλυσης, δηλαδή θα θεωρήσουμε το σύστημα των εξισώσεων $\left\ {\matrix {4xa^2 - 5a = - x},\; {2\left( {1 + 2y} \right)a^2 + 0a = 2 - y} \\ \endmatrix } \right.$
ως προς "αγνώστους" τους a^2,a

.
Οπότε λαμβάνουμε: $D = 10\left( {1 + 2y} \right) \ne 0,\;\;$ αφού έχουμε σε ισχύ
$y \in \left( { - \frac{1} {2},2} \right]$ ,
επίσης
$a^2 = \frac{{D_{a^2 } }} {D} = \frac{{ - \left( {y - 2} \right)}} {{2\left( {1 + 2y} \right)}},\quad a = \frac{{D_a }} {D} = - \frac{x} {{1 + 2y}} \Rightarrow$
$\frac{{x^2 }} {{\left( {1 + 2y} \right)^2 }} = \frac{{ - \left( {y - 2} \right)}} {{2\left( {1 + 2y} \right)}}$
}} \Rightarrow 2x^2 = - 2y^2 + 3y + 2 \Rightarrow ... \Rightarrow x^2 + \left( {y - \frac{3}
{4}} \right)^2 = \frac{{25}}
{{16}} = \left( {\frac{5}
{4}} \right)^2$

parmenides51 · #11

μια σχετική συζήτηση (με την παραπάνω απαλοιφή) έλαβε χώρα εδώ

Ζήνων Λυγάτσικας · #12

Demetres έγραψε:Δεν γνωρίζω την μέθοδο στην οποία αναφέρεται ο Νίκος αλλά με απαλείφουσα νομίζω εννοεί την resultant.

Ok σε ευχαριστώ Demetres έπρεπε να το φανταστώ.

Διώξε το a..

Διώξε το a..

Re: Διώξε το a..

Re: Διώξε το a..

Re: Διώξε το a..

Re: Διώξε το a..

Re: Διώξε το a..

Re: Διώξε το a..

Re: Διώξε το a..

Re: Διώξε το a..

Re: Διώξε το a..

Re: Διώξε το a..

Re: Διώξε το a..

Μέλη σε σύνδεση